1、考研数学二（矩阵、向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 均为 nn 矩阵，则必有（A）ABAB（B） ABBA（C） AB BA （D）(AB) 1 A 1 B 1 2 设 A，B 为 n 阶矩阵，满足等式 AB0，则必有（A）A0 或 B0 （B） AB 0（C） A0 或B 0 （D）AB0 3 AE T，BE2 T，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则 AB 等于（A）0 （B） E（C） E （D）E T 4 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是 A 的伴随矩阵，则（A）(A *)* A n1 A （B）
2、(A*)*A n1 A（C） (A*)*A n2 A （D）(A *)* A n2 A5 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) *等于（A）kA * （B） kn1 A* （C） knA* （D）k 1 A* 6 设 A,B 为 n 阶矩阵，A *，B *分别是 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵，则 C 的伴随矩阵 C*等于（A）（B）（C）（D）7 设 A，B，AB，A 1 B 1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A 1 B 1 )1 等于（A）A 1 B 1 （B） AB （C） A(AB)B 1 （D）(AB) 1 8 设，其
3、中 A 可逆，则 B1 等于（A）A 1 P1P2 （B） P1A1 P2（C） P1P2A 1 （D）P 2A1 P1 9 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有（A）当Aa(a0)时，Ba （B）当 Aa(a0)时，Ba（C）当 A0 时，B0 （D）当A0 时，B0 10 设 A 为 mN 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 BAC 的秩为r1，则（A）rr 1 （B） rr 1（C） rr 1 （D）r 与 r1 的关系依 C 而定 11 设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB0，则 A 和 B 的秩（A）必有一个等于 0 （B）都小于 n（C）一个小于 n
4、，一个等于 n （D）都等于 n 12 设矩阵 Amn 的秩 r(A)mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零 （C）若矩阵 B 满足 BA 0，则 B0（D）A 通过初等行变换，必可以化为(E m，0)形式 13 设矩阵 Amn 的秩 r(A)mE m，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C） A 通过初等行变换，必可以化为(E m，0)形式（D）非齐次线性方程组 Axb 一定有无穷多组解14 设 n(n3
5、)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为（A）1（B）（C） -1（D）15 设 3 阶矩阵 ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有（A）ab 或 a2b0 （B） ab 或 a2b0（C） ab且 a2b0 （D）ab 且 a2b016 设矩阵 已知矩阵 A 相似于 B，则秩(A2E)与秩(A E)之和等于（A）2 （B） 3（C） 4（D）517 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE ，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有（A）ACBE（B） CBAE （C） BACE （D）BcA E 18 设，则必有（A）AP 1P2B（B） AP2P1 B （C） P1P1A B
6、（D）P 1P1AB19 已知 ，P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ0，则（A）t6 时 P 的秩必为 1 （B） t6 时 P 的秩必为 2（C） t6时 P 的秩必为 1 （D）t6 时 P 的秩必为 220 设 A 为 n 阶方阵且A0，则（A）A 中必有两行(列) 的元素对应成比例（B） A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（C） A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合（D）A 中至少有一行(列)的元素全为 0 21 若向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示 （B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ，
7、线性表示 （D） 必不可由 ， ， 线性表示 22 设向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不能由向量组(I)：1， 2， ， m1 线性表示，记向量组()： 1， 2， m1 ，则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，但可由(n)线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但不可由()线性表示 23 假设 A 是 n 阶方阵，其秩 rn那么在 A 的 n 个行向量中（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 一个行向量都线性无关（C）任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组（D）
