1、考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 记行列式 为 f(x)，则方程 f(x)=0 的根的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）42 行列式（A）(ad 一 bc)2（B）一 (ad 一 bc)2（C） a2d2 一 b2c2（D）b 2c2 一 a2d23 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) *=（A）kA *（B） kn 一 1A*（C） k 一 1A*（D）k 一 1A*4 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换
2、得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为5 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得一 B*（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得一 B*6 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列得 C，记 P= 则（A）C=P 一 1AP，（B） C=PAP 一 1（
3、C） C=PTAP（D）C=PAP T7 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=0，则（A）E 一 A 不可逆，E+A 不可逆（B） E 一 A 不可逆，E+A 可逆（C） E 一 A 可逆，E+A 可逆（D）E 一 A 可逆，E+A 不可逆8 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2 ，|B|=3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为9 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 PTAP=10 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵记 P1
4、= ，则 A=（A）P 1P2（B） P1 一 1P2（C） P2P1（D）P 2P1 一 111 设区域 D 由曲线 y=sinx，x= ，y=1 围成，则 (xy5 一 1)dxdy=（A）（B） 2（C）一 2（D）一 二、填空题12 设 E 为 4 阶单位矩阵，且 B=(E+A)一 1(EA)，则(E+B)一 1=_13 设 为 3 维列向量， T 是 的转置，若 T= ，则T=_14 设三阶方阵 A、B 满足 A2B 一 A 一 B=E，其中 E 为三阶单位矩阵，A=，则|B|=_ 15 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 是单位
5、矩阵，则|B|=_16 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A =(1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93)如果|A|=1，那么|B|=_ 17 设矩阵 A= E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则|B|=_18 设矩阵 A= 则 A3 的秩为_19 设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2 ，|A 一 1+B|=2，则|A+B 一 1|=_20 设 A 为 3 阶矩阵，|A|=3，A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则|BA *|=_21 设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵， |
6、A|为 A 的行列式， Aij 为 aij 的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则 |A|=_22 设矩阵 等价，则 a=_23 已知向量组 1=(1，2，一 1，1)， 2=(2，0，t，0)， 3=(0，一 4，5，一 2)的秩为 2，则 t=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 已知 且 A2 一 AB=I，其中 I 是 3 阶单位矩阵，求矩阵 B25 设(2E 一 C 一 1B)ATC 一 1，其中 E 是 4 阶单位矩阵， AT 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， 求 A26 设矩阵 矩阵 X 满足 A*X=A 一 1+2X，其中 A*是 A
7、的伴随矩阵，求矩阵 X27 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是 3 阶单位阵，求 X28 已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A 一 1B=B 一 4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵29 设矩阵 A= ，且 A3=030 设向量组 1=1，1，1，3 T， 2=一 1，一 3，5，1 T， 3=3，2，一 1，p+2T， 4=一 2，一 6，10，p T (1)p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量 =4，1， 6，10 T 用 1， 2， 3， 4 线性表出； (2)p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组考研
