1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 xdy=(y 一 )dx(x0)满足 y(1)=0 的特解是 ( )2 设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y33 设二阶线性常系数齐次微分方程 y“+by+y=0
2、 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是 ( )（A）0 ，+)（B） (一，0（C） (一，4（D）(一， +)4 具有特解 y1=e 一 x，y 2=2xe 一 x，y 3=3ex 的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )（A）y“一 y“一 y+y=0（B） y“+y“一 y一 y=0（C） y“一 6y“+11y一 6y=0（D）y“一 2y“一 y+2y=05 函数 y=Cx+ =x 而言， ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但既非通解也非特解（D）不是解二、填空题6 设 y1=ex，y 2=x2 为某二阶线性齐次微分方程的两个特解，则该微分方程
3、为_7 设 p(x)，g(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y1(x)，y 2(x)与 y3(x)是二阶线性非齐次方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 常数，则式 的通解为_8 微分方程 的特解是_9 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对任意 x(，+)，y(一，+) ，成立f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且 f(0)存在等于 a，a0，则 f(x)= _10 设 f(x)在( 一，+)上可导，且其反函数存在为 g(x)若 0f(x)g(t)dt+0xf(t)dt=xexex+1， 则当一x+时 f(x)= _11 微分方程 y+ytan x=
4、cos x 的通解为 y=_12 微分方程 y“一 4y=e2x 的通解为 y=_13 微分方程 3extan ydx+(1 一 ex)sec2ydy=0 的通解是_14 微分方程 ytan x=yln y 的通解是_15 微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 已知 y=y(x)是微分方程 (x2+y2)dy=dxdy 的任意解，并在 y=y(x)的定义域内取x0，记 y0=y(x0) 17 设 a0，函数 f(x)在0，+) 上连续有界，证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+) 上有界18 已知曲线 y=y(x)经过
5、点 (1，e 一 1)，且在点(x，y)处的切线方程在 y 轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式19 求解(1+ )ydx+(y 一 x)dy=020 设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y+ysin x=(x)ecosx 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解? 若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由21 设有方程 y+P(x)y=x2，其中 P(x)= 试求在(一，+)内的连续函数y=y(x)，使之在 (一，1)和(1 ，+)内都满足方程，且满足初值条件 y(0)=222 设 (1)用变限积分表示满足上述初值条件的特解 y(x)；
6、(2)讨论 是否存在，若存在，给出条件，若不存在，说明理由23 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解24 求(4 一 x+y)dx 一(2 一 x 一 y)dy=0 的通解25 求 xy“一 yln y+yln x=0 满足 y(1)=2 和 y(1)=e2 的特解26 求 y2 一 yy“=1 的通解27 求(x+2)y“+xy 2=y的通解28 求微分方程 =x 的通解29 求微分方程 (x0)的通解30 求微分方程 y“一 2y一 e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解考研数学二（微分方程）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，
7、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 将原方程变形为 ，【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 C 1y1+C2y2+(1 一 C1C2)y3=C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y3)+y3，其中y1 一 y3 和 y2 一 y3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y3 是原方程的一个特解，所以(D) 是原方程的通解【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 A【试题解析】 因为当 b2 时，y(x)= ，所以，当 b2 一40 时，要想使 y(x)在区间(0，+) 上有界，只需要0，即 b2当 b240 时，要想使 y(x)在区间(0
8、，+) 上有界，只需要 的实部大于等于零，即0b2 当 b=2 时，y(x)=C 1e 一 x+C2xe 一 x 在区间(0，+) 上有界当 b=一 2 时，y(x)=C1ex+C2xex(C12+C220)在区间(0，+)上无界综上所述，当且仅当 b0 时，方程 y“+by+y=0 的每一个解 y(x)都在区间(0，+)上有界，故选(A)【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 根据题设条件，1，一 1 是特征方程的两个根，且一 1 是重根，所以特征方程为( 一 1)(+1)2=3+2 一 一 1=0，故所求微分方程为 y“+y“一 y一y=0，故选 (B) 或使用待定系数法，
9、具体为： 设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是 y“+ay“+by+cy=0。 由于 y1=e 一 x，y 2=2xe 一 x，y 3=3ex 是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 解得 a=1，b=一1，c=一 1 故所求方程为 y“+y“一 y一 y=0，即选项(B)正确【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 (1)因原方程阶数为二，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为C1+C1x+ 满足原方程，故选项(A)， (B)，(D)都不对，应选(C)【知识模块】 微分方程二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 由于方程形状已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可 设所求
10、的二阶线性齐次微分方程为 y“+p(x)y+q(x)y=0分别以 y1=ex，y 2=x2 代入，得【知识模块】 微分方程7 【正确答案】 y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)+y1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由线性非齐次方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可 y 1 一 y2 与 y2 一 y3 均是式对应的线性齐次方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个解今证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k1 与 k2 使 l 1(y1 一 y2)+k2(y2 一 y3)=0 设 k10，又由题设知