8、任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示 24 向量组 1， 2， s 线性无关的充分条件是（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s 中任意一个向量均不能由其余 s1 个向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一部分向量线性无关 25 设 1， 2， ， m 均为以维列向量，那么，下列结论正确的是（A）若 k11k 22 kmm0，则 1， 2， m 线性相关（B）若对任意一组不全为零的数 k1，k 2，k m，都有k11 k22 k mm0，则 1， 2， m 线性无关（C）若 1， 2， m 性相关，则对任意一组
9、不全为零的数 k1，k 2，k m，都有 k11k 22k mm0（D）若 010 2 0m0，则 1， 2， m 线性无关26 设有任意两个 n 维向量组 1， 2， m 和 1， 2， m，若存在两组不全为零的数 1， m 和 k1，k m，使( 1k 1)1( mk m)m( 1k 1)1( mk m)m0， 则（A） 1， 2， m 和 1， 2， m 都线性相关（B） 1， 2， m 和 1， 2， m 都线性无关（C） 1 1， m m， 1 1， m m 线性无关（D） 1 1， m m， 1 1， m m 线性相关 27 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无
10、关的是（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 12 2 3（C） 12 2，2 23 3， 33 1（D） 1 2 3，2 13 22 3，3 15 25 3 28 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有k11 k22 k ss0，则 1， 2， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11k 22k ss0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个
11、向量线性无关 29 设向量组 1(1 ，1 ，2，4)， 2(0，3，1，2)， 3(3，0，7，14)，4 (1，2， 2，0)， 5 (2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3 （B） 1， 2， 4 （C） 1， 2， 5 （D） 1， 2， 4， 5 二、填空题30 设 3 阶矩阵 ，三维列向量 (a ，1，1) T已知 A与 线性相关，则 a _。31 设向量组 1(a，0，c)， 2(b，c ，0)， 3(0，a，b)线性无关，则 a，b，c必满足关系式_32 已知向量组 1(1 ，2 ，1，1)， 2(2，0，t，0)， 3(0，4，5，2)的秩为
12、2，则 t_。33 已知 R3 中的两组基为则由基1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。34 已知 3 阶矩阵 A 的逆矩阵为 ，试求伴随矩阵 A*的逆矩阵35 已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A23A2E0，其中 A 给定，而 E 是单位矩阵，证明 A 可逆，并求出其逆矩阵 A1 36 已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数走，使得 Ak0试证明矩阵 EA 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位矩阵)37 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E
13、为 n阶单位矩阵计算并化简 PQ；38 假设矩阵 A 和 B 满足关系式 ABA2B，其中 ，求矩阵B39 已知 XAXB，其中 ， 求矩阵X40 设 n 阶矩阵 A 和 B 满足条件 ABAB已知 ，求矩阵A41 设 APPB，且 ，求 A，A 542 设矩阵 A 和 B 满足关系式 ABA 十 2B，其中 ，求矩阵 B43 设 4 阶矩阵 且矩阵 A 满足关系式 A(E C1 B)TCTE， 其中 E 为 4 阶单位矩阵， C1 表示 C 的逆矩阵，C T表示 C 的转置矩阵将上述关系式化简并求矩阵 A44 设有 3 维列向量问 取何值时：(1)可由 1， 2， 3 线性表示，且表达式唯一
14、；(2) 可由 1， 2， 3 线性表示，且表达式不唯一；(3) 不能由 1， 2， 3 线性表示45 已知向量组 与向量组具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 性表示，求 a，b 的值46 设向量组 1(a，2，10) T， 2( 2，1，5) T， 3(1，1，4) T， (1，b，c)T试问：当 a，b，c 满足什么条件时， (1) 可由 3 线性表出，且表示唯一? (2)不能由 1， 2， 3 线性表出? (3) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式47 设有向量组(I)： 1(1，0，2) T， 2(1，1，3) T， 1(1，1，a2) T 和向量组
15、(II) ： 1 (1，2，a 3) T， 2(2，1，a 6) T， 3(2 ，1，a 4) T试问：当 a为何值时，向量组(I)与(II)等价?当以为何值时，向量组(I)与()不等价?48 设 1(1 ， 2，0) T， 2(1，a 2，3a) T， 3(1，b2，a2b)T， (1，3，3) T，试讨论当 a、b 为何值时， (1) 不能由 1， 2， 3 线性表示；(2)可由 1， 2， 3 唯一地线性表示，并求出表示式； (3)可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不唯一49 设 1(1 ， 1，1)， 2 (1，2，3)， 3(1，3，t) (1)问当 t 为何值时，向量组1，
