1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB=0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB=02 设 A，B，A+B，A -1+B-1 皆为可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于( )（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -13 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(A+B) *=A*+B*（B） (AB)*=B*A*（C） (A-B)*=A*
2、-B*（D）(A+B) *一定可逆4 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） knA*（C） kn-1A*（D）k n(n-1)A*5 设 A 为 n 阶矩阵，A 2=A，则下列成立的是( )（A）A=O（B） A=E（C）若 A 不可逆，则 A=O（D）若 A 可逆，则 A=E6 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（A）A 的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E n：O)7 设 P1=则 m，n 可取(
3、 ) （A）m=3 ， n=2（B） m=3，n=5（C） m=2，n=3（D）m=2 ， n=28 设 A=则 B-1 为( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P19 设 P= ，Q 为三阶非零矩阵，且 PQ=O，则( )（A）当 t=6 时，r(Q)=1（B）当 t=6 时，r(Q)=2（C）当 t6 时，r(Q)=1（D）当 t6 时，r(Q)=2二、填空题10 设 A，B 都是三阶矩阵，A= ，且满足(A *)-1B=ABA+2A2，则B=_11 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，且 A= ，则 B=_12 =_13 设
4、A= ，B 为三阶矩阵，r(B *)=1 且 AB=O，则 t=_14 设 A= ，BO 为三阶矩阵，且 BA=O，则 r(B)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A=E=T，其中 为 n 维非零列向量证明：15 A2=A 的充分必要条件是 为单位向量；16 当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵16 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P=17 计算 PQ；18 证明 PQ 可逆的充分必要条件是 TA-1b19 设矩阵 A 满足(2E-C -1B)AT=C-1，且 B= ，求矩阵 A20 设 ， 是 n 维非零列向量，A= T+T证明： r(
5、A)221 设 是 n 维单位列向量，A=E- T证明：r(A)n22 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *)= ，其中 n223 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A=T24 设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1证明：存在常数 k，使得(A *)2=kA*25 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*=A n-2A26 设 A，B 分别为 mn 及 n5 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n考研数学二（矩阵）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
6、案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)rainm，n ，且r(AB)rain(r(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n ，故当 mn 时，r(AB)nm，于是AB=0 ，选(B) 【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 A(A+B) -1B(A1+B1)=(A+B)A-1-1(BA-1+E)=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，所以选(C)【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 B【试题解析】 因为(AB) *=AB(AB) -1=ABB -1A-1=BB -1.A A -1=B*A*，所以选 (B)【知识模块】 矩阵4 【正确答
7、案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n-1 阶子式，所以(kA) *=kn-1A*，选(C)【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2=A，所以 A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E-A)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(E-A)=0，A=E ，选(D)【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)=mn ，得 r(A)= =mn ，所以方程组 AX=b 易有无穷多个解选(C) 【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【试题解析】 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，
8、3 两列对调，P 1= =P1AP2，则m=3，n=5，即选(B)【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 C【试题解析】 B=AE 14E23 或 B=AE23E14 即 B=AP1P2 或 B=AP2P1，所以 B-1=，于是 B-1=P2P1A-1 或 B-1=P1P2A-1，选(C)【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3，当 t6时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选(C) 【知识模块】 矩阵二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 A=-3，A *=AA=-3A -1，则(A *)-1B=
9、ABA+2A2 化为AB=ABA+2A2，注意到 A 可逆，得 B=BA+2A 或-B=3BA+6A，则 B=-6A(E+3A)-1，E+3A=【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA=2BA-8E，得 AA*BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A ，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E)-1=【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*)=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1
10、，于是 t=6【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 1【试题解析】 BA=O r(A)+r(B)3，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 BO，所以 r(B)=1【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 令 T=k，则 A2=(E-T)(E-T)=E-2T+kT，因为 为非零向量，所以 TO，于是 A2=A 的充分必要条件是 k=1，而 T= 2，所以 A2=A的充要条件是 为单位向量【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 当 是单位向量时，由 A2=A 得 r(A)+r(E-A)=n，因为 E-A=TO，所以 r(E-A)1
11、，于是 r(A)n-1n，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 PQ=【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 PQ=A 2(b-TA-1)，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0 ，即 TA-1b【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 由(2E-C -1B)AT=C-1，得 AT=(2E-C-1B)-1C-1=C(2E-C-1B)-11=(2C-B)-12C-B得AT=(2C-B)-1=【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)，而 r(T)r()=1，r( T)r(B)=1，所以 r(A)r(T)+r(T)2【知识模块】 矩阵
12、21 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+T.T，因为 为单位列向量，所以T=1，于是 A2=A由 A(E-A)=O 得 r(A)+r(E-A)n，又由 r(A)+r(E-A)rA+(E-A)=r(E)=n，得 r(A)+r(E-A)=n因为 E-A=T0，所以 r(E-A)=r(T)=r()=1，故 r(A)=n-1n【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 AA *=A*A=AE 当 r(A)=n 时， A0，因为A *= A n-1，所以A *0 ，从而 r(A*)=n； 当 r(A)=n-1 时，由于 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 A
13、ij0，于是 A*O，故 r(A*)1，又因为A=0，所以 AA*=AE=O ，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A*)n，而 r(A)=n-1，于是得 r(A*)1，故 r(A*)=1； 当 r(A)n-1 时，由于 A 的所有 n-1 阶子式都为零，所以 A*=O，故 r(A*)=0【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，令 A=故 A=T，显然 ， 为非零向量设 A=T，其中 ， 为非零向量，则 A 为非零矩阵于是 r(A)1又 r(A)=r(T)r()=1，故 r(A)=1【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 因为 r(A)
14、=n-1，所以 r(A*)=1，于是 A*=【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 (A *)*A*=A *E= A n-1E，当 r(A)=n 时，r(A *)=n，A *=AA -1，则(A *)*A*=(A*)*AA -1=A n-1E，故(A *)*=A n-2A当r(A)=n-1 时，A=0,r(A *)=1，r(A *)*=0，即(A *)*=O，原式显然成立当 r(A)n-1 时，A=0，r(A *)=0，(A *)*=O，原式也成立【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 令 B=(1， 2， s)，因为 AB=O，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n-r(A)，所以向量组 1， 2， s 的秩不超过 n-r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)n-r(A)，即 r(A)+r(B)n【知识模块】 矩阵
