1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则方程的通解为( )（A）y=Cy 1(x)。（B） y=Cy2(x)。（C） y=C1y1(x)+C2y2(x)。（D）y=Cy 1(x)一 y2(x)。2 已知，y 1=x，y 2=x2，y 3=ex 为方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )（A）y=C 1x+C2x2+ex。（B） y=C1x2+C2ex+x。（C） y=C1(x 一 x2)+C2(x 一 e
2、x)+x。（D）y=C 1(x 一 x2)+C2(x2 一 ex)。3 函数 y=C1ex+C2e2x +xex 满足的一个微分方程是( )（A）y 一 y一 2y=3xex。（B） y一 y一 2y=3ex。（C） y+y一 2y=3xex。（D）y +y一 2y=3ex。4 微分方程 y+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为( )（A）y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)。（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)。（C） y*=ax2+bx+c+Asinx。（D）y *=ax2+bx+c+Acosx。二、填空题5 微分方程 xy=yln 的通解为_
3、。6 微分方程 3extanydx+(1 一 ex)sec2ydy=0 的通解是_。7 微分方程 满足 y x=1=1 的特解为_。8 微分方程 xy+2y=xlnx 满足 y(1)= 的特解为_。9 微分方程 满足初始条件 y x=2=1 的特解是_。10 设 y=ex(asinx+bcosx)(a，b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_。11 微分方程 y+2y+5y=0 的通解为_。12 二阶常系数非齐次线性方程 y一 4y+3y=2e2x 的通解为 y=_。13 三阶常系数线性齐次微分方程 y一 2y+y一 2y=0 的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文
4、字说明、证明过程或演算步骤。14 求微分方程 y一 a(y)2=0(a0)满足初始条件 y x=0=0，y x=0=一 1 的特解。14 已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex。15 求 f(x)的表达式；16 求曲线 y=f(x20xf(t 2)dt 的拐点。17 用变量代换 x=cost(0t)化简微分方程(1 一 x2)y一 xy+y=0，并求其满足y x=0=1，y x=0 的特解。18 设 f(，)具有连续偏导数，且满足 f(，)+f (，)= 。求 y(x)=e2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。18 在 x
5、Oy 坐标平面上，连续曲线 L 过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax(常数 a0)。19 求 L 的方程；20 当 L 与直线 y=ax 所围成平面图形的面积为 时，确定 a 的值。21 设函数 y(x)具有二阶导数，且曲线 l：y=y(x)与直线 y=x 相切于原点，记 为曲线 l 在点(x，y) 处切线的倾角，若 ，求 y(x)的表达式。22 设 y=f(x)是第一象限内连接点 A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点 C 为 M 在 x 轴上的投影，O 为坐标原点。若梯形 OCMA 的面积与
6、曲边三角形 CBM 的面积之和为 ，求 f(x)的表达式。23 设曲线 y=f(x)，其中 y=f(x)是可导函数，且 f(x)0。已知曲线 yf(x)与直线y=0，x=1 及 x=t(t1) 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线方程。考研数学二（常微分方程）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 y1(x)和 y2(x)是方程 y+p(x)y=0 的两个不同的特解，则 y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则 y=y1(x)一 y2(x)为该方程的
7、解。【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 方程 y+P(x)y+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x 一 x2)和(x 一 ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C1(x 一 x2)+C2(x 一 ex)+x，故选 C。【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 1=1， 2=一 2。 因此对应的齐次微分方程的特征方程为 2+一 2=0， 故对应的齐次微分方程为 y+y一 2y=0。 又因为 y*=xex 为原微分方程的一个特解，而 =1为特征根且为单根，故
8、原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为 f(x)=Cex(C为常数)。 比较四个选项，应选 D。【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 A【试题解析】 对应齐次方程 y+y=0 的特征方程为 2+1=0， 特征根为 =i， 对于方程 y+y=x2+1=e0(x2+1)，0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y 1*=ax2+bx+c， 对于方程 y+y=sinx，i 为特征根，从而其特解形式可设为 y 2*=x(Asinx+Bcosx)， 因此 y+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为 y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)。【知识模块】 常微分方程二、填空题5 【正确
9、答案】 y=xe Cx1【试题解析】 令 y=x，代入原方程，则有 x+=ln,即 ，两边求积分，即得 lnln 一 1=ln x+C ，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx1 ，C 为任意常数。【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 tany=C(e x 一 1)3【试题解析】 两边同乘以 ，方程分离变量为积分得 lntany=3ln e x 一 1+C。所以方程有通解为tany=C(ex 一 1)3。【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y= ，xe 1【试题解析】 令 = ，则原方程变为 ，分离变量得即 ，将y x=1=1 代入上式得 C=e。故满足条件的方程的特解为 ex=，x