8、数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 计算该行列式可以有多种方法例如，为了便于降阶，先把第 1 列的(一 1)倍分别加到第 2、3、4 列，得故方程 f(x)=0 的根为 x=0 和 x=1，于是知(B)正确2 【正确答案】 B【试题解析】 按第 1 列展开，得所求行列式 D 等于=一 ad (ad 一 bc)+bc(ad 一 bc)=一(ad 一 bc)2.3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 n 阶行列式的每个元素的余子式都是一个 n 一 1 阶行列式，故|kA|的每个元素的代数余
9、子式等于|A|的对应元素的代数余子式的 kn 一 1 倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA) *的每个元素等于 A*的对应元素的 kn 一 1 倍，即(kA) *=kn 一1A*4 【正确答案】 D【试题解析】 记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2 列的 k 倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有AE(1，2)=B ，BE(3 ，2(1)=C，故有 AE(1，2)E(3，2(1)=C 于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1)= 所以只有选项(D)正确5 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法，以 2 阶方阵为例
10、，设由此可见，交换 A*的第 1 列与第 2 列得一 B*，而其它选项均不对，故只有 (C)正确记 P 为交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得初等方阵，则由题设条件有B=PA，且 |B|=一|A|，P 一 1=P由 A 可逆知 B 可逆，利用 B 一 1=|B|一 1B*，得B*=|B|一 1=一|A|(PA) 一 1=一(|A|A 一 1)一 1=一 A*P 或 A *P=一 B*因为用 P 右乘矩阵A*，等价于交换 A*的第 1 列与第 2 列，故知选项(C)正确也可利用 B*=(PA)*=A*P*，及 P*=|P|P 一 1=一 P，得 B*=一 A*P6 【正确答案】 B【
11、试题解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P，由初等变换与初等矩阵的关系，有 B=PA令矩阵 则将 E 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q，于是有 C=BQ，从而有 C=PAQ由于 P 一 1=所以，C=PAQ=PAP 一 1，只有选项(B)正确7 【正确答案】 C【试题解析】 由于(E 一 A)(E+A+A2)=E 一 A3=E，(E+A)(EA+A 2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：E 一 A 和 E+A 均是可逆的8 【正确答案】 B【试题解析】 记矩阵并记|C|的(i ，j)元素的代数余子式为 Aij(i，j=1，2，3，4)，则计算可
12、得：A 11=0，A 21=0， A31=|A|h， A 41=一 A|f，A 12=0， A 22=0， A 32=一|A| g，A 42=|A|e，A 13=|B|d， A 23=一|B|b， A33=0， A 43=0， A14=一|B|c ，A 24=|B|a， A 34=0， A 44=0于是由伴随矩阵的定义(C *的(i ，j) 元为 Aji)，得因此选(B) 9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 Q=1+2， 2， 3=1， 2， 3所以故只有选项(A) 正确10 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件有 P2AP1=I，两端左乘 P2 一 1，两端右乘 P1 一 1，得 A
13、=P2一 1P2 一 1，因 P2 一 1= P2，而 P1 一 1P1，故只有(D) 正确11 【正确答案】 B【试题解析】 已知 A(1+2， 2， 3)=(1+2， 2， 3)(A1+A2，A 2， 3)=(1+2， 2，2 3)A1=1， A2=2，A 3=23 A(1+2)=A1+A2=1+2 AQ=A(1+2， 2， 3)=(A(1+2)，A 2，A 3)=(1+2， 2 ，2 3)=(1+2， 2， 3) 两端左乘 Q 一 1，得 Q 一 1AQ=由已知 A 相似于对角矩阵 diag(1， 1，2) ，知 1+2， 2， 3 是 A 的3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1
14、，1，2 1+20(否则 1， 2 线性相关，与 1+2， 2， 3 线性无关矛盾) ，且 A(1+2)=A1+A2=1+2，因此 1+2是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量从而知 1+2， 2， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出(1+2， 2， 3)一 1A(1+2， 2， 3)=diag(1，1，2)，即 Q 一1AQ=diag(1， 1，2) 因此选(B)二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 由题设等式得 E+B=E+(E+A)一 1(E 一 A) 用(E+A)左乘上式两端，得(E+A)(E+B)=E+A+E 一
15、 A=2E13 【正确答案】 3【试题解析】 于是有a2=1， b2=1，c 2=1，从而得 T= a b c =a2+b2+c2=1+1+1=314 【正确答案】 【试题解析】 由题设方程移项得 A2B 一 B=A+E， (A2 一 E)B=A+E， (A+E)(AE)B=A+E，注意 A+E= 可逆，用(A+E) 一 1 左乘上式两端，得(A 一 E)B=E两端取行列式，得|A 一 E|B|=115 【正确答案】 【试题解析】 由于 A*A=|A| E，而|A|=3，所以 A*A=3E用矩阵 A 右乘题设方程两端，可得 3AB=6B+A，或 3(A 一 2E)B=A ，两端取行列式，得 3
