1、考研数学二（导数与微分）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f()在0 ，a 上连续，在(0，a) 内二阶可导，且 f(0)0，f() 0，则在(0 ，a上( ) （A）单调增加（B）单调减少（C）恒等于零（D）非单调函数2 设 f()可导，则当 0 时， ydy 是 的( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小3 设函数 f() 则在点 0 处 f()( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可导但导数不连续（D）导数连续4 设 f() 则在 1 处 f()( )（A）不连续（B）连续但不可导（C）可
2、导但不是连续可导（D）连续可导5 若 f() f()，且在 (0，) 内 f()0，f() 0，则在(，0)内( )（A）f() 0，f ()0（B） f()0，f()0（C） f()0，f()0（D）f() 0，f ()06 f()在( ， )内二阶可导，f()0， 1，则 f()在(，0)内( )（A）单调增加且大于零（B）单调增加且小于零（C）单调减少且大于零（D）单调减少且小于零7 若 f()在 0 的某邻域内二阶连续可导，且 1，则下列正确的是( )（A）0 是 f()的零点（B） (0，f(0)是 yf() 的拐点（C） 0 是 f()的极大值点（D）0 是 f()的极小值点8 设
3、 f()在 0 的邻域内有定义，且 f(0)0，则 f()在 0 处可导的充分必要条件是( )（A） 存在（B） 存在（C） 存在（D） 存在9 设 f()在( ，)上有定义， 00 为函数 f()的极大值点，则( )（A） 0 为 f()的驻点（B） 0 为f()的极小值点（C） 0 为f()的极小值点（D）对一切的 有 f()f(0)二、填空题10 yy ，则 y_11 设 f()一阶可导，且 f(0)f(0) 1，则 _12 _13 设 f()为偶函数，且 f(1)2，则_14 设 f()在 a 处可导，则 _15 设 f(a)存在且不等于零，则 _16 设 f()为奇函数，且 f(1)
4、2，则 f(3) 1 _17 设 f() ，且 f(0)存在，则a_， b_ ，c _18 设 f()在 2 处可导，且 2，则 f(2)_，f(2)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 y 2ln，求 y(n)(n3)20 设 f() ，求 f(n)()21 设 f() 01ysin dy(01) ，求 f()22 设 f()连续，且对任意的 ，y(，)有 f(y)f()f(y)2y ，f(0)1，求 f()23 设 f() 讨论函数 f()在 0 处的可导性24 设 f()在 a 处二阶可导，证明：f(a)25 设 f()连续， f(0)0，f(0) 1，求 -aa
5、f(a)d -aaf(a)d26 设27 设 f()连续，且 g() 02f(t)dt，求 g()28 证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性29 举例说明函数可导不一定连续可导30 设 f()在a，b上有定义，M0 且对任意的 ，y a，b，有f()f(y)M y k (1)证明：当 k0 时，f() 在a ，b上连续； (2) 证明：当 k1 时，f()常数考研数学二（导数与微分）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 令 h()f() f()，h(0)0，h()f(
6、) 0(0 a)， 由 得 h()0(0 a)， 于是 0(0a)，故 在(0，a上为单调减函数， 故选 B【知识模块】 导数与微分2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f()可导，所以 f()可微分，即ydy0( )，所以ydy是 的高阶无穷小，选 A【知识模块】 导数与微分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f()0， f()f(0)0，所以 f()在 0 处连续； 由0， 得 f()在 0 处可导，且 f(0)0； 当 0 时，f() 3 2sin cos ；当 0 时，f()2， 因为 f(0)，所以 f()在 0处导数连续，选 D【知识模块】 导数与微分4 【正确答案】 D【试
7、题解析】 因为 3f(1)， 所以 f()在 1 处连续 因为3， 所以 f()在 1 处可导 当1 时， f()21，因为 f()3f(1)，所以 f()在 1 处连续可导，选D【知识模块】 导数与微分5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f()为奇函数，所以 f()为偶函数，故在(，0)内有 f()0因为 f() 为奇函数，所以在( ，0)内 f()0，选 C【知识模块】 导数与微分6 【正确答案】 B【试题解析】 由 1，得 f(0)0，f(0) 1，因为 f()0，所以 f()单调减少，在(，0) 内 f()f(0) 10，故 f()在( ，0)内为单调增函数，再由 f(0)0，在(
