1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 3 阶矩阵，P=( 1， 2， 3)为 3 阶可逆矩阵，Q=( 1+2， 2， 3)已知则 QTAQ=( )2 设 A 是 3 阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（A）交换 A*的 1，2 行得到 B*（B）交换 A*的 1，2 列得到 B*（C）交换 A*的 1，2 行得到B *（D）交换 A*的 1，2 列得到B *3 设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 B=E+AB，C=A+CA，则 BC 为（A）E （B） E（C） A（D）A4 A 和 B 都是
2、 n 阶矩阵给出下列条件 A 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (A+B)2=A2+2AB+B2 AB=cE (AB) 2=A2B2 则其中可推出 AB=BA 的有( )（A）（B） （C） （D） 5 设 n 维行向量 = ，矩阵 A=E T，B=E+2 T，则 AB=（A）0（B） E（C） E（D）E+ T6 设 A，B，A+B，A 1 +B1 均为 n 阶可逆矩阵，则 (A1 +B1 )1 =（A）A+B（B） A1 +B1 （C） A(A+B)1 B（D）(A+B) 1 7 设 ，则 B=（A）AP 1P2（B） AP1P3（C） AP3P1（D）AP 2P3二、填空题8 若 A= ，
3、则 A*=_，(A *)*=_9 设矩阵 A= ，B=A 2+5A+6E，则 =_10 若 A= ，则 (A*)1 =_11 若 A= 不可逆，则 x=_12 设 A2BA=E，其中 A= ，则 B=_13 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A1 +2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 Ak 与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且 Ak 的对角线元素为 a11k，a
4、 22k，a nnk；f(A)的对角线元素为 f(a11)，f(a 22)， ，f(a nn) (a 11，a 22，a nn 是 A 的对角线元素)15 A=E T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A2=3E2A ，求 T16 T= ，求 T17 求18 求19 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 求作矩阵 B，使得 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)B20 设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)，A=1 ，B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)，求B 21 设
5、A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵22 矩阵 A= ，求解矩阵方程 2A=XA4X 23 已知 ，XA+2B=AB+2X，求 X201724 设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得C求 Q，使得 C=AQ25 设 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵证明 C 可逆的充分必要条件是 A，B 都可逆26 设 A，B 都是 n 阶矩阵，EAB 可逆证明 EBA 也可逆，并且 (EBA)1 =E+B(EAB) 1 A27 设 n 阶矩阵 A，B 满足
6、AB=aA+bB其中 ab0，证明(1)AbE 和 BaE 都可逆(2)AB=BA28 设 A，B 都是对称矩阵，并且 E+AB 可逆，证明(E+AB) 1 A 是对称矩阵29 设 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 A 是可逆矩阵证明：矩阵方程 AX=B 和 XA=B的解相同AB=BA30 设 A= ，求 An31 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C1 ，证明 BAC=CAB32 设 A 是 n 阶矩阵，A m=0，证明 EA 可逆33 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(EA)(E+A) 1 是正交矩阵考研数学二（矩阵）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每
7、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 关键是 Q 和 P 的关系由矩阵分解，有【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A 是可逆矩阵，所以 B 也可逆，则B*=BB 1 于是得结论：交换 A*的 1，2 列得到 B*【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 由 B=E+AB 得(EA)B=E，由 C=A+CA 得C(EA)=A，则 C(EA)B=AB，得 C=ABBC=E+ABAB=E【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 和 的成立是明显的 是不对的，如AB=cE，在 c0 时可推出 AB=BA，但是 c=0
8、时则推不出 AB=BA如 (AB)2=A2B2 推不出 AB=BA对于 中的 A 和 B，(AB) 2 和 A2B2 都是零矩阵，但是ABBA【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 B【试题解析】 AB=(E T)(E+2T)=E+2T T2 TT =E+T2 T(T) 故 AB=E应选 B【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 (A 1 +B1 )1 =(EA1 +B1 )1 =(B1 BA1 +B1 )1 =B1 (BA1 +AA1 )1 =B1 (B+A)A1 1 =(A1 )1 (B+A)1 (B1 )1 =A(A+B)1 B 故应选 C【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 B【
9、试题解析】 把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1，3 两列互换可得到矩阵B， 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP1，故应在 A、B 中选择而 P3= 表示第 1 和 3 两列互换，所以选 B【知识模块】 矩阵二、填空题8 【正确答案】 ；0【试题解析】 用定义A 11=3，A 12=6，A 13=3，A 21=6，A 22=12 ，A 23=6，A 31=3，A 32=6，A 33=3，故 因为 r(A*)=1，A *的二阶子式全为 0，故(A *)*=0【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 【试题解析】 因 B=(A+2E)(A+3E)，又 =5B1 ，故【知识模
10、块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 因为(A *)1 = ，而A= ，【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 4 或5【试题解析】 A 不可逆A=0而故 x=4 或 x=5【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=A2E，又 A 可逆，则有 B=(A2E)A 1 =AA 1 【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 左乘 A 并把 AA*=AE 代入得 AX=E+2AX，移项得 (A E2A)X=E故 X=(AE2A) 1 【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 (1)设 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵，
