1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 y一 3y+2y=ex+1+excos2x 的特解形式为( )（A）y=axe x+b+Aexeos2x。（B） y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。（C） y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。（D）y=axe x+b+ex(Aeos2x+Bsin2x)。2 微分方程 y+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为( )（A）y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Beosx
2、)。（C） y*=ax2+bx+c+Asinx。（D）y *=ax2+bx+c+Acosx。3 微分方程 y一 2y=ex+e-x(0)的特解形式为( )（A）a(e x+e-x)。（B） ax(ex+e-x)。（C） x(aex+be-x)。（D）x 2(aex+be-x)。二、填空题4 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 的特解为_。5 微分方程(y+x 2e-x)dx 一 xdy=0 的通解是 y=_。6 微分方程(y+x 3)dx 一 2xdy=0 满足 的特解为_。7 微分方程 满足初始条件 y x=2=1 的特解是_。8 微分方程 ydx+(x 一 3y2)dy=0，x0 满足条
3、件 y x=1=1 的特解为_。9 已知 y1=e3x 一 xe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y=_。10 设 y=ex(asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_。11 微分方程 xy+3y=0 的通解为_。12 微分方程 的通解为_。13 微分方程 y+2y+5y=0 的通解为_。14 微分方程 y一 4y=e2x 的通解为_。15 微分方程 y一 2y+2y=ex 的通解为_。16 二阶常系数非齐次线性方程 y一 4y+3y=2e2x 的通解为
4、y=_。17 微分方程 y一 3y+2y=2ex 满足 的特解为_。18 若二阶常系数齐次线性微分方程 y+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y+ay+by=戈满足条件 y(0)=2，y(0)=0 的特解为 y=_。19 三阶常系数线性齐次微分方程 y一 2y+y一 2y=0 的通解为y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数。20 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；21 求变换后的微分方程满足初始条件 的
5、特解。22 设 f(u，v)具有连续偏导数，且 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v，求 y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。23 设 f(u，v)具有连续偏导数，且满足 fu(u，v)+f v(u，v)=uv。求 y(x)=e-2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。24 设 y=y(x)是区间 (一 ，)内过 的光滑曲线，当一 x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0x 时，函数 y(x)满足 y+y+x=0。求函数 y(x)的表达式。25 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 其上任一点 P(x，y)处的法线与 y 轴
6、的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分。求曲线 y=f(x)的方程。25 在 xOy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)。26 求 L 的方程；27 当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 时，确定 a 的值。27 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 m(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点28 试求曲线 L 的方程；29 求 L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形面积最小。30 设函数 y(x)具
7、有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记 a 为曲线 l 在点(x，y) 处切线的倾角，若 ，求 y(x)的表达式。31 设 y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y) 处的曲率为 ，且此曲线上点(0 ，1) 处的切线方程为 y=x+1，求该曲线的方程，并求函数 y=y(x)的极值。32 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2
8、恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程。33 设 y=f(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点。若梯形 OCMA 的面积与曲边三角形 CBM 的面积之和为 ，求 f(x)的表达式。34 假设： 函数 y=f(x)(0x+)满足条件 f(0)=0 和 0f(x)ex 一 1； 平行于 y轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex 一 1 分别相交于点 P1 和 P2； 曲线 y=f(x)，直线 MN 与 x 轴所围成的封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度。求函数y=f
