1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B，将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列上得 CP ，则 C( )（A）P -1Ap（B） PAP-1（C） pTAP（D）PAP T2 设 A 为 3 阶矩阵，P( 1， 2， 3)为 3 阶可逆矩阵，Q( 1 2， 2， 3)已知pTAP ，则 QTAQ( )（A）（B）（C）（D）3 设 A 是 3 阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（A）交换 A*的 1，2 行得到 B*（B）交换 A*的
2、1，2 列得到 B*（C）交换 A*的 1，2 行得到B *（D）交换 A*的 1，2 列得到B *4 设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 BEAB， CA CA，则 BC 为（A）E （B） E（C） A（D）A5 A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 A 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (AB) 2A 22ABB 2 ABcE (AB) 2A 2B2 则其中可推出ABBA 的有( )（A）（B） （C） （D） 二、填空题6 若 A-1 ，则(3A) *_7 设 A 不可逆，则 _8 设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB2AB，其中 A ，则B 2E_9 设 A2BAE，其中
3、 A ，则 B_10 设 XAA TX，其中 A ，则 X_11 已知 A ，矩阵 X 满足 A*XA -12X ，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵13 设 3 阶矩阵 A ，A -1XAXA2A，求 X14 矩阵 A ，求解矩阵方程 2AXA4X 15 4 阶矩阵 A，B 满足 ABA-1BA -13E，已知 A* ，求 B16 已知 ，XA2BAB2X，求 X201717 已知 ，XA2XB ，求 X18 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为
4、 2，向量 1(1，1，1)T， 2=(2，1，1) T 都是齐次线性方程组 AX0 的解求 A19 设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得C求 Q，使得 CAQ 20 设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵21 设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A*A T证明A 022 设 A( 1， 2， 3)，B( 1， 2， 3)都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵 C证明 C 可逆的充分必要条件是 A，B 都可逆23 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 EA 可逆24 设 A，B 都是 n
5、阶矩阵，EAB 可逆证明 EBA 也可逆，并且(EBA) -1EB(E AB) -1A25 设 A，B 都是 n 阶矩阵，证明 EAB 可逆 EBA 可逆26 设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们满足 2A-1BB4E证明 A2E 可逆27 设 n 阶矩阵 A，B 满足 ABaAbB其中 ab0，证明(1)AbE 和 BaE 都可逆(2)ABBA28 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 EAB 都可逆，证明： B(EAB) -1B-1EB(E AB) -1A29 设 A，B 都是对称矩阵，并且 EAB 可逆，证明 (EAB) -1A 是对称矩阵30 设 A，B 都是 n 阶矩阵，使得
6、 AB 可逆，证明 B(AB) -1AA(AB) -1B31 设 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 A 是可逆矩阵证明：矩阵方程 AXB 和XAB 的解相同 ABBA32 设 A ，求与 A 乘积可交换的所有矩阵33 (1)设 A 是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n 阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换，则 C 必是数量矩阵考研数学二（矩阵）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【知识模块】 矩
7、阵4 【正确答案】 A【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 和 的成立是明星的， 是不对的 ABcE，在 c0 时可推出 ABBA ，但是 c0 时则推不出 ABBA如(AB)2A 2B2 推不出 ABBA 对于中的 A 和 B，(AB) 2 和 A2B2 都是零矩阵，但是 ABBA【知识模块】 矩阵二、填空题6 【正确答案】 【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 5【试题解析】 A 不可逆 A0而故 4 或 5【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 2【试题解析】 由 AB2AB2E2E ，有 A(B2E)(B2E)2E，则 (AE)(B2E)2E 于是AE.B2E 8，而A E 4
8、， 所以B 2E2【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【试题解析】 由于 BAA 2E，又 A 可逆，则有 B(A 2E)A -1A A -1 故【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 由 XAXA T 有 X(AE)A T，因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆 故 XA T(AE) -1【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆 (1) 的逆矩阵可用初等变换法计算： (2) 的逆矩阵也可用初等变换法计算：(3) 的逆矩阵用“待定系数法 ”计算：即设它的
