1、考研数学二（矩阵）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 均为 n 阶方阵，且 AB=E，则 BE 一 2B(E+ATBT)一 1AA=( )（A）A 一 1（B） B 一 1（C） O（D）AB2 设 n 阶方阵 A，B，C 满足关系 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则下列各式中不一定成立的是( )（A）CAB=E（B） B 一 1A 一 1C 一 1=E（C） BCA=E（D）C 一 1A 一 1B 一 1=E3 设 n 阶矩阵 A，B，A+B，A 一 1+B 一 1 均为可逆矩阵，则 (A 一 1+B 一 1)一
2、1=( )（A）A+B（B） A(A+B)一 1B（C） A 一 1+B 一 1（D）(A+B) 一 14 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=O，则( )（A）E 一 A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 也可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆5 设矩阵 则必有( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B6 设矩阵 其中矩阵 A 可逆，则 B 一 1=( )（A）A 一 1P1P2（B） P1A 一 1P2（C） P1P2A 一 1（D）P 2A 一 1P17 设
3、A 为 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再将 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )（A）（B）（C）（D）8 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得 C，记 则 C=( )（A）P 一 1AP（B） PAP 一 1（C） PTAP（D）PAP T9 设 A 为 3 阶方阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得 B，再交换 B 的第 2、3 两行得单位矩阵，记 则 A=( )（A）P 1P2（B） P1 一 1P2（C） P2P1（D）P 2P1 一 1
4、10 已知矩阵 则 B=( )（A）P 1P2A（B） P2P1A（C） AP1P2（D）P 1AP211 已知 P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则下面结论正确的是( )（A）t6 时，P 的秩必为 2（B） t6 时， P 的秩必为 1（C） t=6 时，P 的秩必为 2（D）t=6 时， P 的秩必为 112 设 3 阶方阵 若 A 的伴随矩阵 A*的秩为 1，则必有( )（A）a=-2b（B） a=b（C） a=-b（D）a=2b 13 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，E 是 m 阶的单位矩阵，若 AB=E，则( )（A）秩 r(A)=m，秩 r(B)=m（B）秩
5、r(A)=m，秩 r(B)=n（C）秩 r(A)=n，秩 r(B)=m（D）秩 r(A)=n，秩 r(B)=n二、填空题14 设 若 A=T，则 An=_15 设 3 阶矩阵 A 的 3 个特征值为 1=1， 2=0， 3=一 1，对应的线性无关的特征向量依次为 p1=(1，2，2) T，p 2=(0，一 1，1) T，p 3=(0，0，1) T，则 A=_.16 设 =(1， 0，1) T，=(0，1，1) T，PA= TP，其中 则A2014=_.17 设 ，则 An=_18 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_19 设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2
6、，而 则 r(AB)=_20 设 为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则矩阵 E 一 T 的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A=T，=(1，一 2，1) T，=(2，1，1) T，求(E+A) n22 试证任何方阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和23 设 A 为 n 阶可逆对称矩阵，B 为 n 阶对称矩阵若 E+AB 可逆，则(层+AB) 一 1是对称矩阵23 设 n 阶实矩阵 A 为反对称矩阵，即 AT=一 A证明：24 对任意一个 n 维实列向量 ， 与 A 正交；25 A+E 与 AE 都可逆；26 (AE)(A+E)一 1 是正交矩