9、(x)的表达式。35 如图 15 一 1，C 1 和 C2 分别是 和 y=ex 的图象，过点(0，1)的曲线 C3 是一单调增函数的图象。过 C2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线 lx 和 ly。记 C1，C 2 与 lx 所围图形的面积为 S1(x)；C 2，C 3 与 ly 所围图形的面积为 S2(y)。如果总有 S1(x)=S2(y)，求曲线 C3 的方程 x=(y)。36 设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0。已知曲线 y=f(x)与直线y=0，x=1 及 x=t(t1) 所围成的曲边梯形绕戈轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边
10、梯形面积值的，t 倍，求该曲线方程。37 设 f(x)是区间0，+)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)=1。对任意的t0，+)，直线 x=0，x=t，曲线 y=f(x)以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 f(x)的表达式。37 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2m。根据设计要求，当以 3m3min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m2min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。38 根据 t 时刻液面的面积，写出 t
11、与 (y)之间的关系式；39 求曲线 x=(y)的方程。40 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m，体积为 ，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)。试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y(v)。考研数学二（常微分方程）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 齐次微分方程 y一 3y
12、+2y=0 的特征方程为 2 一 3+2=0特征根为=1，=2，则方程 y一 3y+2y=ex+1+excos2x 的特解为y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)，故选 D。【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 对应齐次方程 y+y=0 的特征方程为 2+1=0， 特征根为 =i ， 对于方程 y+y=x2+1=e0(x2+1)，0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y *=ax2+bx+c， y1*=ax2+bx+c 对于方程 y+y=sinx，i 为特征根，从而其特解形式可设为 y2*=x(Asinc+Bcosx)， 因此 y+y=x2+1+sinx 的特
13、解形式可设为 y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 2=O，其特征根为r1,2=，所以 y一 2y=ex的特解为 y1*=axex，y 一 2y=e2x 的特解为 y2*=bxe-x，根据叠加原理可知原方程的特解形式为 y*=y1*+y2*=x(ae+bex )，y*=y1*+y2*=s(aex+be-x)，因此选 C。【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 x(一 e-x+C)【试题解析】 微分方程(y+x
14、2e-x)dx 一 xdy=0，【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 x=y 2+y【试题解析】 将 x 看作未知函数，则 上式为 x 对 y 的一阶线性方程，又因 y=10，则 将 x=2,y=1 代入，得C=1 故 x=y2+y。【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 x=y 2【试题解析】 对原微分方程变形可得 此方程为一阶线性微分方程，所以又 y=1 时 x=1，解得 C=0，因此 x=y2。【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x【试题解析】 显然 y1 一 2=e3x 和 y2
15、一 y3=ex 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且 y*=一 xe2x 是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为 y=C1e3x+C2ex 一 xe2x。【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 y一 2y+2y=0【试题解析】 由通解的形式可知，特征方程的两个根是 1， 2=1i，因此特征方程为( 一 1)(一 2)=2 一( 1+2)+12=2 一 2+2=0，故所求微分方程为 y一2y+2y=0。【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 【试题解析】 令 P=y，则原方程化为 ，其通解为 P=Cx-3。因此，【知识模块】 常微分方程12 【正确
16、答案】 【试题解析】 二阶齐次微分方程的特征方程为【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y=e -x(C1cos2x+C2sin2x)【试题解析】 由题干可知，方程 y+2y+5y=0 的特征方程为 2+2+5=0解得则原方程的通解为 y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)。【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 【试题解析】 对应齐次微分方程的特征方程为 2 一 4=0，解得 1=2， 2=一 2。故y一 4y=0 的通解为 y1=C1e+C2eh，其中 C1，C 2 为任意常数。由于非齐次项为 f(x)=e2x，=2 为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为 y=Axe2x