9、逆矩阵为 ，求 Dij 由则 BD210，得D210( 因为 B 可逆) BD 22E，得 D22B -1 AD 11CD 21E ，即 AD11E，得D11A -1 AD 12CD 220，得 D12A -1CB-1(4)用(3) 的方法，得【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A -1XAXA2A A-1XX2E XAX2A (EA)X2A， 用初等变换法解此基本矩阵方程：【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 化 2AXA4X 得 X(A4E) 2A用初等变换法解此矩阵方程：【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 用 A 右乘 ABA-1BA -13E 的两边，得 ABB3A ；再用 A*从
10、左乘两边，得 ABA *B3AE， 由A *8，得A 2，代入上式：(2EA *)B 6E 用初等变换法求 B：【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 由 XA2BAB2X 化得：X(A2E)(A 2E)B，即 X(A2E)B(A2E) -1， 则 X2017(A2E)B 2017(A2E) -1(A 2E)B(A 2E) -1X 再从关于 X 的矩阵方程 X(A2E) (A2E)B 用初等变换法求解 X： (A2E) TB(A2E) T)(A T2E(A T2E)【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 先由 XA2XB 求出 X，再求 X XA2XB X(A2E)B， X(1，6，2)T【知识模
11、块】 矩阵18 【正确答案】 令 3(1，1，1) T，则 A3(2，2，2) T，建立矩阵方程： A(1， 2， 3)(0，0，2 3)， 用初等变换法解得 A【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系得【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆于是可利用公式A*AA -1 来求伴随矩阵【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 把条件 A*A T 写出则 aijA ij， i，j 于是A 由于 A 是实矩阵，其元素的平方0，又 A 有非 0 元素，得A0【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法
12、则) C A TB 于是 CABAB 则C 0 A0 并且 B0 即 C 可逆 A，B 都可逆【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 设 n 是一个 n 维实向量，满足(EA) 0，要证明 0用 T左乘上式，得 T(EA)0，即 T TA 由于 A 是反对称矩阵， TA 是一个数， TA( TA)T TA，因此 TA0 于是 T0 是实向量，(，) T0，从而 0【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 (E BA)EB(EAB) -1A(EBA) (E BA)B(EAB) -1A (EBA) (BBAB)(E AB) -1A (EBA)B(EAB)(EAB) -1A EBABAE【知识模块】 矩阵
13、25 【正确答案】 证明一个更加强的事实：EABEBA记则HGEBA，GHEAB又因为G 1，所以HGH GH：GHGH H 得EABEBA【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 用 A 左乘 2A-1BB4E 两侧得 2BAB 4A 即(A2E)B4A 由 A 可逆，得 A2E 可逆【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)A bE 和 BaE 都可逆 (AbE)(BaE)可逆直接计算(A bE)(BAE) (A bE)(BaE)ABaAbBabE abE 因为 ab0，得(A bE)(BaE)可逆 (2)利用等式(AbE)(B aE)abE，两边除以 ab，得再两边乘 ab，得(BaE)(
14、A bE)abE，即 BAaAbBabEabE BAaAbBAB【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 对此等式进行恒等变形： B(E AB)-1B-1EB(E AB) -1A B(EAB)BB(EAB) -1AB(用 B 右乘等式两边) B(EAB) -1B(EAB) -1ABB B(EAB) -1(EAB) B 最后的等式显然成立【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 (E AB) -1A 对称，就是(E AB) -1AT(EAB) -1A (EAB) -1ATA(E AB) -1TA(EAB) T-1A(E BA) -1 于是要证明的是 (EAB) -1AA(EBA) -1 对此式作恒等变形
15、： (E AB) -1AA(EBA) -1 A(EAB)A(EBA) -1(用 EAB 左乘等式两边) A(EBA)(E AB)A(用 EBA 右乘等式两边) 等式 A(EBA) (E AB)A显然成立，于是(EAB) -1AA(EBA) -1成立【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 两边都加 A(AB) -1A 后，都等于 A： B(AB) -1AA(AB) -1A(BA)(AB) -1AA A(AB) -1BA(AB) -1AA(A B) -1(BA) A 因此 B(AB) -1AA(A B) -1B【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 AXB 的解为 A-1B，XAB 的解为 BA-1
16、AXB 和 XAB 的解相同即 A-1BBA -1作恒等变形： A -1BBA -1 BABA -1 BAAB 【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵AXXA 即： a1 3a 1 2 a 2 4 1， 1a 3 4， 2 3， 整理得 1， 2， 3， 4 的齐次线性方程组 解得通解为 c1(0，1，1，0)T c2(1，0，O，1) T，c 1，c 2 任意 则与 A 乘积可交换的矩阵的一般形式为c1Ac 2E，c 1，c 2 任意【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 (1)设 B 和 A 乘积可交换，要证明 B 是对角矩阵，即要说明 B 的对角线
17、外的元素 bij(ij)都为 0 设 A 的对角线元素为 1， 2， n则 AB 的(i，j)位元素为 ibij，而 BA 的(i，j)位元素为 ibij 因为 ABBA，得 a ibij jbij， 因为 ij，所以 bij0 (2)先说明 C 一定是对角矩阵由于 C 与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c11，c 22， cnn 都相等 构造 n 阶矩阵 A，使得其(i，j)位元素为1，ij，则 CA 的(i ，j)位元素为 cij，AC 的(i，j)位元素为 cjj于是 ciic jj这里的i，j 是任意的，从而c 11c 22c nn【知识模块】 矩阵
