1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=xsinxcosxcos2x，g(x)= 则当 x0 时 f(x)是 g(x)的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等阶无穷小2 设 f(x)在 x=a 处连续，(x)在 x=a 处间断，又 f(a)0，则（A）f(x)在 x=a 处间断（B） f(x)在 x=a 处间断（C） (x)2 在 x=a 间断（D） 在 x=a 处间断3 f(x)=xsinx（A）在( ，+)内有界（B）当 x+ 时为无穷大（C）在 (，+)内无界（
2、D）当时有极限4 设 f(x)= ，则下列结论 (1)x=1 为可去间断点 (2)x=0 为跳跃间断点 (3)x= 1 为无穷间断点 中正确的个数是（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题5 6 设 f(x)= 在点 x=0 处连续，则常数 a=_7 =_8 =_9 函数 f(x)= 的连续区间是_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 判断下列结论是否正确，并证明你的判断()若 xny n(nN)，且存在极限，则 AB；()设 f(x)在(a，b)有定义，又 c(a，b)使得极限 =A，则 f(x)在(a，b)有界；( )若 =，则 0 使得当0xa 时 有界11 证
3、明：() 不存在；() 设 f(x)= 不存在12 求下列极限：13 求14 设 xn=15 设 a10， an+1= (n=1，2，)，求16 求极限 = 17 求极限 = 18 ()设 f(x)，g(x)连续，且 ，求证：无穷小 0(x)f(t)dt 0(x)g(t)dt (xa)；( )求19 求20 设 xn=21 设 0， 0 为任意正数，当 x+ 时将无穷小量： ，e x 按从低阶到高阶的顺序排列22 设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明：在0，1上至少存在一点 ，使得 f()=22 求下列极限：23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3
4、4 35 36 37 38 39 考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选 C【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 D【试题解析】 连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故 A，B 不对不连续函数的相乘可能连续，故 C 也不对，因此，选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法3 【正确答案】 C【试题解析】 取 xn=2n+ (，+)(n=1，2，3，)，则 f(x n)=+(n)因此 f(x)在( ，+) 无界选
5、C【知识模块】 极限、连续与求极限的方法4 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)= ，x=0，1 是 f(x)的间断点，按题意，要逐一判断这些间断点的类型计算可得由于 f(0+0)与 f(00)存在但不相等，故 x=0 是 f(x)的跳跃间断点 x=1 是 f(x)的可去间断点，又 x=1 是 f(x)的无穷间断点，因此选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、填空题5 【正确答案】 3【试题解析】 原式= =3+0=3【知识模块】 极限、连续与求极限的方法6 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)在 x=0 连续 =f(0)由于因此a= 2【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【
6、正确答案】 3【试题解析】 本题属“ 0”型未定式数列极限不能直接用洛必达法则如用，得先转化成连续变量的极限，利用 求得，但比较麻烦事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 1【试题解析】 本题属“0 0”型未定式利用基本极限 =1 及重要极限 =1即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法9 【正确答案】 (，1)(1，+)【试题解析】 初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待注意到 x=0 为分界点因为又
7、 f(0)=3，因此 =f(0)，即 f(x)在 x=0 处连续此外，由于函数 f(x)在点 x=1 处无定义，因此 x=1 为 f(x)的间断点于是所给函数 f(x)的连续区间为(，1)(1，+)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 () 不正确在题设下只能保证 AB，不能保证 AB例如，xn= ， yn= ，则 xny n，而 =0 ()不正确这时只能保证：点 c 的一个空心邻域 U0(c，)=x0xc 使 f(x)在 U0(c，) 中有界，一般不能保证 f(x)在(a，b)有界例如：f(x)= ，(a，b)=(0，1)
8、，取定 c(0，1)，则 ，但 f(x)= 在(0，1)无界()正确因为=0，由存在极限的函数的局部有界性= 0 使得当0xa 时 有界【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 () 取 ，则均有 xn0，y n0(n)，但()已知 f(x)= ，其中 g(x)=0xcost2dt，由于【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 () 注意 x0 时，【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 这是 1型的，对于幂指数型未定式，总可先用公式 uv=evlnu，然后再用洛必达法则，并注意 arctanxx(x0) 由于 ，而【知识模块】 极限、连续与求
9、极限的方法14 【正确答案】 作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 显然，0a n3(n=2，3，)，于是a n有界令 f(x)= ，则 an+1=f(an)，f(x)= 0 (x0)于是 f(x)在 x0 单调上升，从而a n是单调有界的，故极限 =A，对递归方程取极限得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 这是求 型极限，用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 属 00 型【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 () 由=0(x)f(t)dt 0(x)g(t)d
10、t(xa)()因 ln(1+2sinx)2sinx2x(x0)，由题()=因此，利用等价无穷小因子替换即得 = =1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】 作恒等变形后再作放大与缩小：【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 先取对数化为和式的极限 lnxn= ln(n2+i2)4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则它是 f(x)=ln(1+x2)在0，2区间上的一个积分和(对0 ，2区间作 2n 等分，每个小区间长 )，则因此【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 先考察再考察 因此，当 x+时，按从低阶到高阶的顺序排列为
11、【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 即证： 存在零点因 f(x)在0，1连续，所以 F(x)=f(x) 连续事实上，我们要证：F(x)在 存在零点(只需证 F(x)在 有两点异号)考察则 F(0)+ =f(0)f(1)=0于是 F(0)，中或全为 0，或至少有两个值是异号的，于是由连续函数介值定理， ，使得 F()=0，即 f()=【知识模块】 极限、连续与求极限的方法【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23 【正确答案】 属 型利用洛必达法则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 记 Pn= ，则原式= ，因此，原式=e t 【知识模块】 极限、连续
12、与求极限的方法25 【正确答案】 属- 型先通分，有【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 原式=【知识模块】 极限、连续与求极限的方法27 【正确答案】 属 00 型故原式= ，而故原式=e 1 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法28 【正确答案】 属 0 型原式= ，而故原式=e 0=1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法29 【正确答案】 原式=【知识模块】 极限、连续与求极限的方法30 【正确答案】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法31 【正确答案】 属 型【知识模块】 极限、连续与求极限的方法32 【正确答案】 令 x= ，则【知识模块】 极限、连续与求
13、极限的方法33 【正确答案】 属 1型极限原极限=e A，而因此，原极限=【知识模块】 极限、连续与求极限的方法34 【正确答案】 被积函数中含有参数 x，把因子 提到积分号外后，易见所求极限为“ ”型未定式应当想到洛必达法则，原式 =【知识模块】 极限、连续与求极限的方法35 【正确答案】 已知：设只需再求 a1=a2 的情形：【知识模块】 极限、连续与求极限的方法36 【正确答案】 注意 sintt，ln(1+t)t(t0) ，于是因此，先用求极限的四则运算法则，再利用等价无穷小因子替换可得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法37 【正确答案】 注意立方和公式 13+23+n3=(1+2+n)2= ，则原式=【知识模块】 极限、连续与求极限的方法38 【正确答案】 注意 2 ，为利用倍角公式化简 xn，两边同乘 ，得x=0 时，x n=1，则 =1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法39 【正确答案】 分别求左、右极限：【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