10、e 1 。【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 y=【试题解析】 原方程可等价为 y+ y=lnx，于是通解为【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 x=y 2+y【试题解析】 将 x 看作未知函数，则 =y。上式为 x 对 y 的一阶线性方程，又因 y=10，则 x= =elny(ye lny dy+C)=y(dy+C)=y(y+C)，将 x=2，y=1 代入，得 C=1。故 x=y2+y。【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 y 一 2y+2y=0【试题解析】 由通解的形式可知，特征方程的两个根是 1， 2=1i，因此特征方程为 ( 1)(一 2)=2 一( 1+2)+12=2
11、 一 2+2=0， 故所求微分方程为 y一2y+2y=0。【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 y=e x (C1cos2x+C2sin2x)【试题解析】 由题干可知，方程 y+2y+5y=0 的特征方程为 2+2+5=0。解得1，2 = =一 12i。则原方程的通解为 y=ex (C1cos2x+C2sin2x)。【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y=C 1eX+C2e3x 一 2e2x【试题解析】 特征方程为 2 一 4+3=0，解得 1=1， 2=3。 则对应齐次线性微分方程 y一 4y+3y=0 的通解为 y=C1ex+C2e3x。 设非齐次线性微分方程 y一4y+3y
12、=2e2x 的特解为 y*=ke2x，代入非齐次方程可得 k=一 2。 故通解为 y=C1ex+C2e3x2e2x。【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 C 1e2x+C2cosx+C3sinx【试题解析】 微分方程对应的特征方程为 3 一 22+一 2=0。 解上述方程可得其特征值为 2，i，于是其中一组特解为 e2x，cosx，sinx。 因此通解为y=C1e2x+C2cosx+C3sinx。【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 令 y=p，则 y= ，将之代入原方程，得 一 ap2=0，分离变量并积分 =adx，由此得 =ax
13、+C1，由 x=0，y =0，y =p=一 1，得 C1=1，即由 x=0，y=0，得 C2=0，所以 y=ln(ax+1)。【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 齐次微分方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 2+ 一 2=0，特征根为 1=1， 2=一 2，因此该齐次微分方程的通解为 f(x)=C1ex+C2e2x 。 再由 f(x)+f(x)=2ex 得 2C1ex 一 3C2e2x =2ex，因此可知 C1=1，C 2=0。 所以 f(x)的表达式为f(x)=ex。【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 曲线方程为 y=ex20xet
14、2 dt，则 y =1+2xex20xet2 ， y =2x+2(1+2x2)ex20xet2 dt， 令 y=0 得 x=0。 下面证明 x=0 是 y=0 唯一的解，当 x0 时， 2x0，2(1+2x 2)ex20xet2 dt0， 可知 y0； 当 x0 时， 2x0，2(1+2x 2)ex20xet2 dt0， 可知 y0。可知 x=0 是 y=0 唯一的解。 同时，由上述讨论可知曲线 y=f(x 2)0xf(t 2)dt 在 x=0 左、右两边的凹凸性相反，因此 (0，0)点是曲线y=f(x2)0x(一 t2)dt 唯一的拐点。【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 代入原方程
15、，得 +y=0。解此微分方程，得 y=C1cost+C2sint=C1x+C2 ，将y x=0=1，y x=0=2 代入，得 C1=2，C 2=1。故满足条件的特解为 y=2x+ 。【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 由 y(x)=e2x f(x，x)，两边对 x 求导有，y =一 2e2x f(x，x)+e2x f1(x，x)+e 2x f2(x，x)=一 2e2x f(x，x)+e 2x f1(x，x)+f 2(x，x)=一2y+e2x f1(x， x)+f2(x，x)。已知 f(，)+f (，)=，即 f1(，)+f 2(，)= ，则 f1(x，x)+f 2(x，x)=x 2。因
16、此，y(x)满足一阶微分方程 y+2y=x2e2x 。由一阶线性微分方程的通解公式得 y=e2dx (x2e2x e2dxdx+C)=e2x (x2dx+C)=e2x ( +C)(C 为任意常数)。【知识模块】 常微分方程【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 设曲线 L 的方程为 y=f(x)，则由题设可得 y一 =ax，这是一阶线性微分方程，其中 P(x)= ，Q(x)=ax，代入通解公式得 y=x(ax+C)=ax2+Cx，又 f(1)=0，所以 C=一 a。故曲线 L 的方程为 y=ax2 一 ax(x0)。【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 L 与直线 y=ax(a0)所
17、围成的平面图形如图 152 所示。所以 D=02ax 一(ax 2 一 ax)dx=a02(2x 一 x2)dx=，故 a=2。【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 由 =tan，两边对 x 求导得 sec2 =y，即(1+y 2)y=y，因此可知 令 y=p，y = =p(1+p2)，分离变量得由 y(0)=0，且再次积分可得 y(x)= 。【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 由题意得 SOCMA= X1+f(x)，S CBM=x1f(t)dt，即有 1+f(x)+xf(x)一 2f(x)=x2。当 x0 时，化简得 f(x)一 ，即。此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通
18、解为曲线过点 B(1，0)，代入上式，得 C=一 2。所以 f(x)=x2+12x=(x 一 1)2。【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 根据旋转体的体积公式，V= 1tf2(x)dx=1tf2(x)dx，而曲边梯形的面积为 s=1tf(x)dx，则由题意可知 V=ts 可以得到 V=1Tf2(x)dx=t1tf(x)dx，因此可得 1tf2(x)dx=t1tf(x)dx。上式两边同时对 t 求导可得 f2(t)=1tf(x)dx+tf(t)，即 f2(t)一tf(t)=1tf(x)dx。继续求导可得 2f(t)f(t)f(t) 一 tf(t)=f(t)，化简2f(t) 一 tf(t)=2f(t)，亦即 =1，解这个微分方程得 t= 。在 f2(t)一 tf(t)=1tf(x)dx 中令t=1，则 f2(1)一 f(1)=0，又 f(t)0，即 f(1)=1，将其代入。因此该曲线方程为 2y+ 一3x=0。【知识模块】 常微分方程