7、阵27 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 EAB 可逆，则 E 一 BA 也可逆27 设 A 为 n 阶方阵，且满足 A2=3A，E 为 n 阶单位矩阵28 证明 4E 一 A 可逆；29 如果 AO，证明 3EA 不可逆30 设 n 阶方阵 A 满足 A2+3A 一 2E=O，求 A-1 及(A+E) -131 已知 n 阶矩阵 A 满足 A3=2E，B=A 2-2A+2E，求(B 一 E)-132 设矩阵 ，B=(E+A) -1(EA)，求 (E+B)-133 已知 A2=A，2AB AB=E，若 求(A 一 B)-1 及矩阵 B34 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A *是 A 的伴随矩阵证
8、明 (1)A *=A n-1； (2)(A *)T=(AT)*； (3)(A *)-1=(A-1)*； (4)(A *)*=A n-2A； (5)(kA)35 设 其中 A，B 为 n 阶矩阵，A，B 的伴随矩阵为 A*，B *，求 C 的伴随矩阵 C*36 设 A 为 n 阶非零矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A *是 A 的转置矩阵，证明当AT=A*时，A 可逆37 设(2E 一 CB)A=C，其中 A 是 3 阶方阵 A 的转置矩阵，且.38 设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A 一 1BA=6A+BA，且 求矩阵B39 已知向量 =(1，2，1) *，=(1，0，2) *，记 A=*
9、，若矩阵 X 满足 2E+X=AT-A*X，求矩阵 X40 已知矩阵 A 的伴随矩阵 且满足 ABA-1=BA-1+3E，求矩阵 B41 已知矩阵 且矩阵 X 满足 AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求矩阵 X42 已知 且有 AXB=AX+AB-A2+B，求 X43 已知 3 阶矩阵 A 满足 Ai=ii，i=1，2，3，其中 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，1)T， 3=(0，0，1) T，试求矩阵 A44 设 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，证明 r(AB)r(A)+r(B)一 n45 设 n 阶矩阵 A 满足 A2=E，试证 r(A+E)
10、+r(AE)=n46 对行满秩矩阵 Amn，必有列满秩矩阵 Bnm，使 AB=E46 设 A 为 n 阶方阵(n2)，A *是 A 的伴随矩阵，试证：47 当 r(A)=17,时，r(A *)=n；48 当 r(A)=nl 时，r(A *)=1；49 当 r(A)n 一 1 时，r(A *)=050 设 3 阶矩阵 已知 r(AB)r(A) ，r(AB)r(B)，求 a，b的值与 r(AB)考研数学二（矩阵）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查矩阵的基本运算，注意到 AB=E，可得 BA=EBE 一2B
11、(E+ATBT)-1AA=BE 一 2B(E+(BA)T)-1AA=BE 一 2B(2E)-1AA【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查逆矩阵的概念及矩阵的运算由于 ABC=E，所以有(AB)C=E，故 C 一 1=AB，从而 CAB=E，因此 A 正确同理可证 B、C 都正确当 AB不可换时，D 不正确故选 D【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查逆矩阵的概念及性质注意到 AB=E，则 A 可逆，B 就是A 的逆；也可用(A 一 1)一 1=A 【解法 l】由于 (A 一 1+B 一 1)A(A+B)一 1B=(A 一 1+B一 1)B 一 1(A
