1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 两个 4 阶矩阵满足 A2=B2，则（A）A=B（B） A=B（C） A=B 或 A=B（D）A=B或A= B 2 设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B，将 B 的第 1 列的1 倍加到第 2 列上得 C 则 C=( )（A）P 1 AP（B） PAP1 （C） PTAP（D）PAP T3 设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（A）A *A=AA*（B） AmAp=ApAm（C） ATA=AAT（D）(A+E)(AE)=(AE)(A+E)4 设
2、A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（A）AB=0 A=0 或 B=0（B） AB0 A0 且 B0（C） AB=0 A=0 或B=0（D）AB0 A0 且B0二、填空题5 若 A= ，则 A2=_，A 3=_6 设 A= ，则 A1 =_7 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A22A+E=0，则(A+2E) 1 =_8 若 A1 = ，则 (3A)*=_9 设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= ，则B 2E=_ 10 设 XA=AT+X，其中 A= ，则 X=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0，
3、A=E T，A 1 =E+1 T，求 a12 设 A=T，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k， A k=(T)k1 A=(tr(A)k1 A (tr(A)是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)13 设 A= ，求 An14 设 A= ，(1) 证明当 n1 时 An=An2 +A2E (2)求 An15 3 阶矩阵 A，B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A= ，求B16 A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A ，A 2)可逆，并且A3=3A2A 2 (1) 求 B，使得 A=PBP1 (2) 求A+E17 已知 =3，求18 设 3 阶矩阵 A= ，
4、A 1 XA=XA+2A，求 X19 4 阶矩阵 A，B 满足 ABA1 =BA1 +3E，已知20 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1=(1，1，1) T， 2=(2，1，1) T都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A21 设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵22 设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A*=AT证明A 023 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 E+A 可逆24 设 A，B 都是 n 阶矩阵，证明EAB 可逆E BA 可逆25 设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们满足 2A1 B=B4E证明 A2
5、E 可逆26 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 E+AB 都可逆，证明： B(E+AB)1 B1 =EB(E+AB) 1 A27 设 A，B 都是 n 阶矩阵，使得 A+B 可逆，证明 B(A+B) 1 A=A(A+B)1 B28 设 A= ，求与 A 乘积可交换的所有矩阵29 (1)设 A 是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n 阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换，则 C 必是数量矩阵30 设 A1 = ，求 (A*)1 31 设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)EB(E+AB) 1 A32 若 A 是对
6、称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是AB=BA33 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵，其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵( )计算并化简 PQ；()证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA1 b考研数学二（矩阵）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对 A2=B2 两边取行列式，得 A 2=B 2A 2 B 2=0(A B )(A +B)=0 AB =0 或 A+ B=0 即A=B或A =B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试
7、题解析】 根据初等矩阵的有关性质，则 B=PA，C=BP 1 ，得 C=PAP1 【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE，A mAp=ApAm=Am+p，(A+E)(AE)=(AE)(A+E)=A2E，所以 A、 B、D 均正确故 C 不正确【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 A= 0，B= 0，但 AB=0，所以 A，B 均不正确又如，有 AB0，但A=0 且B=0 可见 D 不正确由AB=0 有AB=0，有 A.B=0故A=0 或B=0 应选 C注意矩阵 A0 和行列式A0 是两个不同的概念，不要混淆【知识模块】 矩阵二、填空题5 【
8、正确答案】 ；【试题解析】 【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 【试题解析】 利用易见【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 【试题解析】 由(A+2E)(A4E)+9E=A 22A+E=0 有【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 【试题解析】 因为(kA) *=kn1 A*，故(3A) *=32A*，又 A*=A A 1 ，【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 2【试题解析】 由 AB2AB+2E=2E，有 A(B2E)(B2E)=2E，则(AE)(B2E)=2E于是 AE.B 2E=2E=8，而AE= = 4，所以 B 2E= 2【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 由 XAX=A
9、T 有 X(AE)=A T，因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 (E T)(E+a1 T)=E E+a1 T Ta 1 TT=E a1 T Ta 1 TT=0， ( T=2a2) (a1 12a) T=0， a 1 12a=0，(因为T 不是零矩阵) 1a 2a2=0，a=1【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 A k=(T)k=TT TT=(T)(T)( T)T=(T)k1 A T=a1b1+a2b2+anbn，而 a1b1，a 2b2，a nbn 正好的 A=T 的对角线上各元素，于是 T=tr(A