8、，0)内 f()f(0)0，选 B【知识模块】 导数与微分7 【正确答案】 D【试题解析】 由 1 得 f(0)0， 由 1f(0)得 0 为极小点，应选 D【知识模块】 导数与微分8 【正确答案】 C【知识模块】 导数与微分9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 yf()的图像与 yf() 的图像关于 y 轴对称，所以 0 为f()的极大值点，从而 0 为f( )的极小值点，选 B【知识模块】 导数与微分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 由 yy ，得 ylnlny，两边求导数得 yln lny y，解得 y【知识模块】 导数与微分11 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】
9、导数与微分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 导数与微分13 【正确答案】 8【试题解析】 因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，于是 f(1)2，【知识模块】 导数与微分14 【正确答案】 10f(a)f(a)【试题解析】 因为 f()在 a 处可导，所以 f()在 a 处连续， 于是 f(a3h) f(a2h)2f(a)5f(a)10f(a)f(a)【知识模块】 导数与微分15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 导数与微分16 【正确答案】 6【试题解析】 因为 f()为奇函数，所以 f()为偶函数， 由 f(3)3 2f(3)得f(2) 1 3f(1) 3f(1
10、)6【知识模块】 导数与微分17 【正确答案】 a 2； b2；c 2【试题解析】 f(00) f()a，f(0)2，f(00)c ， 因为 f()在 0 处连续，所以 f(00)f(0)f(00)， 从而 a 一2，c 2，即因为 f()在 0 处可导，即 f+(0)f -(0)，故 b 2【知识模块】 导数与微分18 【正确答案】 0；8【试题解析】 因为 2，所以 f()0，再由 f()在 2 处的连续性得 f(2)0 由 ，得 f(2)8【知识模块】 导数与微分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 y (n)C 012(ln)(n)C n12.(ln)(
11、n-1)C n22.(ln)n-1【知识模块】 导数与微分20 【正确答案】 令 f()由 A(21)B(2)4 3 得 解得 A1，B2，【知识模块】 导数与微分21 【正确答案】 f() 01ysin dy 0(y)sinn dy 1(y)sin dy 0sin dy 0ysin dy 1sin dy 1ysin dy， 则 f() 0sin dy 1sin dy，f () 2sin 【知识模块】 导数与微分22 【正确答案】 当 y 0 时，f(0) 2f(0)，于是 f(0)0 对任意的(，)，则f() 2C，因为 f(0)0，所以 C0，故 f() 2【知识模块】 导数与微分23 【
12、正确答案】 因为 0f(). 得 f()0f(0)，故f()在 0 处连续 由 得 f-(0)1， 再由 得 f+(0)0， 因为 f-(0)f-，所以 f()在 0 处不可导【知识模块】 导数与微分24 【正确答案】 【知识模块】 导数与微分25 【正确答案】 -aaf(a)d -aa(a)d -aaf(a)d( a) -aaf(a)d(a) 02af()d -2a0f()d 02af()d 0-2af()d， 又由 ln(1a)a o(a 2)得a0 时 aln(1a) ，于是【知识模块】 导数与微分26 【正确答案】 方程 两边对 求导数得【知识模块】 导数与微分27 【正确答案】 g(
13、) 20f(t)d(t) 20f(u)du 20f(u)du， g()2 0f(u)du 2f()【知识模块】 导数与微分28 【正确答案】 设 f()在a，b上连续，令 g()f()，对任意的 0a，b，有 0g()g( 0)f()f( 0)f()f( 0)， 因为 f()在a ，b上连续，所以 ()f( 0)， 由迫敛定理得 f()f( 0)， 即f()在 0 处连续，由 0 的任意性得f() 在a ，b上连续 设 f()，则 f()在0 处可导，但 f()在 0 处不可导【知识模块】 导数与微分29 【正确答案】 令 f() 当 0 时，f()2sin cos ，当 0 时，f(0) 0， 即 f()因 f()不存在，而 f(0)0，所以 F()在 0处可导，但 f()在 0 处不连续【知识模块】 导数与微分30 【正确答案】 (1)对任意的 0a，b，由已知条件得 0f()f( 0)M 0 k， f()f( 0)， 再由 0 的任意性得 f()在a ，b上连续 (2)对任意的 0a，b，因为 k1， 所以 0 M 0 k-1，由夹逼定理得 f(0)0，因为 0 是任意一点，所以 f()0，故 f()常数【知识模块】 导数与微分
