1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0，且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则 y(x)=( )2 设线性无关的函数 y1，y 2，y 3 都是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是( )（A）C 1y1+C2y2+y3。（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3。（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1C2)y3。
2、（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3。3 在下列微分方程中，以 y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C 2，C 3 为任意常数)为通解的是( )（A）y +y一 4y一 4y=0。（B） y+y+4y+4y=0。（C） y一 y一 4y+4y=0。（D）y 一 y+4y一 4y=0。4 方程 y一 3y+2y=ex+1+excos2x 的特解形式为( )（A）y=axe x+b+Aexcos2x。（B） y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。（C） y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。（D）y=axe x+b+ex(Acos2x
3、+Bsin2x)。二、填空题5 微分方程 y= 的通解是_。6 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_。7 微分方程 y+ytanx=cosx 的通解 y=_。8 微分方程 y+y=ex cosx 满足条件 y(0)=0 的特解为 _。9 微分方程(y+x 3)dx 一 2xdy=0 满足 y x=1= 的特解为 _。10 已知 y1=e3x 一 xe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y=_。11 微分方程 y一 y+ y=0 的通解为_。12 微分方程 y一 2y+2y=ex 的通解
4、为_。13 若二阶常系数齐次线性微分方程 y+by+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程 y+ay+by=x 满足条件 y(0)=2，y (0)=0 的特解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求微分方程 y一 3y+2y=2xex 的通解。15 设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+0tf(s)sinsds，求 f(t)。15 设函数 y=y(x)在( 一，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y) 是 y=y(x)的反函数。16 试将 x=x(y)所满足的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程；17 求变换后的微分方程
5、满足初始条件 y(0)=0，y (0)= 的特解。18 设 f(，)具有连续偏导数，且 f(，)+f (， )=sin(+)e ，求 y(x)=e2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。19 设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点 ，其上任一点 P(x，y)处的法线与 y轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 x 轴平分。求曲线 y=f(x)的方程。20 设函数 y(x)(x0)二阶可导，且 y(x)0，y(0)=1。过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形
6、面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程。21 如图 151，C 1 和 C2 分别是 y= (1+ex)和 y=ex 的图象，过点(0，1)的曲线 C3是一单调增函数的图象。过 C2 上任一点 M(x，y)分别作垂直于 x 轴和 y 轴的直线lx 和 ly。记 C1，C 2 与 lx 所围图形的面积为 S1(x)；C 2，C 3 与 ly 所围图形的面积为S2(y)。如果总有 S1(x)=S2(y)，求曲线 C3 的方程 x=(y)。21 有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y0)绕 y 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2m。根据设计要
7、求，当以 3m3min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 m2min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。22 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与 (y)之间的关系式；23 求曲线 x=(y)的方程。24 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)。试建立 y 与 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y()。考研数学二
8、（常微分方程）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 原方程可化为 =一 1，其通解为V= =x+Cx2。曲线 y=C+Cx2 与直线 x=1 及 x 轴所围区域绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V(C)=01(x+Cx2)2dx= 。故 C= 是唯一的极值点，则为最小值点，所以 y=x 一 x2。【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 y1，y 2，y 3 是二阶非齐次线性方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y 1 一 y3)，(y 2 一 y3)都是齐次线性
9、方程 y+p(x)y+q(x)y=0 的解，且(y1 一 y3)与(y 2 一 y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为 y=C1(y1 一 y3)+C2(y2一 y3)。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故本题的答案为D。【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 已知题设的微分方程的通解中含有 ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为 =1，=2i，所以特征方程为 ( 一 1)( 一 2i)(+2i)=0， 即 3 一 2+4 一 4=0。 因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为 y 一 y+4y一 4y=0。
10、【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 D【试题解析】 齐次微分方程 y一 3y+2y=0 的特征方程为 2 一 3+2=0， 特征根为1=1， 2=2，则方程 y一 3y+2y=ex+1+excos2x 的特解为 y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)， 故选 D。【知识模块】 常微分方程二、填空题5 【正确答案】 y=Cxe x (x0)【试题解析】 原方程等价为 两边积分得lny=ln xx+C 。取 C=eC1，整理得 y=Cxex (x0)。【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 y=【试题解析】 原方程可化为(xy) =0，积分得 xy=C，代入初始条件得 C=2