16、2， 3 线性无关? (2) 问当 t 为何值时，向量组 1， 2， 3 线性相关? (3)当1， 2， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合50 试证明 n 维列向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是51 设向量组 1， 2， t 是齐次方程组 Ax0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax0 的解，即 A0试证明：向量组 ， 1， 2， 1，线性无关52 设 i(a i1，a i2，a in)T(i1，2，r；r 1， 2， r 线性无关已知(b 1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量试判断向量组 1， 2， r， 的线性相关性53 已知向量组(I)
17、： 1， 2， 3；(II)： 1， 2， 3， 4；()： 1， 2， 3， 5如果各向量组的秩分别为 r(I) r()3，r()4证明向量组 1， 2， 3， 5 4 的秩为 454 设 4 维向量组 (1 a，1，1，1) T， 2(2 ，2a ，2，2)T， 3(3，3，3a，3) T， 4(4，4，4，4a) T，问 a 为何值时 1， 2， 3， 4 线性相关?当 1， 2， 3， 4 性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出考研数学二（矩阵、向量）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
18、 C【知识模块】 矩 阵2 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵3 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵4 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵5 【正确答案】 B【知识模块】 矩 阵6 【正确答案】 D【知识模块】 矩 阵7 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵8 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵9 【正确答案】 D【知识模块】 矩 阵10 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵11 【正确答案】 B【知识模块】 矩 阵12 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵13 【正确答案】 D【知识模块】 矩 阵14 【正确答案】 B【知识模块】 矩 阵15 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵16
19、 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵17 【正确答案】 D【知识模块】 矩 阵18 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵19 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵20 【正确答案】 C【知识模块】 向 量21 【正确答案】 C【知识模块】 向 量22 【正确答案】 D【知识模块】 向 量23 【正确答案】 A【知识模块】 向 量24 【正确答案】 C【知识模块】 向 量25 【正确答案】 B【知识模块】 向 量26 【正确答案】 D【知识模块】 向 量27 【正确答案】 C【知识模块】 向 量28 【正确答案】 B【知识模块】 向 量29 【正确答案】 B【知识模块】 向 量二、填空题30
20、【正确答案】 1；【知识模块】 向 量31 【正确答案】 abc0；【知识模块】 向 量32 【正确答案】 3；【知识模块】 向 量33 【正确答案】 【知识模块】 向 量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。34 【正确答案】 【知识模块】 矩 阵35 【正确答案】 【知识模块】 矩 阵36 【正确答案】 EAA 2A k1 ：【知识模块】 矩 阵37 【正确答案】 【知识模块】 矩 阵38 【正确答案】 【知识模块】 矩 阵39 【正确答案】 【知识模块】 矩 阵40 【正确答案】 【知识模块】 矩 阵41 【正确答案】 ，A 5A：【知识模块】 矩 阵42 【正确答案】 【知
21、识模块】 矩 阵43 【正确答案】 【知识模块】 矩 阵44 【正确答案】 (1)0 且 3；(2)A0；(3)A3【知识模块】 向 量45 【正确答案】 a 15 b5【知识模块】 向 量46 【正确答案】 (1)a4； (2)a4； (3)a 4 且 3bc1，t 1(2tb1)2 (2b1) 3【知识模块】 向 量47 【正确答案】 当 a1 时，向量组(I) 与()等价；当 a1 时，向量组(I)与()不等价【知识模块】 向 量48 【正确答案】 (1)a0，b 任意；(2)a0，ab；(3)ab0【知识模块】 向 量49 【正确答案】 (1)t5； (2)t5； (3) 3 12 2【知识模块】 向 量50 【正确答案】 证明A0 即可，注意利用 DA TAA 2【知识模块】 向 量51 【正确答案】 用定义证明【知识模块】 向 量52 【正确答案】 用定义，然后等式两端左乘 T【知识模块】 向 量53 【正确答案】 用定义证明向量组线性无关即可，注意 4 可由 1， 2， 3 线性表示【知识模块】 向 量54 【正确答案】 当 a0 时，显然 1 是一个极大线性无关组，且2 21， 33 1， 44 1； 当 a10 时， 1， 2， 3 为极大线性无关组，且4 1 2 3【知识模块】 向 量
