1、考研数学二(矩阵)模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B,将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列上得 CP ,则 C( )(A)P -1Ap(B) PAP-1(C) pTAP(D)PAP T2 设 A 为 3 阶矩阵,P( 1, 2, 3)为 3 阶可逆矩阵,Q( 1 2, 2, 3)已知pTAP ,则 QTAQ( )(A)(B)(C)(D)3 设 A 是 3 阶可逆矩阵,交换 A 的 1,2 行得 B,则(A)交换 A*的 1,2 行得到 B*(B)交换 A*的
2、1,2 列得到 B*(C)交换 A*的 1,2 行得到B *(D)交换 A*的 1,2 列得到B *4 设 A,B,C 都是 n 阶矩阵,满足 BEAB, CA CA,则 BC 为(A)E (B) E(C) A(D)A5 A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 A 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (AB) 2A 22ABB 2 ABcE (AB) 2A 2B2 则其中可推出ABBA 的有( )(A)(B) (C) (D) 二、填空题6 若 A-1 ,则(3A) *_7 设 A 不可逆,则 _8 设 A,B 均为 3 阶矩阵,且满足 AB2AB,其中 A ,则B 2E_9 设 A2BAE,其中
3、 A ,则 B_10 设 XAA TX,其中 A ,则 X_11 已知 A ,矩阵 X 满足 A*XA -12X ,其中 A*是 A 的伴随矩阵,则 X_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 A,B 和 C 都是 n 阶矩阵,其中 A,B 可逆,求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵13 设 3 阶矩阵 A ,A -1XAXA2A,求 X14 矩阵 A ,求解矩阵方程 2AXA4X 15 4 阶矩阵 A,B 满足 ABA-1BA -13E,已知 A* ,求 B16 已知 ,XA2BAB2X,求 X201717 已知 ,XA2XB ,求 X18 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为
4、 2,向量 1(1,1,1)T, 2=(2,1,1) T 都是齐次线性方程组 AX0 的解求 A19 设 A 是 3 阶矩阵,交换 A 的 1,2 列得 B,再把 B 的第 2 列加到第 3 列上,得C求 Q,使得 CAQ 20 设 A,B 和 C 都是 n 阶矩阵,其中 A,B 可逆,求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵21 设 A 是 n 阶非零实矩阵,满足 A*A T证明A 022 设 A( 1, 2, 3),B( 1, 2, 3)都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵 C证明 C 可逆的充分必要条件是 A,B 都可逆23 设 A 是 n 阶实反对称矩阵,证明 EA 可逆24 设 A,B 都是 n
5、阶矩阵,EAB 可逆证明 EBA 也可逆,并且(EBA) -1EB(E AB) -1A25 设 A,B 都是 n 阶矩阵,证明 EAB 可逆 EBA 可逆26 设 A,B 是 3 阶矩阵,A 可逆,它们满足 2A-1BB4E证明 A2E 可逆27 设 n 阶矩阵 A,B 满足 ABaAbB其中 ab0,证明(1)AbE 和 BaE 都可逆(2)ABBA28 A,B 都是 n 阶矩阵,并且 B 和 EAB 都可逆,证明: B(EAB) -1B-1EB(E AB) -1A29 设 A,B 都是对称矩阵,并且 EAB 可逆,证明 (EAB) -1A 是对称矩阵30 设 A,B 都是 n 阶矩阵,使得
6、 AB 可逆,证明 B(AB) -1AA(AB) -1B31 设 A,B 都是 n 阶矩阵,并且 A 是可逆矩阵证明:矩阵方程 AXB 和XAB 的解相同 ABBA32 设 A ,求与 A 乘积可交换的所有矩阵33 (1)设 A 是对角矩阵,并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n 阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换,则 C 必是数量矩阵考研数学二(矩阵)模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【知识模块】 矩
7、阵4 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 和 的成立是明星的, 是不对的 ABcE,在 c0 时可推出 ABBA ,但是 c0 时则推不出 ABBA如(AB)2A 2B2 推不出 ABBA 对于中的 A 和 B,(AB) 2 和 A2B2 都是零矩阵,但是 ABBA【知识模块】 矩阵二、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 5【试题解析】 A 不可逆 A0而故 4 或 5【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 2【试题解析】 由 AB2AB2E2E ,有 A(B2E)(B2E)2E,则 (AE)(B2E)2E 于是AE.B2E 8,而A E 4
8、, 所以B 2E2【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【试题解析】 由于 BAA 2E,又 A 可逆,则有 B(A 2E)A -1A A -1 故【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 由 XAXA T 有 X(AE)A T,因为 A 可逆,知 X 与 AE 均可逆 故 XA T(AE) -1【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为 A,B 都可逆,所以这几个矩阵都可逆 (1) 的逆矩阵可用初等变换法计算: (2) 的逆矩阵也可用初等变换法计算:(3) 的逆矩阵用“待定系数法 ”计算:即设它的
9、逆矩阵为 ,求 Dij 由则 BD210,得D210( 因为 B 可逆) BD 22E,得 D22B -1 AD 11CD 21E ,即 AD11E,得D11A -1 AD 12CD 220,得 D12A -1CB-1(4)用(3) 的方法,得【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A -1XAXA2A A-1XX2E XAX2A (EA)X2A, 用初等变换法解此基本矩阵方程:【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 化 2AXA4X 得 X(A4E) 2A用初等变换法解此矩阵方程:【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 用 A 右乘 ABA-1BA -13E 的两边,得 ABB3A ;再用 A*从