12、+B)A 一 1一 1=(A 一 1+B 一 1)(B 一 1+A 一 1)一 1=(A 一 1+B 一 1)(A 一 1+B 一 1)一1=E，故选 B 【解法 2】 由于A(A+B) 一 1B一 1=B 一 1(A+B)A 一 1=B 一 1+A 一 1=A 一1+B 一 1故选 B【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查逆矩阵的概念及性质，抽象矩阵求逆一般从定义出发由于(E-A)(E+A+A 2)=E，从而 E-A 可逆，同理(E+A)(E-A+A 2)=E，从而 E+A 可逆故选 C【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查矩阵的初等变换与初等矩阵
13、的关系对矩阵施行初等行变换相当于对矩阵左乘同种的初等方阵，对矩阵施行初等列变换相当于对矩阵右乘同种的初等方阵这是矩阵初等变换与初等方阵关系的最基本题型矩阵 A 经过两次初等行变换变为矩阵 B，根据初等矩阵的性质，左乘初等矩阵相当于作初等行变换，右乘初等矩阵相当于作初等列变换，所以选项 A、B 均不正确C 选项中P1P2 表示将矩阵 A 的第 1 行加到第 3 行上，再互换所得矩阵的 1，2 两行，这样得到的矩阵恰好是矩阵 B，所以 C 为正确选项D 选项中的 P2P1A 表示将矩阵 A 的第 1，2 两行互换，再将所得矩阵第 1 行加到第 3 行上，这样得到的矩阵为不是题中的矩阵 B，所以 D
14、 不正确【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查矩阵的初等变换与初等矩阵的关系所涉及的知识点是(1)对 A 矩阵施一次初等列变换，相当于用同类的初等方阵右乘矩阵 A (2)初等矩阵都是可逆的矩阵，其逆仍是同种的初等矩阵 (3)可逆矩阵的性质，可逆矩阵积的逆等于逆的积，要调换因子的顺序 由题设，矩阵是通过交换矩阵的第 2、3 两列和交换第 1、4 两列后得到的，即 B=AP1P2 或 B=AP2P1，于是 B 一 1=P1 一 1P2 一 1A一 1，又 P2 一 1=P1，P 2 一 1=P2，故 B 一 1=P1P2A 一 1 或 B 一 1=P2P1A 一 1 因此应选
15、C【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查矩阵的初等变换与初等矩阵的关系要求考生掌握对 A 矩阵施一次初等列变换，相当于用同类的初等方阵右乘矩阵 A；任何可逆矩阵均可化成若干个初等方阵的乘积，依此，矩阵 Q 为两个初等方阵 E1，E 2 的乘积故应选 D【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查矩阵的初等变换与初等矩阵的关系要求考生掌握对矩阵A 施一次初等行变换，相当于用同类的初等方阵左乘矩阵 A；对矩阵 A 施一次初等列变换，相当于用同类的初等方阵右乘矩阵 A初等矩阵都是可逆的矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵分块对角矩阵求逆将矩阵 A 的第 2 行加到第
16、1 行，相当于用 P 左乘 A，即 B=PA将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列，相当于用 P 一 1右乘 B，即 C=BP 一 1，故 C=PAP 一 1，故应选 B【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查矩阵的初等变换与初等方阵的关系，解题时根据所涉及矩阵之间的关系求出矩阵 A 由于将 A 的第 2 列加到第 1 列的矩阵 B，故 AP1=B，即 A=BP1 一 1，又由于交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，故 P2B=E，即 B=P2一 1E=P2，于是 A=BP1 一 1=P2P1 一 1故选 D【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 A【试题解析
17、】 本题考查初等变换和初等矩阵的关系本题判断要根据已知的初等矩阵 P1P2，找出 A 经过哪种初等变换变成 B 是解题的关键根据题设知，将 A 的第 3 行的一 1 倍加到第 1 行后，再交换所得矩阵的 2、3 两行得 B于是B=P1P2A故选 A【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查当 AB=O 时，r(A)+r(B)n 的应用显然，当 t=6 时，r(Q)=1，由于 PQ=O 时 r(P)+r(Q)3，此时 1r(P)2，因此可排除 C、D当 t6时，r(Q)=2，再由于 PQ=0 时 r(P)+r(Q)3，所以， r(P)1，而 P 为非零矩阵，则r(P)1，于是