11、 y2 一 y30，于是式可改写为 =常数，矛盾若 k1=0，由 y2 一 y30，故由式 推知 k2=0 矛盾这些矛盾证得 y1 一 y2 与 y2 一 y3 线性无关 于是 Y=C 1(y1 一 y2)+C2(y1 一 y3) 为式的通解，其中 C1，C 2 为任意常数，从而知 y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)+y1 为式 的通解【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 x=e y 一 e 一 y 一 siny【试题解析】 熟悉反函数的导数的读者知道， 原方程可化为 x 关于 y 的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为以 x=0 时，y=0 代入上式，得 0=C
12、1+C2再将式两边对 y 求导，有【知识模块】 微分方程9 【正确答案】 axe x【试题解析】 由 f(0)存在，设法去证对一切 x，f(x)存在，并求出 f(x) 将 y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(x)=f(x)+f(0)e x，所以 f(0)=0令x0，得 f(x)=f(x)+e xf(0)=f(x)+aex，所以 f(x)存在解此一阶微分方程，得 f(x)=e x(aexe 一 xdx+C)=ex(ax+C)因 f(0)=0，所以 C=0，从而得 f(x)=axex【知识模块】 微分方程10 【正确答案】 【试题解析】 未知函数含于积分之中的方程称积分
13、方程现在此积分的上限为变量，求此方程的解的办法是将方程两边对 x 求导数化成微分方程解之注意，积分方程的初值条件蕴含于所给式子之中，读者应自行设法挖掘之 将所给方程两边对 x 求导，有 gf(x)f(C)+f(x)=xe x因 gf(x)x，所以上式成为 xf(x)+f(x)=xex以 x=0 代入上式，由于 f(0)存在，所以由上式得 f(0)=0当 x0 时，上式成为【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 (x+C)cosx，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 C 1e 一 2x+(C2+ )e2x,其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 y“一 4y=0
14、的特征根 =2，则 设其特解 y*=Axe2x 代入 y“一 4y=e2x，可解得 A= 。 所以 y“一 4y=e2x 的通解为 C1e 一 2x+(C+ x)e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 tany=C(e x 一 1)3，其中 C 为任意常数【试题解析】 方程分离变量得 ，积分得 ln(tan y)=3ln(ex 一 1)+ln C 所以方程有通解为 tan y=C(ex 一 1)3，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 y=e Csinx，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程分离查量，有 ，积分得 ln(ln
15、y)=ln(sin x)+ln C，通解为 ln y=Csin x，或 y=eCsinx，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程15 【正确答案】 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程 原方程化为=一 6 由一阶线性方程的通解公式得 y= (C 一 3x2)，其中 C 为任意常数，即 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)将微分方程(x 2+y2)dy=dx 一 dy 变形为0，则 y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，
16、只要证明 y(x)有界即可【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 原方程的通解为 y(x)=e 一 axC+0xf(t)aatdt，设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即f(x)M，则当 x0 时，有 y(x)=e 一 axC+0xf(t)dt Ce一 ax+e 一 ax 0xf(t)eatdt C+Me 一 ax0xeatdt 即 y(x)在0，+) 上有界【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)，令 X=0，得到截距为 xy=yxy，即 xy=y(1 一 x) 此为一阶可分离变量的方程，于是，又 y(1)=e 一 1，故
17、 C=1，于是曲线方程为 y= 【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 方程化为ln(u+eu)=一lny+C1， (u+eu)y=C，将 u=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 (1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e 一sin xdx (x)ecos xsesin xdxdx+C =ecos x(x)ecos x e 一 cos xdx+C =ecos x(x)dx+C=ecos x(x)+C(其中 C 为任意常数) (2)因为 (x)=(x)，所以 (x)=0x(t)dt+C1， 又 (0)=0，于是 (x)=0x(t)dt 而 (x+2)=0x+2
18、(t)dt=0x(t)dt+xx+2(t)dt=(x)+02(t)dt，所以，当02(t)dt=0 时，(x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当 02(t)dt=0 时，方程有以 2 为周期的解【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 【试题解析】 本题虽是基本题，但其特色在于当 x 的取值范围不同时，系数 P(x)不同，这样所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数，确定任意常数【知识模块】 微分方程22 【正确答案】 一般认为，一阶线性微分方程 y+p(x)y=q(x)的计算公式为 y=e 一p(x)dxep(x)dxq(x)dx+C，而
19、本题是要求写成变限积分形式 y(x)= 由于本题表达形式比较复杂，且写出表达式后还要进行极限讨论【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 积分得 X2 一 2XYY2=C 将 X=x 一 3,Y=y+1 代入上式，得到所求通解为 x 22xy一 y2 一 8x+4y=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 设 y=p，则 y“=p，代入原方程中，xp 一 pln p+pln x=0，即积分得 y=(x 一 1)ex+1+C2 代入初值条件 y(1)=2，解得 C2=2，故所求特解为 y=(x 一 1)ex+1+2【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 其中 C2 为任意常数【知识模块】 微分方程28 【正确答案】 【知识模块】 微分方程29 【正确答案】 变形和作适当代换后变为可分离变量的方程方程两边同除以x，得【知识模块】 微分方程30 【正确答案】 齐次方程 y“一 2y=0 的特征方程为 2 一 2=0，由此求得特征根1=0， 2=2对应齐次方程的通解为 =C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为y*=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x， (y *)“=4A(1+x)e2x【知识模块】 微分方程