10、左乘两边,得 ABA *B3AE, 由A *8,得A 2,代入上式:(2EA *)B 6E 用初等变换法求 B:【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 由 XA2BAB2X 化得:X(A2E)(A 2E)B,即 X(A2E)B(A2E) -1, 则 X2017(A2E)B 2017(A2E) -1(A 2E)B(A 2E) -1X 再从关于 X 的矩阵方程 X(A2E) (A2E)B 用初等变换法求解 X: (A2E) TB(A2E) T)(A T2E(A T2E)【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 先由 XA2XB 求出 X,再求 X XA2XB X(A2E)B, X(1,6,2)T【知识模
11、块】 矩阵18 【正确答案】 令 3(1,1,1) T,则 A3(2,2,2) T,建立矩阵方程: A(1, 2, 3)(0,0,2 3), 用初等变换法解得 A【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系得【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 因为 A,B 都可逆,所以这几个矩阵都可逆于是可利用公式A*AA -1 来求伴随矩阵【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 把条件 A*A T 写出则 aijA ij, i,j 于是A 由于 A 是实矩阵,其元素的平方0,又 A 有非 0 元素,得A0【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法
12、则) C A TB 于是 CABAB 则C 0 A0 并且 B0 即 C 可逆 A,B 都可逆【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 设 n 是一个 n 维实向量,满足(EA) 0,要证明 0用 T左乘上式,得 T(EA)0,即 T TA 由于 A 是反对称矩阵, TA 是一个数, TA( TA)T TA,因此 TA0 于是 T0 是实向量,(,) T0,从而 0【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 (E BA)EB(EAB) -1A(EBA) (E BA)B(EAB) -1A (EBA) (BBAB)(E AB) -1A (EBA)B(EAB)(EAB) -1A EBABAE【知识模块】 矩阵
13、25 【正确答案】 证明一个更加强的事实:EABEBA记则HGEBA,GHEAB又因为G 1,所以HGH GH:GHGH H 得EABEBA【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 用 A 左乘 2A-1BB4E 两侧得 2BAB 4A 即(A2E)B4A 由 A 可逆,得 A2E 可逆【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)A bE 和 BaE 都可逆 (AbE)(BaE)可逆直接计算(A bE)(BAE) (A bE)(BaE)ABaAbBabE abE 因为 ab0,得(A bE)(BaE)可逆 (2)利用等式(AbE)(B aE)abE,两边除以 ab,得再两边乘 ab,得(BaE)(
14、A bE)abE,即 BAaAbBabEabE BAaAbBAB【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 对此等式进行恒等变形: B(E AB)-1B-1EB(E AB) -1A B(EAB)BB(EAB) -1AB(用 B 右乘等式两边) B(EAB) -1B(EAB) -1ABB B(EAB) -1(EAB) B 最后的等式显然成立【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 (E AB) -1A 对称,就是(E AB) -1AT(EAB) -1A (EAB) -1ATA(E AB) -1TA(EAB) T-1A(E BA) -1 于是要证明的是 (EAB) -1AA(EBA) -1 对此式作恒等变形
15、: (E AB) -1AA(EBA) -1 A(EAB)A(EBA) -1(用 EAB 左乘等式两边) A(EBA)(E AB)A(用 EBA 右乘等式两边) 等式 A(EBA) (E AB)A显然成立,于是(EAB) -1AA(EBA) -1成立【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 两边都加 A(AB) -1A 后,都等于 A: B(AB) -1AA(AB) -1A(BA)(AB) -1AA A(AB) -1BA(AB) -1AA(A B) -1(BA) A 因此 B(AB) -1AA(A B) -1B【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 AXB 的解为 A-1B,XAB 的解为 BA-1
16、AXB 和 XAB 的解相同即 A-1BBA -1作恒等变形: A -1BBA -1 BABA -1 BAAB 【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵AXXA 即: a1 3a 1 2 a 2 4 1, 1a 3 4, 2 3, 整理得 1, 2, 3, 4 的齐次线性方程组 解得通解为 c1(0,1,1,0)T c2(1,0,O,1) T,c 1,c 2 任意 则与 A 乘积可交换的矩阵的一般形式为c1Ac 2E,c 1,c 2 任意【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 (1)设 B 和 A 乘积可交换,要证明 B 是对角矩阵,即要说明 B 的对角线
17、外的元素 bij(ij)都为 0 设 A 的对角线元素为 1, 2, n则 AB 的(i,j)位元素为 ibij,而 BA 的(i,j)位元素为 ibij 因为 ABBA,得 a ibij jbij, 因为 ij,所以 bij0 (2)先说明 C 一定是对角矩阵由于 C 与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换,由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c11,c 22, cnn 都相等 构造 n 阶矩阵 A,使得其(i,j)位元素为1,ij,则 CA 的(i ,j)位元素为 cij,AC 的(i,j)位元素为 cjj于是 ciic jj这里的i,j 是任意的,从而c 11c 22c nn【知识模块】 矩阵