1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）0（B） （C） +（D）不存在但也不是2 极限（A）等于（B）等于（C）等于 e6 （D）不存在3 设数列 xn，y n 满足 =0，则下列正确的是（A）若 xn 发散，则 yn 必发散（B）若 xn 无界，则 yn 必有界（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小（D）若 为无穷小，则 yn 必为无穷小4 当 n时 的（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小5 在 中，无穷大量是（A） （B） （C） （D）二、填空题6 设
2、 K，L ， 为正的常数，则 =_7 已知 =9，则 a=_8 arctan(xlnx.sinx)=_9 设 =4，则 a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求极限11 求12 求数列极限13 设 f(x)在0，1上连续，求 01xnf(x)dx14 求 = 15 求极限 16 求极限 =17 设 f(x)在0，+)连续，且满足18 确定常数 a，b，c 的值，使 =419 求20 当 x0 时下列无穷小是 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n：() () (1+tan2x)sinx1；() () 0xsint.sin(1cost) 2dt21 设 讨论 y=fg(
3、x)的连续性，若有间断点并指出类型22 设 a0 为常数， xn=23 讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：24 证明：25 设 f(x)在(a，b)连续，x 1，x 2，x n(a，b)， 1， 2， n 为任意 n 个正数，求证： (a，b) ，使得26 设 f(x)在0，+)连续， =A0，求证： 0xf(t)dt=+考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，故要分别考察左、右极限由于因此应选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法2 【正确答案】 A【试题解
4、析】 注意到 =1，本题为 1型设 f(x)= ，则原极限=而 故原极限= ，应选 A【知识模块】 极限、连续与求极限的方法3 【正确答案】 D【试题解析】 直接考察若 为无穷小，则因此 D 成立【知识模块】 极限、连续与求极限的方法4 【正确答案】 D【试题解析】 该题就是要计算极限因此选D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法5 【正确答案】 D【试题解析】 本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选该极限为+的，仅当 n=3并取“+” 号时，即 选 D【知识模块】 极限、连续与求极限的方法二、填空题6 【正确答案】 K L1【试题解析】 属 1型极限原式= ，
5、而因此，原式=【知识模块】 极限、连续与求极限的方法7 【正确答案】 ln3【试题解析】 【知识模块】 极限、连续与求极限的方法8 【正确答案】 【试题解析】 xlnx.sinx= ，由于 x+时，xlnx.sinx+，于是【知识模块】 极限、连续与求极限的方法9 【正确答案】 ；1【试题解析】 利用洛必达法则可得又当 a0 时【知识模块】 极限、连续与求极限的方法三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 属 1型= =2e【知识模块】 极限、连续与求极限的方法11 【正确答案】 属- 型先通分化成 型未定式，则有 =直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到这表明ln(x
6、+ )x(x0)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用 ln(1+x)x(x0)就有【知识模块】 极限、连续与求极限的方法12 【正确答案】 由 (n)用等价无穷小因子替换得 引入函数 f(x)= (x0) ，则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法13 【正确答案】 因为 01xnf(x)dx= ，且连续函数f(x)在0，1存在最大值记为 M，于是【知识模块】 极限、连续与求极限的方法14 【正确答案】 x0 时，t=(1+x) x1=0，则(1+x) x1=tln(1+t)=ln(1+x)x=xln(1+x)，于是用等价无穷小因子替换得 = =1【知识模块】 极限、连续与
7、求极限的方法15 【正确答案】 恒等变形：分子、分母同乘 ，然后再同除 x2，得【知识模块】 极限、连续与求极限的方法16 【正确答案】 属- 型先作变量替换并转化成 型未定式，然后用洛必达法则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法17 【正确答案】 先作恒等变形转化为求 型极限，然后用洛必达法则【知识模块】 极限、连续与求极限的方法18 【正确答案】 由于当 x0 时对 常数 a，b 都有 ax2+bx+1e 2x 0，又已知分式的极限不为零，所以当 x0 时必有分母 0，故必有 c=0由于故必有 a=4综合得 a=4，b=2，c=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法19 【正确答案】
8、记 是 f(x)=tanx 在0，1区间上的一个积分和由于 f(x)在0 1上连续，故可积，于是因此，我们对 xn 用适当放大缩小法，将求 转化为求积分和的极限因又于是由夹逼定理得=lncos1【知识模块】 极限、连续与求极限的方法20 【正确答案】 () 1x 42x 22x 2 (x0)，即当 x0 时 1 是x 的 2 阶无穷小，故 n=2()(1+tan 2x)sinx1ln(1+tan 2x)sinx1+1 =sinxln(1+tan2x)sinxtan 2xx.x 2=x3 (x0)，即当 x0 时(1+tan 2x)sinx1 是 x 的 3阶无穷小，故 n=3() 由是 x 的
9、 4阶无穷小，即当 x0 时 是 x 的 4 阶无穷小，故 n=4即当 x0 时0xsintsin(1cost) 2dt 是 x 的 6 阶无穷小，故 n=6【知识模块】 极限、连续与求极限的方法21 【正确答案】 先写出 fg(x)的表达式，考察 g(x)的值域：当 x1，2，5 时 fg(x)分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续当 x=2，5时，分别由左、右连续得连续当 x=1 时，从而 fg(x)在 x=1 不连续且是第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法22 【正确答案】 当 0a1 时 0x na n， =0；当 a=1 时当 a 1 时 0x n 因此
10、=0【知识模块】 极限、连续与求极限的方法23 【正确答案】 () 这是初等函数，它在定义域(x 21)上连续因此，x1 时均连续x=1 时， 故 x=1 是第一类间断点(跳跃的 )又 ，故 x=1 也是第一类间断点(可去)()先求极限函数注意x1 时，x1 与x1 分别与某初等函数相同，故连续x=1 时均是第一类间断点(跳跃间断点)因左、右极限均 ，不相等() 在区间(0，+)，1，0)上函数 y 分别与某初等函数相同，因而连续在 x=0 处 y 无定义，=x=0是第一类间断点(可去间断点)()f(x)= 是初等函数，在(0，2)内f(x)有定义处均连续仅在 无定义处及 =0 处 f(x)不
11、连续。()先求 fg(x表达式当x1，x1 时，fg(x) 分别与某初等函数相同，因而连续当 x=1 时，分别求左、右极限 故 x=1为第一类间断点(跳跃间断点)【知识模块】 极限、连续与求极限的方法24 【正确答案】 取对数化乘积为和差【知识模块】 极限、连续与求极限的方法25 【正确答案】 依题设 n 个函数值 f(x1)，f(x 2)，f(x n)中一定有最小和最大的，不妨设 minf(x 1)，f(x n)=f(x1)， maxf(x 1)，f(x n)=f(xn)，若 f(x1)f(x n)， 在 x1 与 xn 之间，即 (a，b)，f()=【知识模块】 极限、连续与求极限的方法26 【正确答案】 因 ，由极限的不等式性质可知，则 xX 时有 0xf(t)dt=0Xf(t)dt+Xxf(t)dt0Xf(t)dt+ (xX)，因此 0xf(t)dt=+【知识模块】 极限、连续与求极限的方法