11、，故所求特解为 xy=2，即 y= 。【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 (x+C)cosx【试题解析】 直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知 y=etanxdx cosxe tanxdxdx+C=(x+C)cosx。【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 y=e x sinx【试题解析】 原方程的通解为 y=e 1dx (ex cosxe 1dxdx+C) =ex (cosxdx+C)=ex (sinx+C)。 由 y(0)=0 得 C=0，故所求解为 y=ex sinx。【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 y= x3【试题解析】 公式法。原方程变形为 ，由一阶线性微分方程通
12、解公式得【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x【试题解析】 显然 y1 一 y3=e3x 和 y2 一 y3=ex 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且 y*=一 xe2x 是非齐次微分方程的一个特解。 由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x。【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y= (C1+C2x)【试题解析】 二阶齐次微分方程的特征方程为 2 一 + =0，解方程得1=2= 。因此齐次方程的通解为 y= (C1+C2x)。【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y=C 1exco
13、sx+C2exsinx+ex【试题解析】 对应的特征方程为 2 一 2+2=0， 解得其特征根为 1，2 =1i。 由于=1 不是特征根，可设原方程的特解为 y*=Aex，代入原方程解得 A=1。因此所求的通解为 y=C 1excosx+C2exsinx+ex。【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 x(1 一 ex)+2【试题解析】 由常系数齐次线性微分方程 y+ay+by=0 的通解为 y=(C1+C2x)ex 可知 y1=ex，y 2=xex 为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有 y1+ay1+by1=(1+a+b)ex=0 1+a+b=0，y 2+ay2+by2=2+a+(1+a
14、+b)xex=0 2+a=0，从而 a=一2，b=1，故非齐次微分方程为 y+ay+by=x。设特解 y*=Ax+B，代入非齐次微分方程，得一 2A+Ax+B=x，即所以特解为 y*=x+2，非齐次方程的通解为 y=(C1+C2x)ex+x+2。把 y(0)=2，y (0)=0 代入通解，得 C1=0，C 2=一 1。故所求特解为 y=一 xex+x+2=x(1 一 ex)+2。【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 齐次方程 y一 3y+2y=0 的特征方程为 2 一 3+2=0，由此得1=2， 2=1。 即对应齐次方程的通解为 y=C
15、1e2x+C2ex。 设非齐次方程的特解为 y*=(ax+b)xex， 则有 (y *)=ax2+(2a+b)x+bex。 (y *)=ax2+(4a+b)x+2a+2bex， 代入原方程得 a=一 1，b=一 2，因此所求解为 y=C 1e2x+C2ex 一 x(x+2)ex。【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 因 f(t)连续，因此 0tf(s)sinsds 可导，从而 f(t)可导，于是 f(t)=cos2t+0tf(s)sinsds， 利用公式 f(t)=esintdt2sin2t e sintdtdt+C，由 f(0)=1 得 C=e。因此，f(t)=e 1cost +4(c
16、ost 一 1)。【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 由反函数的求导公式知 ，于是有代入原微分方程得 y一y=sinx。 (*)【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 方程(*)所对应的齐次方程 y一 y=0 的通解为 Y=C1ex+C2ex 。设方程(*)的特解为 y*=Acosx+Bsinx，代入方程(*) ，求得 A=0，sinx，因此 y一 y=sinx 的通解是 y=Y+y*=C1ex+C2ex 一sinx。由 y(0)=0，y (0)= ，得 C1=1，C 2=一 1。故所求初值问题的特解为 y=exex 一 sinx。【知识模块】 常微分方程1
17、8 【正确答案】 由 y(x)=e2x f(x，x)，有 y(x)=一 2e2x f(x，x)+e 2x f1(x，x)+f2(x，x)，由 f(，)+f (，)=sin(+)e 可得 f1(x，x)+f 2(x，x)=(sin2x)e 2x。于是 y(x)满足一阶线性微分方程 y(x)+2y(x)=sin2x，通解为 y(x)=e2x sin2xe 2xdx+C，由分部积分公式，可得sin2xe 2xdx= (sin2xcos2x)e2x，所以 y(x)= (sin2xcos2x)+Ce2x 。【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点 P(x，y)处的法线方程为 Y
18、 一 y= (X 一 x)，令X=0，则它与 y 轴的交点为 (0，y+ )。由题意，此点与点 P(x，y) 所连的线段被 x轴平分，由中点公式得 =0，即 2ydy+xdx=0，上式两端积分得+y2=C(C 为任意常数)，代入初始条件 ，故曲线 y=f(x)的方程为 ，即 x2+2y2=1。【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 设曲线 y=y(x)上的点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)，它与 x 轴的交点为(x 一 ，0)。由于 y(x)0，y(0)=1，因此 y(x)1(x0)。于是S1= 。又可得 s2=0xy(t)dt。根据题设 2S1 一 S2=1，有 一0xy(
19、t)dt=1。并且 y(0)=1，两边对 x 求导并化简得 yy=(y)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令 p(y)=y，则上述方程可化 =p2，分离变量得 从而有y=C2eC1x。根据 y(0)=1，y(0)=1，可得 C1=1，C 2=1。故所求曲线的方程为 y=ex。【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 由已知条件 S1(x)=0xet 一 (1+et)dt= (ett) 0x= (ex 一 x 一 1)，S2(y)=1y(lnt 一 (t)dt，故有 (ex 一 x 一 1)=1y(lnt 一 (t)dt，而 y=ex，于是 (y 一lny 一 1)=1y(lnt 一 (t)dt
20、，两边对 y 求导得 =lny 一 (y)，故所求的函数关系为 x=(y) =lny 。【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 设在 t 时刻，液面的高度为 y，此时液面的面积为 A(t)=2(y)，由题设，液面的面积将 m2min 的速率均匀扩大，可得所以 2(y)=t+C。由题意，当 t=0 时 (y)=2，代入得C=4，于是得 2(y)=t+4。从而 t=2(y)一 4。【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 液面的高度为 Y 时，液体的体积为 V(t)=0y2()d，由题设，以3m3min 的速率向容器内注入液体，得 0y2()d=3，所以 0y2()d=3t=32(y)一 12，上式两边对 y 求导，得 2(y)=6(y)(y)，即(y)，解此微分方程，得 (y)= ，其中 C 为任意常数。由 (0)=2 知 C=2，故所求曲线方程为 x= 。【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 选取沉放点为原点 O，Oy 轴正向取铅直向下，则根据牛顿第二定律得 =mg 一 B 一 k，这是一个可降阶的二阶微分方程，其中 = 。【知识模块】 常微分方程