17、，代入原方程可求出 故所求通解为【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 y=C 1excosx+C2exsinx+ex【试题解析】 对应的特征方程为 2 一 2+2=0解得其特征根为 1,2=1i。由于=1不是特征根，可设原方程的特解为 y*=Aex，代入原方程解得 A=1。因此所求的通解为 y=C1excosx+C2exsinx+ex。【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 y=C 1ex+C2e3x 一 2e2x【试题解析】 特征方程为 2 一 4+3=0，解得 1=1， 2=3。则对应齐次线性微分方程 y一 4y+3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x。设非齐次线性微分方程
18、 y一4y+3y=2e2x 的特解为 y*=ke2x，代入非齐次方程可得 k=一 2。故通解为y=C1ex+C2e3x 一 2e2x。【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 y=一 3ex+3e2x 一 2xex【试题解析】 y一 3y+2y=2ex 对应的齐次方程的特征方程是 2 一 3+2=0，它的两个特征根分别是 1=1， 2=2。因此对应齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e2x。又因为 x=1 是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为 y*=Axex，则 (y *)=Aex+Axex， (y *)=2Aex+Axex， 将以上三式代入方程得 A=一 2。 因此，此非齐次线性微
19、分方程的通解为 y=C 1ex+C2e2x 一 2xex。 由所给题设条件可得 y(0)=0， y(0)=1，代入上式解得 y=一 3ex+3e2x 一 2xex。【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 x(1 一 ex)+2【试题解析】 由常系数齐次线性微分方程 y+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex 可知 y1=ex，y 2=xex 为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有 y1+ay1+by1=(1+a+b)ex=0=1+a+b=0 ，y 2+ay2+6y2=2+a+(1+a+b)xex=02+a=0，从而 a=一2，b=1，故非齐次微分方程为 y+ay+by=x。设特
20、解 y*=Ax+B，代入非齐次微分方程，得一 2A+Ax+B=x，即 所以特解为 y*=x+2，非齐次方程的通解为 y=(C1+C2x)ex+x+2。把 y(0)=2，y(0)=0 代入通解，得 C1=0，C 2=一 1。故所求特解为 y=一 xex+x+2=x(1 一 ex)+2。【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 C 1e2x+C2cosx+C3sinx【试题解析】 微分方程对应的特征方程为 3 一 22+一 2=0。解上述方程可得其特征值为 2，i，于是其中一组特解为 e2x，cosx，sinx。因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。【知识模块】 常微分方程三、解
21、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 由反函数的求导公式知 ，于是有代入原微分方程得 y一y=sinx。 (*)【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 方程(*)所对应的齐次方程 y一 y=0 的通解为 Y=C1ex+C2e-x。设方程(*)的特解为 y=Acosx+Bsinx代入方程(*)，求得因此 y一 y=sinx 的通解是由 得 C1=1，C 2=一 1。故所求初值问题的特解为【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 由 y(x)=e-2xf(x，x)，有 y(x)=一 2e-2xf(x，x)+e -2xf1(x，x)+f 2(x
22、，x)，由 fu(u，v)+f v(u，v)=sin(u+v)e u+v 可得 f1(x，x)+f 2(x，x)=(sin2x)e 2x。于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x，通解为 y(x)=e-2xf sin2x.e2xdx+c，由分部积分公式，可得【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由 y(x)=e 一 2xf(x，x)，两边对 x 求导有，y=一 2e 一 2xf(x，x)+e 一2xf1(x，x)+e 一 2xy2(x，x) =一 2e 一 2xf(x，x)+e 一 2xf1(x，x)+f 2(x，x) =一 2y+e 一2xf1(x，x)+f
23、 2(x，x)。已知 fu(u，v)+f v(u，v)=uv，即 f1(u，v)+f 2(u，v)=uv，则f1(u，v)+f 2(x，x)=x 2。因此，y(x)满足一阶微分方程 y+2y=x2e-2x。由一阶线性微分方程的通解公式得【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 由题意，当一 x0 时，法线均过原点，所以有 ，得y2=一 x2+C。又 ，代入 y2=一 x2+C 得 C=2，从而有 x2+y2=2。当0x 时，y+y+x=0，得其对应齐次微分方程 y+y=0 的通解为y*=C1cosx+C2sinx。设其特解为 y1=Ax+B，则有 0+Ax+B+x=0，得 A=一 1，B=0
