1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 “f(x)在点 a 连续”是f(x) 在点 a 处连续的( )条件（A）必要非充分（B）充分非必要（C）充要（D）既非充分又非必要2 设 f(x)，g(x) 在 x=x0 均不连续，则在 x=x0 处（A）f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续（B） f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定（C） f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续（D）f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定3 把当 x0 +时的无穷小量
2、=tanxx，= 0x(1 )dt，= 1 排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（A），（B） ， （C） ， （D），二、填空题4 设有定义在(，+)上的函数：则()其中在定义域上连续的函数是_；()以 x=0 为第二类间断点的函数是_5 设 =_6 1+x2 当 x0 时是 x 的_阶无穷小(填数字)7 若 =3，则 =_8 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)= 又 a0，问 a 为何值时 存在10 求11 求 =12 求下列极限13 求数列极限：() (M0 为常数)；( )设数列x n有界，求14 设 x1=2， xn+1=
3、2+ ，n=1 ，2，求15 设 f(x)= ，()若 f(x)处处连续，求 a，b 的值；() 若 a，b不是( )中求出的值时 f(x)有何间断点，并指出它的类型16 求极限 =17 求18 已知 =2，求 a，b 之值19 证明 cosnxdx=020 求数列极限 ，其中 xn=ne(1+ )n 1 21 设 f(x)在( ，+)连续，存在极限 证明：()设AB，则对 (A，B)， (，+)，使得 F()=；()f(x) 在( ，+)有界22 设 xn+1=ln(1+xn)，x 10，23 设 =0，试确定常数 a，b 的值24 设 0x 01，x n+1=xn(2x n)，求证：x n
4、收敛并求25 设 ，且 f(x)f *(x)，g(x)g *(x)(xa)() 当 xa 时 f(x)与 g(x)可比较，不等价，求证：f(x)g(x)f *(x)g *(x)(xa)；()当0xa 时 f(x)与 f*(x)均为正值，求证： (其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等)26 设 f(x)在a，b连续，且 xa，b，总 ya，b，使得f(y) f(x)试证： a，b，使得 f()=027 设 f(x)在0，+)连续， =A0，证明： 01f(nx)dx=A考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
5、1 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)在 x=a 连续=f(x)在 x=a 连续(f(x)f(a) f(x)f(a) f(x)在 x=a 连续 f(x)在 x=a 连续如 f(x)= f(x)=1，f(x) 在 x=a 连续，但 f(x)在 x=a 间断 因此，选B【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 D【试题解析】 如： 在 x=0 均不连续，但 f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0 在 x=0 均连续又如：在 x=0 均不连续，而在 x=0 均不连续因此选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法3 【正确答案】 C【试题解析】 即当 x0 +时 是比 高阶
6、的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除 A 与 D即当 x0 +时 是较 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，可排除 B，即应选C【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、填空题4 【正确答案】 B；D【试题解析】 () 当 x0 与 x0 时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续从而只需再考察哪个函数在点 x=0 处连续注意到若 f(x)= 其中 g(x)在(，0连续，h(x)在0，+)连续因 f(x)=g(x)(x(，0)=f(x)在x=0 左连续若又有 g(0)=h(0)=f(x)=h(x)(x0，+) =f(x)在 x=0 右连续因此f(x)在 x=0 连续 B 中的函数 g(x)满足：
7、sinx x=0=(cosx1) x=0，又sinx，cosx 1 均连续=g(x) 在 x=0 连续因此，B 中的 g(x)在(，+)连续应选 B ()关于 A：由 =x=0是 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点 )关于(C)：由=x=0 是 h(x)的第一类间断点(可去间断点)已证 B 中 g(x)在 x=0 连续因此选 D或直接考察 D由=x=0 是 m(x)的第二类间断点【知识模块】 极限、连续与求极限的方法5 【正确答案】 12【试题解析】 由题设及现利用等价无穷小因子替换【知识模块】 极限、连续与求极限的方法6 【正确答案】 4【试题解析】 由于因此当 x0 时 1+x2 是 x
8、的 4 阶无穷小【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 5【试题解析】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 0【试题解析】 当 x0 时， 1，于是有而 =0，故由夹逼定理可知=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 分别求右、左极限 f(0+0)与 f(00)，由 f(0+0)=f(00)定出 a 值由 f(0+0)=f(0 0)，得 a=因此，当且仅当 a= 时，存在 =【知识模块】 极限、连续与求极限的方法10 【正确答案】 这是求 型极限，用相消法，分子、分母同除以(e x)2 得