18、 r(P)=1故选 B【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查矩阵秩的概念和求秩的公式要求考生掌握矩阵 A 的秩是矩阵最高阶非零子式的阶数；A *的秩 r(A*)=1r(A)=n1由于 r(A*)=1，所以r(A)=2，从而A=0，即 =(a+2b)(a 一 b)2=0于是得 a+2b=0 或 a=b而当 a=b 时，r(A)=1，此时 r(A*)=0，不合题意，ab 且 a+2b=0，即 a=一 2b故应选 A【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查矩阵求秩的有关公式由矩阵秩的性质可得 r(A)minm，nm，r(B)minm，nm 又由 AB=E
19、 可知 m=r(E)=r(AB)minr(A)，r(B)，从而有 r(A)m 及 r(B)m所以，r(A)=r(B)=m故应选 A【知识模块】 矩阵二、填空题14 【正确答案】 【试题解析】 本题考查方阵的幂运算，巧妙运用矩阵乘法的结合律，使计算简化【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析】 本题考查用相似对角矩阵的理论计算方阵的幂这是方阵幂运算的典型的方法由相似对角矩阵的理论，令【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 【试题解析】 本题可采用 2、3 两题方法结合，再求方阵的高次幂显然 P 可逆，所以，A=P -1TP，从而 A2014=P-1(T)2014P，注意到( T)2014=
20、TTT T【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 【试题解析】 本题考查用二项式定理求矩阵的高次幂将 A 写成【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 0【试题解析】 本题考查矩阵的秩的概念和矩阵的秩与其伴随矩阵的秩的关系(本题也可以直接用公式)因为 4 阶矩阵 A 的秩为 2，所以矩阵 A 的所有 3 阶子式全为零，故 A*为零矩阵，因此 r(A*)=0【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 2【试题解析】 本题考查 r(A)=r(PA)=r(AQ)其中 P，Q 为可逆矩阵显然，矩阵B 可逆所以 r(AB)=r(A)=2故应填 2【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 n 一 1【试题解析】 本题考查
21、由矩阵特征值求矩阵秩的方法要求考生掌握抽象矩阵特征值的求法及其有关性质和相似矩阵有相同的秩等有关理论由于矩阵 T 的特征值为 0，0，l，故矩阵 E 一 T 的特征值为 1，1，0，又由于实对称矩阵可相似对角化，其对角矩阵的秩为 n1，且相似矩阵有相同的秩，故矩阵 E 一T 的秩为 n1【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 由于【试题解析】 本题考查矩阵乘法结合律与二项式定理相结合计算矩阵的高次幂于是 A2=TT=T=A，A n=A，故(E+A)n=E+Cn1A+Cn2A2+CnnAn=E+(Cn1+Cn2+Cnn)A=E+(2n 一 1)A【
22、知识模块】 矩阵22 【正确答案】 对于任何 n 阶方阵 A，有可见 B 是对称矩阵，C 是反对称矩阵，且有 A=B+C【试题解析】 本题考查对称矩阵与反对称矩阵的概念与性质【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 由于(E+AB) 一 1AT=AT(E+AB)一 1T=A(E+AB)T一 1=A(E+BA)一1=(A 一 1)一 1(E+BA)一 1=(E+BA)A 一 1一 1=(A 一 1+B)一 1=A 一 1(E+AB)一 1=(E+AB)一1A故(E+AB) 一 1A 为对称矩阵【试题解析】 本题考查对称矩阵、反对称矩阵和逆矩阵的概念和性质【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵24 【正
