1、考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量尼不能由 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关2 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 r
2、s 时，向量组必线性相关（D）当 rs 时，向量组必线性相关3 设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关4 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关 （B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，
3、则 A1，A 2，A s 线性相关 （D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关5 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1 一 2 2， 2 一 23， 3 一 2 1（D） 1+22， 2+23， 3+216 设 ()求满足 A2=1，A 22=1 的所有向量 2， 3；()对()中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关7 设向量组 I： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示下列命题正确的是（A）若向量组线性无关，则 r
4、s（B）若向量组线性无关，则 rs（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性无关，则 rs8 设函数 f(x， y)可微，且对任意 x，y 都有 0，则使不等式 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是（A）x 1x 2，y 1y 2（B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 29 设 A，B，C 均为力阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D）矩阵 C 的列向
5、量组与矩阵 B 的列向量组等价10 设 1， 2， 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1+k3， 2+l3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件11 设 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 4二、填空题12 设方程组 有无穷多个解，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、。13 已知向量组具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表示，求 a、b 的值14 确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(一 2，a ，4) T， 3=(一 2，a，a) T 线性表示，但向量组1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示15 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示 ()求 a 的值； ()将1， 2， 3 用
7、 1， 2， 3 线性表示16 取何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解17 已知 1=1，4，0，2 T， 2=2，7，1，3 T， 3=0，1，一 1，aT， =3，10，6，4 T，问： (1)a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3 线性表示？ (2)a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示？并写出此表示式18 设 A=T，B= T，其中 T 是 的转置，求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+19 已知 1， 2， 3， 4 是线性方程组 AX=0 的一个基础解系，若1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+4， 4=4+t1，讨论实数
8、 t 满足什么关系时，1， 2， 3， 4 也是 AX =0 的一个基础解系20 已知矩阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1= 22 一 3如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解21 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0，l 2:bx+2cy+3a=0，l 3:ax+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=022 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解23 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不
9、全为零，矩阵 B=(k 为常数) ，且 AB =0，求线性方程组 Ax=0 的通解24 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解(1)证明方程组系数矩阵 A 的秩，r(A)=2：(2)求 a，b 的值及方程组的通解25 设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a 一 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解26 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中()证明行列式|A|=(n+1)an； ()当 a 为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求 x1；()当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解27 设 ()求满足 A2=1，A 22=1 的所有向量 2， 3；()对()中的任意向量
