1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 a=(1/2,0,.,0,1/2)，矩阵 A=E-aTa， B=E+2aTa，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则 AB=_.（A）0（B） -E（C） E（D）E+a Ta2 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A =2， B=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为3 设 n 阶矩阵 A 非奇异(n2)，A *是 A 的伴随矩阵，则（A）(A *)*= A n-1A（B） (A*)*= A n+1A（C） (A*)*= A n-2A（D）(A
2、 *)*= A n+2A.4 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有（A）n=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+2605 设 A，B 为 n 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 C=，则 C 的伴随矩阵 C*=6 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A3=0，则（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-A 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆7 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中
3、E 是 n 阶单位阵，则必有（A）ACB=E.（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E8 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -1二、填空题9 设 a 为 3 维列向量， aT 是 a 的转置，若 aaT= ，则 aT a=_.10 设 A= ，而 n2 为正整数，则 An -2An-1=_.11 设 A= ，B=P -1AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵，则 B2004 -2A2 =_.12 设 A= ，B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则 f=
4、_13 设 A 为 n 阶矩阵，A 0，A *为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 有特征值 ，则(A *)2+E 必有特征值_14 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，求(A *)-1.15 设 A= ，E 为 4 阶单位矩阵，且 B=(E+A)-1(E-A)，则(E+B) -1=_16 设矩阵 A 满足 A2+A-4 层=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.17 设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵已知 AB=2A+BB= 则(A-E)-1=_18 设 n 维向量 a=(a，0，0，a) T，a T B=E+1/aaaT . 其中 A 的逆矩阵为 B，则
5、a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A=E-T，其中层为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置 证明：19 A2=A 的充要条件是 T=1；20 当 T=1 时， A 是不可逆矩阵考研数学二（矩阵）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵
6、8 【正确答案】 C【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 3【试题解析】 aa T 是秩为 1 的矩阵，a Ta 是一个数，这两个符号不要混淆【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 0【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 -3【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 (A /) 2+1【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 (A *)-1=【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 2E【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 1/2(A+2E)【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 -1【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+TT =E-T+(T)T-T=A+(T)T-T， 那么 A2=A(T-1)T=0 因为 是非零列向量， T0，故 A2=AT-1=0即 T=1【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 反证法当 T=1 时，由(1) 知 A2=A，若 A 可逆，则 A=A -1A2=A-1A=E 与已知 A=E-TE 矛盾【知识模块】 矩阵