23、确答案】 由定义，只需证明(，A)= TA=0 由于( ，A)=(A，)=(A)T =TAT =一 TA，所以，有 2TA=0，从而 TA=0，所以 与 A 正交【试题解析】 本题考查反对称矩阵，可逆矩阵、正交矩阵的概念与性质【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 反证法设 AE 不可逆，则存在非零列向量 ，使(A E)=0，即 A=，这与 ，A 正交矛盾，故 A-E 可逆，同理可证 A+E 可逆【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 由于(AE)(A+E) -1(AE)(A+E)-1T =(AE)(A+E)一 1(A 一 E)一1(A+E) =(AE)(AE)(A+E)一 1(A+E) =(AE
24、)(A+E)(AE)一 1(A+E) =(A 一 E)(A一 E)一 1(A+E)一 1(A+E) =EE=E 故(A E)(A+E)一 1 是正交矩阵【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 设 C 为 n 阶矩阵，使(EAB)C=E，则 C 一 ABC=E ，左乘 n阶方阵 B，右乘 n 阶方阵 A，有 BCA-BABCA=BA(E 一 BA)BCA=BAE+E，即 (EBA)(B+BCA)=E，因而 E 一 BA 可逆【试题解析】 本题考查逆矩阵的概念及性质，抽象矩阵求逆一般主要是 AB=E，则 A 可逆，还可以用 A 的行列式不为零，则 A 可逆，也可以构造恒等式使AX=E，则 X 是 A
25、 的逆【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由 A2=3A，得 A2 一 3A=O于是 A2 一 3A=A2 一4A+A4E+4E=A(A 一 4E)+(A 一 4E)+4E=(A+E)(A 一 4E)+4E=O，故 (A 一 4E)-1=(A+E)【试题解析】 本题考查可逆矩阵的概念与性质证明矩阵不可逆往往采用反证法证明【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 反证法若 3E 一 A 可逆，由 A2-3A=O，即 A(3E-A)=O，可得A=O，这与 AO 矛盾所以 3E-A 不可逆【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 (1)由 A2+3A-2E=O，A(A+3E)=2E于是
26、故(2)由 A2+3A 一 2E=O 得 A2+A+2A+2E=4E于是 A(A+E)+2(A+E)=4E，即 (A+2E)(A+E)=4E，从而【试题解析】 要求 A-1 就要根据已知条件恒等变形 AB=E 或 BA=E 的形式，求(A+E)-1 就要根据已知条件恒等变形成(A+E)B=E 或 B(A+E)=E 的形式【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 由 B=A2 一 2A+2E 可得 BE=(AE)2 再由 A3=2E，可得(A 一E)(A2+A+E)=E，有(AE) -1=A2+A+E 于是(B 一 E)-1 =(AE)2-1 =(A2+A+E)2【试题解析】 本题考查矩阵的基本运算
27、和矩阵求逆【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 由 B=(E+A)-1(E 一 A)可得(E+A)B=E-A，E+B+A(B+E)=2E，即故【试题解析】 本题考查逆矩阵的概念、性质及其运算此类题经常采用如下方法：要求 E+B 的逆，就要依据已给的关系式中构造 E+B 的因子，使(E+B)X=E 或X(E+B)=E，则 X 是 E+B 的逆【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 由 2AAB 一 AB=E，得 A2+AB-AB=E即 A 2AB+AB=E， A(A 一 B)+(AB)=E，于是 (A+E)(A B)=E，故【试题解析】 本题考查逆矩阵的概念、性质及其运算【知识模块】 矩阵34 【
28、正确答案】 (1)A *= AA -1=A nA -1=A n =A n-1(2)(A *)T=(AA -1)T=A(A -1)T=A(A T)-1=A T(A T)-1=(AT)*(3)(A *)-1=(A -1)-1= (A-1)-1=(A-1)-1=(A-1)*(4)(A *)*= A*(A *)-1= =A n-2A(5)(kA) *=kA(kA) -1=knA A-1=kn-1AA -1=kn-1A*(6)(AB) *=AB (AB) -1=ABB -1A-1=BB -1A A -1=B*A*【试题解析】 本题考查 A 的伴随矩阵 A*的概念、性质和运算【知识模块】 矩阵35 【正确