10、2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关28 设 A= 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解( )求 ，a；() 求方程组 Ax=b 的通解29 设 A= ()计算行列式|A|；()当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解30 设 A= 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC 一CA=B，并求所有矩阵 C考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由已知，存在常数 l1，l 2，l 3，使得 1= l11+l22+l33 (*)如果 k1+2可由 1，
11、 2， 3 线性表示，则存在常数 m1，m 2，m 3，使得k1+2=m11+m22+m33 (*)将(*)式代入(*)式，可得 2=(m1 一 kl 1)1+(m2 一 kl 2)2+(m3 一 kl1)3 即 2 可由 1， 2， 3 线性表示，这与已知条件矛盾，故 k1+2 必不能由 1， 2， 3 线性表示，再根据结论(可证明或引用定理)：“若 1， 2， 3 线性无关，则向量 不能由 1， 2， 3 线性表示 1， 2， 3， 线性无关”，便可推知 1， 2， 3，k 1+2 线性无关，因此，选项(A)正确利用解 1 的(*)式，可得 1， 2， 3 k1+2=1， 2， 3 2 因
12、为 1， 2， 3 2 线性无关，且上式最右端矩阵的秩为 4，故向量组 1， 2， 3，k 1+2 线性无关，因此选项(A)正确注释 取 k=0，立即可排除选项(B)、(C)；取 k=1，则问题归结为讨论1， 2， 3， 1+2 是否线性相关的问题，而 1， 2， 3 线性无关，故问题归结为1+2 是否可由 1， 2， 3 线性表示的问题，若是，则马上推出矛盾只要对线性相关性的概念、有关性质及判别法熟悉，则本题的结论是显然的2 【正确答案】 D【试题解析】 利用下述熟知的结论：“若向量组可由线性表示，则秩()秩()”，由于秩 ()s，得秩 ()s ，当 rs 时，有秩()s r ，即( )的秩
13、小于()所含向量个数，亦即 () 线性相关3 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1 2 n，由 B0知 B 至少有一列非零，设B 的第 j 列(b 1j，b 2j，b nj)T0，则 AB 的第 j 列为 1 2 n 即 b1j1+b2j2+bnjn=0，因为常数 b1j，b 2j，b nj 不全为零，故由上式知 A 的列向量组线性相关，再由 A=0 取转置得 BTAT=0，利用已证的结果可知 BT 的列向量组即 B 的行向量组线性相关，故(A)正确设 B 按列分块为 B=1 2 p，则由 O=AB=A1 2 p=A1 A2 A p得 Aj=0，j=1，2，即矩阵 B 的每
14、一列都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量，因 B0，知 B 至少有一列非零，故方程组 Ax=0 有非零解，因此 A 的列向量组线性相关 B 的行向量组线性相关的推导同解 1注释 如果将 B 按行分块为 B= ，则 AB =0 的第 i 行为a i1 ai2 aln=ai11+ai21+alnn=0，由此及 A0也可推出 B 的行向量组线性相关本题所用的关于乘积矩阵的按列(行)表示方法是一种重要方法，在讨论矩阵的秩、线性方程组及向量的有关问题中常常用到4 【正确答案】 A【试题解析】 若 1， 2， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数k1，k 2，k s，使得 k11+k22+kss=0
15、两端左乘矩阵 A，得k1A1+k2A2+ksAs=0 因 k1，k 2，k s，不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组 A1，A 2，A s 线性相关用排除法若 A=0 为零矩阵，则组A1，A 2，A s 均为零向量，从而组 A1，A 2，A s 线性相关，于是选项(B)、 (D)均不对，若 A= ，则 1， 2 线性无关，且 A1=1 与 A2=2 线性无关，故选项 (C)也不对，所以只有选项 (A)正确5 【正确答案】 A【试题解析】 观察易知 ( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，即选项(A)中 3 个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项(A)正确6 【正确答案
16、】 A【试题解析】 由于() 可由() 线性表示，所以有 r()r()，而 r()S ，当()线性无关时，就有 r=r()r( )S，所以选项(A)正确7 【正确答案】 A【试题解析】 ()4 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i=1，2，3)，若1， 2， 4 线性无关，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是 1， 2， 3 线性相关，从而 0=|1， 2， 3|= 于是a=5此时， 1 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示考虑下列矩阵的初等行变换1， 2， 3|1， 2， 3=可见当 a5时，1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表
17、示；当 a=5 时， 1， 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，故 a=5()令矩阵 A=1， 2， 3|1， 2， 3，对 A 施行初等行变换从而， 1=21+42一 3， 2=1+22， 3=51+102 一 23注释 本题主要考查向量空间的基本知识及求线性表示式的基本运算注意，3 个线性无关的 3 维向量必可作为 3 维向量空间的基，从而可线性表示任一 3 维向量，由此立即可知题给的向量组 1， 2， 3 线性相关，于是由矩阵 1， 2， 3的秩小于 3 或行列式| 1， 2， 3|=0，便可求出 a来8 【正确答案】 C【试题解析】 对下列矩阵作初等行变换：A= 1， 2， 3=可知