16、3|A 一2E|B|=|A|，由于|A 一 2E|= 故有 27|B|=3，所以|B|=16 【正确答案】 2【试题解析】 对行列式|B|依次作等值变形(用 c1+ kcj 表示第 i 列加上第 j 列的 k 倍)c2 一 c 1，c 3 一 c 1，得 |B|=| 1|+2+3， 2+33，2 2+83| 再作等值变形 c3 一 2c 2，得 |B| =| 1+2+3， 2+33，2 3|=2|1+2+3， 2+33， 3| =2 |1+2， 2， 3|=2 |1， 2， 3|=2 |A|=217 【正确答案】 2【试题解析】 由给定矩阵方程得 BA 一 B=2E B(A 一 E)=2E 两
17、端取行列式，得 |B |A 一 E|=|2E 因 |A 一 E|= =2， |2E|= 2 2|E|=4 所以有 2 |B|=4 ，从而得|B|=218 【正确答案】 1【试题解析】 利用矩阵乘法，容易计算得 A3= 由于 A3 中非零子式的最高阶数为 1，故由矩阵的秩的定义，即知 r(A3)=119 【正确答案】 3【试题解析】 由于 A+B 一 1=(AB+E)B 一 1=A(B+A 一 1)B 一 1=A(A 一 1+B)B 一 1，两端取行列式，并利用|ABC|=|A|B|C|及|B 一 1|=|B|一 1，得 |A+B 一 1|=|A|A 一 1+B|B一 1=32 =320 【正确
18、答案】 一 27【试题解析】 由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知|B|=一 3再利用|A*|=|A|n 一 1|A|2=9， 得|BA *|=|B|A*|=一 27 记交换 3 阶单位矩阵的第 1 行与第 2行所得初等矩阵为 E12，则 B=E12A，由于 AA*=|A|E=3E，得 BA*=E12AA*=E12(3E)=3E12，注意 |E12|=一 1，所以|BA *|=|3E12|= 33|E|12=一 2721 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 A0，不妨设 a110，由已知的 Aij=一 aij(i，j=1 ，2，3)，得及 A=一(A *)T，其中 A*为 A 的伴随
19、矩阵，以下有两种方法：方法 1：用 AT 右乘 A=一(A *)T 的两端，得AA*=一(A *)AT=一(AA *)T=一(|A|I) T，其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得|A| 2=(一 1)3|A|3，或|A| 2(1+|A|)=0，因|A|0，所以|A|=一 1方法 2：从 A=一(A *)T 两端取行列式，并利用|A *|= |A|2，得|A|= ( 一 1)3 |A*|=一|A| 2，或|A| (1+|A|)=0，因|A|0，所以 |A|=一 122 【正确答案】 2【试题解析】 由 知矩阵B 的秩为 2，由于矩阵 与矩阵 B 相似，所以 A 的秩也为2，因此 A
20、 的行列式为零，由得 a=一 1，或 a=2若 a=一 1，则 A= 的秩为 1，不合题意；若a=2，则 的秩为 2，符合题意，因此 a=223 【正确答案】 3【试题解析】 以 1， 2， 3 为行作成矩阵 A，并对 A 作初等变换：由此可知当且仅当 f=3 时，矩阵 A 的秩、也即向量组 1， 2， 3 的秩等于 2由于1， 3 线性无关，故向量组 1， 2， 3 的秩为 2 当且仅当 2 可由 1， 3 线性表出，即存在常数 x1，x 2，使得 x11+x23=2，亦即 由此解得 t=3三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 由 A2 一 AB=A(A 一
21、B)=I，及|A|=一 10，知 A 一 B=A2，故 B=A 一 A 2，25 【正确答案】 给题设方程两端左乘 C，得 C(2E 一 C 一 1B)AT=E 即 (2C 一 B)AT=E 由于矩阵 可逆，故 AT=(2C 一 B) 一 1，从而 A 一 (2CB)一 1T26 【正确答案】 由题设等式得(A *一 2E)X=A 一 1，其中 E 是 3 阶单位矩阵，用矩阵 A 左乘等式两端，得(|A|E 一 2A)X=E 可见(|A|E 一 2A)可逆，从而 X=(|A|E 一 2A)一 1 由于27 【正确答案】 由题设等式得 AX (A 一 B)+BX (B 一 A)=E 即 (A 一
22、 B)X(A 一 B)=E28 【正确答案】 (1)由 2A 一 1B=B 一 4E，得 AB 一 2B 一 4A=0 从而有 (A 一 2E) (B 一 4E)=8E 或 (A 一 2E) (B 一 4E)=E 故 A 一 2E 可逆，且(A 一 2E) 一 1= (B 一4E)(2)由(*)式可得 A 一 2E =8(B 一 4E) 一 1 故 A= 2E+8(B 一 4E) 一 1 而29 【正确答案】 () 由 A3=0 两端取行列式，得|A| 3=0，从而得|A|=0，而|A|=a 3，所以 a=0()由已知的 X 一 XA 2 一 AX+AXA 2=E，得 X(E 一 A 2) 一
23、 AX (E 一 A 2)=E即 (E 一 A)X(E 一 A 2)=E 由( )知由于 E 一 A，E 一 A 2 均可逆，所以 X =(E 一 A) 一 1 (E 一 A 2)一 1一样可得(E 一 A)X(E 一 A 2)=E 所以 X =(E 一 A) 一 1(E 一 A 2)一 1=(E 一 A 2) (E 一 A) 一 1=E 一 AA2+A3一 1= E 一 A 一 A 2一 1 由( )知30 【正确答案】 对矩阵 A=1， 2， 3， 4|作初等行变换：(1)当 p2时，矩阵 1， 2， 3， 4的秩为 4，即向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，此时设 =x11+x22+x33+x44，解得 x1=2， x 2=即有 =2 1+ (2)当p=2 时，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关此时该向量组的秩为 3 1， 2， 3(或1， 3， 4)为其一个极大线性无关组