29、答案】 因为 CC*=CE= ABE(其中 E 为 2n 阶单位矩阵)，而其中 E1 是 n 阶单位矩阵故【试题解析】 本题考查分块矩阵的伴随矩阵的构成和分块矩阵的运算在计算时注意运用伴随矩阵的有关公式【知识模块】 矩阵36 【正确答案】 由 AT=A*知 Aij=aij，其中 Aij 是 aij 的代数余子式，于是又因 AO，所以至少有一元素 aij0，故A0从而 A 可逆【试题解析】 本题考查伴随矩阵 A*的构成，证明 A 可逆，只需证明A0 即可【知识模块】 矩阵37 【正确答案】 由已知(2EC 一 1B)AT=C 一 1，两边左乘 C，得(2CE)AT=EA(2CB) T=E，显然(
30、2CB) T 可逆，于是 A=(2CB)T一 1【试题解析】 本题考查矩阵的各种关系运算，所谓的解矩阵方程，就是通过矩阵的运算求出未知的矩阵【知识模块】 矩阵38 【正确答案】 由 A 一 1BA=6A+BAA 一 1BAA 一 1=6AA 一 1+BAA 一 1A 一1B=6E+BA 一 1BB=6E(A 一 1 一 E)B=6E，故【试题解析】 本题考查逆矩阵的概念、性质及其矩阵的基本运算，此类解矩阵方程通常是先化简，再求 B【知识模块】 矩阵39 【正确答案】 由于 A 为 3 阶方阵，且 r(A)=1，故 r(A*)=0，即 A*=O，于是有X=(T)T 一 2E=T 一 2E【试题解
31、析】 本题考查矩阵秩的概念和矩阵的基本运算，解该矩阵方程主要是通过矩阵的秩化简关系式，再求 X【知识模块】 矩阵40 【正确答案】 由 ABA-1=BA-1+3E，得 A*ABA-1A=AB-1A+3A*A，而A *= A 3=8，从而，A=2，代入上式得 2B=A*B+6E，即(2E-A *)B=6E，显然 2E-A*可逆，所以【试题解析】 本题考查解矩阵方程和有关矩阵 A 与其伴随矩阵 A*的关系式，通过矩阵 A 与 A*、A -1 的关系先化简，再求 B【知识模块】 矩阵41 【正确答案】 化简矩阵方程，有 AX(A 一 B)+BX(B-A)=E，即 (A-B)X(A-B)=E，【试题解
32、析】 本题考查矩阵方程求解，用矩阵乘法对于加法的分配律进行化简【知识模块】 矩阵42 【正确答案】 由 A 可逆，方程两边左乘 A-1，得 XB=X+AB-A+A-1B即 X(B-E)=A(B-E)+A 一 B由于 B-E 也可逆，且有【试题解析】 本题考查矩阵方程求解，先利用矩阵的基本运算化简再求 X【知识模块】 矩阵43 【正确答案】 由题设，A( 1， 2， 3)=(1，2 2，3 3)，即【试题解析】 本题考查利用初等矩阵的逆矩阵和初等矩阵的作用化简计算【知识模块】 矩阵44 【正确答案】 设 r(A)=r，所以存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，使将矩阵 Q 一 1B
33、分块为 其中， B1 是 rp 矩阵，B 2 是(n-r)p矩阵，由于【试题解析】 本题考查用分块矩阵的理论证明求秩的公式【知识模块】 矩阵45 【正确答案】 由 A2=E，得(A+E)(A-E)=O ，于是 0=r(A+E)(AE)r(A+E)+r(AE)一 n,=r(A+E)+r(EA)一 nr(A+E+EA)一 n=r(2E)-n=0，故 r(A+E)+r(A-E)=n【试题解析】 本题考查求秩公式 r(AB)r(A)+r(B)一 n【知识模块】 矩阵46 【正确答案】 当 m=n 时，取 B=A 一 1，则 AB=E当 mn 时，由 r(A)=m 知 A中存在 m 个列，由它们构成的
34、m 阶子式A 10，A 经过适当的列的初等变换可使 A1 位于 A 的前，n 列，即有 n 阶可逆矩阵 P，使 AP=(A1，A 2)，其中 A1 为 m 阶可逆矩阵，令 显然 r(B)=r(A1 一 1)=m于是 B 为列满秩矩阵，且有【知识模块】 矩阵【知识模块】 矩阵47 【正确答案】 当 r(A)=n 时，A0，从而A *=A n-10，从而 r(A*)=n【试题解析】 本题考查矩阵秩的概念和伴随矩阵的概念本题的结论也是求秩的重要公式【知识模块】 矩阵48 【正确答案】 当 r(A)=n 一 1 时，A=0，所以 AA*=AE=O ，由 r(A)+r(A*)n，得 r(A*)1又由 r(A)=n 一 1 知，A 中至少有一个元素的代数余子式不等于零即 A*O，从而有 r(A*)1，故 r(A*)=1【知识模块】 矩阵49 【正确答案】 当 r(A) n 一 1 时，A 的每一个 n 一 1 阶子式都等于零，因而 A的所有元素的代数余子式均为零，即 A*=O，故 r(A*)=0【知识模块】 矩阵50 【正确答案】 若 r(B)=3，则有 r(AB)=r(A)，这与 r(AB)r(A) 矛盾，故 r(B)3同理 r(A)3于是【试题解析】 本题考查矩阵的秩的有关公式和性质【知识模块】 矩阵