10、)， A k=(tr(A)k1 A【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A 的秩为 2，不符合例 25 注的条件，不能用例 25 的方法直接求 A 的方幂我们先求 A2 A2=2A即 AA=2A，A 在乘 A 上的作用相当于 2 乘 A，于是 An=An1 A=2n1 A【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 (1)A n=An2 +A2E 即 AnA n2 =A2EA n2 (A2E)=A2E只要证明 A(A2 E)=A2E此式可以直接检验：(2)把 An=An2 +A2E 作为递推公式求 Ann 是偶数 2k 时：A 2k=A2k2 +A2E=A 2k4 +2(A2E)：=k(A2E)+E
11、n 是奇数 2k+1 时：A 2k+1=AA2k=Ak(A2E)+E=k(A 2E)+A 【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 用 A 从右侧乘 ABA*=2BA*+E 的两边，得AAB=2 AB+A，A(A2E)B=A ，两边取行列式A 3A2EB=A，【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 (1)A=PBP 1 即 AP=PB 或 A(，A，A 2)=(，A，A 2)BA(，A，A 2)=(A， A2，A)=(A，A 2， 3A2A 2)(2)A+E=P(B+E)P1 则A+E=P B+E P 1 = B+E= =4【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 记 =(1， 2， 3)T，=(b 1
12、，b 2，b 3)T，=(c 1，c 2，c 3)T，所求行列式相应的矩阵为： (+，+，+)将它对 (，) 做矩阵分解，得 (+，+，+)= 两边求行列式，得所求行列式的值：+ ，+，+ = =3(3+3)【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 A 1 XA=XA+2AA1 X=X+2EX=AX+2A(EA)X=2A，用初等变换法解此基本矩阵方程：【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 用 A 右乘 ABA1 =BA1 +3E 的两边，得 AB=B+3A；再用 A*从左乘两边，得AB=A *B+3AE，由A *=8 ，得A=2，代入上式： (2EA *)B=6E，用初等变换法求得【知识模块】 矩
13、阵20 【正确答案】 令 3=(1，1，1) T，则 A3=(2，2，2) T，建立矩阵方程：A(1， 2， 3)=(0，0，2 3)，用初等变换法解得【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆于是可利用公式A*=AA 1 来求伴随矩阵【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 把条件 A*=AT 写出，则 aij=Aij， i，j 于是 A=(也可从 AAT=AA*=AE，也可得到 A= )由于 A 是实矩阵，其元素的平方0，又 A 有非 0 元素，得A 0【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 A 是一个抽象矩阵，因此用行列式证明是困难的下面的证明思路是通过(
14、E+A)X=0 只有零解来说明结论 设 是一个 n 维实向量，满足(E+A)=0，要证明 =0用 T 左乘上式，得 T(E+A)=0，即 T= TA 由于 A 是反对称矩阵， TA 是一个数， TA=(TA)T= TA，因此 TA=0，于是 T=0 是实向量，( ，)= T=0，从而 =0【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 用线性方程组的克拉默法则证明“=”方向设 EAB 可逆，要证明 EBA 可逆，为此只要证明齐次线性方程组(EBA)X=0 只有零解设 是(EBA)X=0 的解，即 BA=0，则 AABA=0，即(EAB)A=0，由于 EAB 可逆，得 A=0，再从 BA=0 得 =0证明
15、完毕“=”方向的证明类似【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 用 A 左乘 2A1 B=B4E 两侧得 2B=AB 4A 即 (A2E)B=4A 由 A 可逆，得 A2E 可逆【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 对此等式进行恒等变形： B(E+AB) 1 B1 =EB(E+AB)1 AB(E+AB)1 =BB(E+AB) 1 AB (用 B 右乘等式两边) B(E+AB) 1 +B(E+AB)1 AB=B B(E+AB)1 (E+AB)=B 最后的等式显然成立【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 两边都加 A(A+B)1 A 后，都等于 A： B(A+B) 1 A+A(A+B)1 A=(B+
16、A)(A+B)1 A=A A(A+B) 1 B+A(A+B) 1A=A(A+B)1 (B+A)=A 因此B(A+B)1 A=A(A+B)1 B【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵AX=XA 即：ax1+x3=ax1+x2ax 2+x4=x1x 1=ax3+x4x 2=x3，整理得 x1，x 2，x 3，x 4 的齐次线性方程组 解得通解为 c 1(a，1，1，0) T+c2(1，0，0，1) T，c 1，c 2 任意则与 A 乘积可交换的矩阵的一般形式为 c1A+C2E，c 1，c 2 任意【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 (1)设 B 和 A
17、乘积可交换，要证明 B 是对角矩阵，即要说明 B 的对角线外的元素 bij(ij)都为 0 设 A 的对角线元素为 1， 2， n则 AB 的(i，j)位元素为 ibij，而 BA 的(i，j)位元素为 jbij，因为 AB=BA，得 a ibij=jbij 因为ij，所以 bij=0 (2) 先说明 C 一定是对角矩阵由于 C 与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c11， c22，c nn 都相等 构造 n 阶矩阵 A，使得其(i，j)位元素为1，ij，则 CA 的(i ，j)位元素为 Cij，AC 的(i，j)
18、位元素为 cjj于是 Cii=cjj这里的i，j 是任意的，从而 C 11=C22=Cnn【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 因为(A *)1 = ,【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 (E+BA)EB(E+AB) 1 A =E+BAB(E+AB) 1 ABAB(E+AB)1 A =E+BA B(E+AB)(E+AB)1 A=E+BABA=E【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 因为 AT=A，B T=B，那么(AB) T=BTAT=BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T=AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T=BA=AB，即 AB 是反对称矩阵【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 () 由 AA*=A*A=AE 及 A*=A A 1 有()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 因为矩阵 A 可逆，行列式A0，故Q=A(b TA1 )由此可知，Q 可逆的充分必要条件是b TA1 0，即 TA1 b【知识模块】 矩阵