11、C=AB，要说明 C 的对角线下的元素都为 0，即 ij 时，c ij=0c ij=A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵， A 的第 i 个行向量的前面 i1 个分量都是 0，B 的第 j 个列向量的后面 nj 个分量都是 0，而i1+n j=n+(ij1)n，因此 cij=0 cij=ai1b1i+aii1 bi1i +aiibii+aii+1bi+1i+ainbni =aiibii(ai1=aii1 =0，b i+1i=bni=0) (2)设 A 是上三角矩阵由(1)，直接可得 Ak是上三角矩阵，并且对角线元素为 a11k
12、，a 22k， annk 设 f(A)=amAm+am1 Am1 +a1A+a0Ea iAi 都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是 f(a11)，f(a 22)，f(a nn)【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 A 2=3E2A ， A 2+2A3E=0 (A+3E)(A E)=0 ， (4E T)( T)=0， 4 T TT=0，( T 是数！) (4 T)T=0，( 由于 ， 都是非零列向量， T 不是零矩阵) =4 T=0， T=4，从而 T=T=4【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 ( T)2=(T)T，计算得 T=3
13、【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 记此矩阵为 A即 A 2A=2A则A2017=(A2)1008A=(2) 1008A=21008A【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 记此矩阵为 A，记 B= ，则 A=B+E因为 B 和 E 乘积可交换，对 A10=(B+E)10 可用二项展开式： (B+E)10= 注意矩阵 B 满足：B2= ，而当 n2 时 Bn 是零矩阵于是A10=C108B2+C109B+E=45B2+10B+E=【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 由于 1， 2， 3，线性无关，矩阵 P=(1， 2， 3)可逆，并且E=P1 (1， 2， 3)=(P1 1，P 1 2，P
14、1 3)，则 P 11=(1，0，0)T， P1 2=(0，1，0) T，P 1 3=(0，0，1) T，于是 B=P1 AP=P1 A(1， 2， 3)=P1 (1+2+3，2 2+3，2 2+33)【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)=(1， 2， 3) B= 1， 2， 3 =2【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵郝可逆 的逆矩阵可用初等变换法计算： 的逆矩阵也可用初等变换法计算： 的逆矩阵用“ 待定系数法 ”计算：即设它的逆矩阵为 ，求 Dij则 BD21=0，得D21=0(因为 B 可逆)
15、BD 22=E，得 D22=B1 AD 11+CD21=E，即 AD11=E，得D11=A1 AD 12+CD22=0，得 D12=A 1 CB1 用的方法，得【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 化 2A=XA4X 得 X(A4E)=2A用初等变换法解此矩阵方程：【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由 XA+2B=AB+2X 化得：X(A 2E)=(A2E)B ，即 X=(A2E)B(A2E) 1 ，则 X2017=(A2E)B 2017(A2E) 1 =(A2E)B(A2E) 1 =X再从关于X 的矩阵方程 X(A2E)=(A2E)B 用初等变换法求解 X：(A2E) TB(A 2E)
16、T)=(AT2E B(A T2E)【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系，得【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则)于是C=A TB= AB则 C 0A0 并且 B0 即 C 可逆 A，B 都可逆【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 本题看似要证明两个结论，实际上只要证明等式(EBA)E+B(EAB) 1 A=E 成立，两个结论就都得到了！ (EBA)E+B(EAB) 1 A=(EBA)+(EBA)B(E AB) 1 A =(EBA)+(B BAB)(EAB) 1 A =(EBA)+B(EAB)(EAB) 1 A =EB
17、A+BA=E【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)A bE 和 BaE 都可逆(AbE)(BaE)可逆直接计算(A bE)(BaE)(AbE)(BaE)=ABaAbB+abE=abE因为 ab0，得(A bE)(BaE)可逆(2)利用等式(AbE)(B aE)=abE ，两边除以 ab，得再两边乘 ab，得(BaE)(A bE)=abE，即BAaAbB+abE=abE BA=aA+bB=AB 【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 (E+AB) 1 A 对称，就是(E+AB) 1 AT=(E+AB)1 A (E+AB)1 AT=A(E+AB)1 T=A(E+AB)T1 =A(E+BA)1
18、于是要证明的是 (E+AB)1 A=A(E+BA)1 对此式作恒等变形： (E+AB) 1A=A(E+BA)1 A=(E+AB)A(E+BA)1 (用 E+AB 左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A (用 E+BA 右乘等式两边) 等式 A(E+BA)=(E+AB)A显然成立，于是(E+AB) 1 A=A(E+BA)1 成立【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 AX=B 的解为 A1 B，XA=B 的解为 BA1 AX=B 和 XA=B 的解相同即 A1 B=BA1 作恒等变形： A 1 B=BA1 B=ABA1 BA=AB【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 对矩阵 A 分块，记
19、A= ，则由 r(B)=1，知B2=2BB n=2n1 B=【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因ABAC=E，即 A1 =BAC又 CABA=E，得 A1 =CAB 从而 BAC=CAB【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 由 Am=0，有 EA m=E于是 (EA)(E+A+A 2+Am1 )=EA m=E 所以 EA 可逆，且(EA) 1 =E+A+A2+Am1 【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 (EA)(E+A) 1 (EA)(E+A) 1 T =(EA)(E+A) 1 (E+A)1 T(EA) T =(EA)(E+A) 1 (E+A)T1 (E+A) =(EA)(E+A) 1 (EA) 1 (E+A) =(EA)(EA)(E+A) 1 (E+A) =(EA)(E+A)(EA) 1 (E+A) =(EA)(EA)1 (E+A)1 (E+A)=E 所以 (EA)(E+A) 1 是正交矩阵【知识模块】 矩阵