9、=02=0其中 =0(用洛必达法则)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 属 型先作恒等变形 然后用等价无穷小因子替换：x0 时最后用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 () 注意：【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 () 存在自然数 k，kM，使 1 ，当nk 时，有 即当 nk 时，有 0 是常数，且 =0，由夹逼定理知 =0()由于x n有界，故 M0，对一切 n 有x nM于是 0 ，由题()的结论及夹逼定理知【知识模块】 极限、连续与求极限的方法14 【正确答案】 令 f(x)=2+ ，则 xn+1=f(xn
10、)显然 f(x)在 x0 单调下降，因而由上面的结论可知x n不具单调性易知， 2xn 设 =n，则由递归方程得a=2+ ，即 a22a1=0，解得 a= ，则由 a2 知a= +12现考察x n+1a= 因此，【知识模块】 极限、连续与求极限的方法15 【正确答案】 () 首先求出 f(x)注意到 故要分段求出 f(x)的表达式当x1 时，f(x)= 当x1时，f(x)= =ax2+bx于是得 其次，由初等函数的连续性知 f(x)分别在( ，1)，(1，1)，(1，+)上连续最后，只需考察 f(x)在分界点 x=1 处的连续性这就要按定义考察连续性，分别计算：从而f(x)在 x=1 连续 (
11、1+0)=f(10)=f(1)a+b=1= (a+b+1)a+b=1：f(x) 在 x=1 连续 (1+0)=f( 10)=f( 1)ab=1= (ab1)a b=1因此 f(x)在 x=1 均连续a=0，b=1当且仅当 a=0，b=1 时 f(x)处处连续()当(a，b)(0，1)时，若 a+b=1(则 ab1)，则 x=1 是连续点，只有 x=1 是间断点，且是第一类间断点；若 ab=1( 则 a+b1)，则 x=1 是连续点，只有间断点 x=1，且是第一类间断点；若 a b1 目 a+b1，则 x=1，x=1 均是第一类间断点。【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 属
12、.0 型可化为 型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 属 型先用等价无穷小关系 arctan4xx 4(x0)化简分母后再用洛必达法则得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 原式可改写成 =2由于该式成立，所以必有 3 =0，即 a=9将 a=9 代入原式，并有理化得由此得 b=12 故 a=9，b=12【试题解析】 像这种类型(-) 的极限，已知此待定式的极限存在且等于某一常数，要确定极限式中的参数 a，b，一般有下列两种方法：方法 1 直接将所给无理式有理化定出极限式中所含参数之值；方法 2。先提出因子，将-型
13、化为.0 型，然后由极限存在的条件定出极限式中所含参数之值【知识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】 先对积分 a1 cosnxdx 建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 先用等价无穷小因子替换：于是现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 利用极限的性质转化为有界区间的情形()由 =A及极限的不等式性质可知， X1 使得 f(X1) 由 =B 可知， X2X 1使得 f(X2)因 f(x)在X 1，X 2连续，F(X 1) f(X2)
14、，由连续函数介值定理知(，+)，使得 F()=()因 ，由存在极限的函数的局部有界性定理可知， X1 使得当 x(，X 1)时 f(x)有界；X2( X1)使得当 x(X2，+)时 f(x)有界又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在X 1，X 2上有界因此 f(x)在( ，+)上有界【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 () 注意：xln(1+x) (x0)，于是 xn+1x n=ln(1+xn)x n0 (n=1，2，3，) =x n有下界 0= 极限=a=ln(1+a)又 a0 时 aln(1+a) ，故 a=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23
15、【正确答案】 由题设知利用(*)，一方面有另一方面，直接计算又有这表明 3+a=0a=3将 a=3 代入(*) 式，即得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 令 f(x)=x(2x)，则 xn+1=f(xn)易知 f(x)=2(1x)0，x(0，1) 因 0x 01=x 1=x0(2x 0)=1(x 01) (0，1) 若 xn(0，1)=xn+1+1=xn(2x n)(0，1)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 () 考察极限因此，f(x)g(x) f *(x)g *(x)(xa)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 反证法若在a，b 上 f(x)处处不为零，则 f(x)在a，b上或恒正或恒负不失一般性，设 f(x)0，x a，b，则 由题设，对此 x0， ya，b，使得 f(y)=f(y) f(x 0)，与 f(x0)是最小值矛盾因此， a，b，使 f()=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法27 【正确答案】 先作变量替换： 这是 型数列极限将它转化为 型函数极限，便可用洛必达法则求之，即【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