24、，故 y1=一 x 是方程的特解，因此 y+y+x=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx 一 x。因为y=y(x)是( 一 ，)内的光滑曲线，故 y 在 x=0 处连续且可导，所以由已知得y x=0=，y x=0=0，故得 C1=，C 2=1，所以【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点 P(x，y)处的法线方程为令 X=0，则它与 y 轴的交点为 由题意，此点与点P(x，y)所连的线段被 x 轴平分，由中点公式得 ，即2ydy+xdx=0上式两端积分得 代入初始条件，故曲线 y=f(x)的方程为 即 x2+2y2=1。【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常
25、微分方程26 【正确答案】 设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则由题设可得 这是一阶线性微分方程，其中 代入通解公式得又 f(1)=0，所以 C=一 s。故曲线 L 的方程为 y=ax2 一 ax(x0)。【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 L 与直线 y=ax(a0)所围成的平面图形如图 152 所示。所以故 a=2。【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(X 一 x)，令 X=0，则 Y=一 xy+y，即它在 y 轴上的截距为一 xy+y。根据距离公式，点 P(x，y)到坐标原点的距离为 。故由题设
26、条件得 此为一阶齐次微分方程，令 y=ux，则 ，代入上式，方程变为【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 由(I)知曲线的方程为 。则 y=一 2x，点，所以在点 P 处的切线方程为分别令 X=0，Y=0 ，解得在 y 轴，x 轴上的截距分别为 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为 S0，于是题中所求的面积为求最值点时与 S0 无关，而根据极值存在的第一充分条件知 是 S(x)在 x0 时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 由 ，两边对 x 求导得 ，即(1+y 2)y=y，因此可
27、知 令 分离变量得【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 由题设及曲率公式，有由题设，曲线上点(0，1) 处的切线方程为 y=x+1，可知 y(0)=1，y(0)=1(本题选择 是因为已知曲线在 x=0处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含 x=0 在内并且使 y(x)连续的一个区间。)对上式积分得又由题设可知 y(0)=1，代入上式，得 ，于是所求的曲线方程为由于 ，且 lnx 在定义域内是增函数，所以当且仅当 时，即 x= 时，y 取得最大值，由于 ，所以此时 y 取极大值，极大值为 ，显然 y 在 没有极小值。【知识模块】 常微分方程32 【正确答案】 设曲线 y=y(
28、x)上的点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(X 一x)它与 x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，因此 y(x)1(x0)。于是又可得 S2=0-xy(t)dt 根据题设 2S1 一 S2=1，有并且 y(0)=1，两边对 x 求导并化简得 yy=(y)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令 P(y)=y，则上述方程可化 分离变量得从而有 y=C 2eC1x 根据 y(0)=1，y(0)=1 ，可得 C1=1，C 2=1。故所求曲线的方程为 y=ex。【知识模块】 常微分方程33 【正确答案】 由题意得即有 1+f(x)+xf(x)一 2f(x)=x2。当 x0 时，化简得 即此方
29、程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为曲线过点 B(1，0)，代入上式，得 C=一 2.所以 f(x)=x2+12x=(x 一 1)2。【知识模块】 常微分方程34 【正确答案】 由题设可得 0xf(x)dx=ex 一 1 一 f(x)，两端求导，得 f(x)=ex-f(x)，即有 f(x)+f(x)=ex。由一阶线性方程求解公式，得由 f(0)=0 得 ，因此所求函数为【知识模块】 常微分方程35 【正确答案】 由已知条件【知识模块】 常微分方程36 【正确答案】 根据旋转体的体积公式，V= 1tf2(x)dx=1tf2(x)dx，而曲边梯形的面积为 s=1tf(x)dx，则由题意可知
30、V=ts 可以得到 V=1t(x)dx=t1tf(x)dx，因此可得 1tf2(x)dx=t1tf(x)dx 上式两边同时对 t 求导可得 f 2(t)=1tf(x)dx+tf(t)，即 f 2(t)一 tf(t)=1tf(x)dx。继续求导可得 2f(t)-f(t)一 tf(t)=f(t)，化简 2f(t) 一 tf(t)=2f(t)亦即解这个微分方程得 在 f2(t)一 tf(t)=1tf(x)dx 中令t=1，则 f2(1)一 f(1)=0，又 f(t)0，即 f(1)=1，将其代入因此该曲线方程为【知识模块】 常微分方程37 【正确答案】 因此，所求函数为【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程38 【正确答案】 设在 t 时刻，液面的高度为 y，此时液面的面积为 A(t)=2(y)，由题设，液面的面积将以 m2min 的速率均匀扩大，可得【知识模块】 常微分方程39 【正确答案】 液面的高度为 y 时，液体的体积为 V(t)=0-22(u)du，由题设，以3m3min 的速率向容器内注入液体，得【知识模块】 常微分方程40 【正确答案】 选取沉放点为原点 O，Oy 轴正向取铅直向下，则根据牛顿第二定律得【知识模块】 常微分方程