18、矩阵 A 的秩最大是 2，因此，A 的列向量组 1， 3， 4 线性相关，故选项(C) 正确9 【正确答案】 B【试题解析】 因为矩阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选(B)10 【正确答案】 A【试题解析】 记向量组()： 1+k3， 2+l3；向量组()： 1， 2， 3()是由()线性表出的，写成矩阵形式即是： 1+k3， 2+3=1， 2， 3 当()线性无关时，矩阵 1， 2， 3为列
19、满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 的秩为 2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为 2，也就是该矩阵的列秩为 2，从而知向量组()线性无关，所以，()线性无关是()线性无关的必要条件但() 线性无关不是() 线性无关的充分条件，例如当 k=l=0 时，()线性无关即向量组 1， 2 线性无关，却不能保证()线性无关设有常数x1，x 2，使得 x 1(1+k2)+ x2 (1+l3)=0 即 x 1a1+x2a1+(x1k+x2l)3=0，若()线性无关，则 x1=x2=x1k+x2l=0，故由定义知()线性无关，但若()线性无关，()却未必线性无关，例如 1=(1，00) T
20、， 2=(0，1，0) T， 3=0，则()线性无关，但()却线性相关因此，() 线性无关是() 线性无关的必要非充分条件11 【正确答案】 D【试题解析】 首先，4 元齐次线性方程组 A*x=0 的基础解系所含解向量的个数为4 一 r(A*)，其中 r(A*)为 A*的秩，因此求 r(A*)是一个关键，其次，由 Ax=0 的基础解系只含 1 个向量，即 4 一 r(A)=1，得 r(A)=3，于是由 r(A*)与 r(A)的关系，知r(A*)=1，因此，方程组 A*x=0 的基础解系所含解向量的个数为 4 一 r(A*)=3，故选项(A)、(B)不对再次，由 (1，0，1，0)T 是方程组
21、Ax=0 或x11+x22+x33+x44=0 的解，知 1+3=0，故 1 与 3 线性相关，于是只有选项(D)正确二、填空题12 【正确答案】 一 2【试题解析】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换：由此可见：(1)当 a1且 a一 2 时，r(A)= =3，方程组有唯一解；(2)当 a=1 时，r(A)=1， =2，方程组无解；(3) 当 a=一 2 时，r(A)= =23，方程组有无穷多解故当且仅当 a=一 2 时方程组有无穷多解三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 1 和 2 线性无关， 3=31+22，所以向量组 1， 2， 3 线性相关，且其秩为 2
22、， 1， 2 是它的一个极大线性无关组由于向量组 1， 2， 3 与1， 2， 3 具有相同的秩，故 1， 2， 3 线性相关，从而，行列式| 1， 2， 3|=由此解得 a=3b又 3 可由 1， 2， 3 线性表示，从而可由1， 2 线性表示，所以 1， 2， 3 线性相关，于是，行列式| 1 2 3|=解之得 b=5，所以 a=15，b=5因 3 可由 1， 2， 3 线性表示，故线性方程组 有解，对其增广矩阵施行初等行变换：由非齐次线性方程组有解的充要条件知 =0，于是得 b=5又 1， 2线性无关， 3=31 +22，所以向量组 1， 2， 3 的秩为 2由题设知向量组1， 2， 3
23、 的秩也为 2，从而 =0，解之得 a=15【试题解析】 本题综合考查向量组的秩、向量组的秩与向量组线性相关性的关系、线性表示以及非齐次线性方程组有解的条件等概念注意，在解答中，几次用到了“n 个 n 维( 列) 向量 1， n 线性相关 行列式 |1 n|=0”的结论本题求向量组 1， 2， 3 的秩也可以利用矩阵 1， 2， 3的初等变换法来求14 【正确答案】 记 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，由于 1， 2， 3 不能由1， 2， 3 线性表示，故秩 r(A)3，从而|A|=一 (a 一 1)2(a+2)=0，所以 a=1 或 a=一 2当 a=1 时， 1=2=3
24、=1=(1，1，1) T，故 1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表示，但 2=(一 2，1，4) T 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以 a=1 符合题意当 a=一 2 时，由下列矩阵的初等行变换知秩 r(B)=2，秩 r(B|2)=3，所以方程组 Bx=2 无解，即 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，故 a=一 2 不符合题意，因此 a=1记 A= (1， 2， 3)，B= ( 1， 2， 3)，对矩阵(A|B)施行初等行变换：由于 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示，故 r(A)3，因此 a=1 或 a=一 2当a=1 时，由下列矩阵的初等行变换知秩r(A)=
25、1，秩 r(A|2)=2，故方程组 Ax=2 无解，所以 2 不能由 1， 2， 3 线性表示另一方面，由于|B|= 一 90，故 Bx=i(i=1，2，3)有惟一解，即 1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表示，所以 a=1 符合题意当 a=一 2 时，由下列矩阵的初等行变换 可知秩r(B)=2，秩 r(B|2)=3，故方程组 Bx=2 无解，即 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，故a=一 2 不符合题意，因此 a=1记矩阵 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)由于|B|=(a+2)(a 一 4)，故当 a一 2 且 a4 时，方程组 Bx=aj(j=1，2，3)有解，
26、即向量组1， 2， 3 可由向量组 1， 2， 3 线性表示，当 a=一 2 时，由初等行变换知 r(B)=2，而 r(B |2)一 3，故方程组 Bx=2 无解，即 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，故 a=一 2 不符合题意同理可知 a=4 不符合题意由题意知方程组Ax=j(j=1，2，3)不全有解，故必有|A|= 一(a 一 1)2(a+2)=0，所以 a=1 或 a=一 2，前已说明 a=一 2 不符合题意，所以，只有 a=1 可能符合题意当 a=1 时，由初等行变换 知r(A)=1，而 r(A|2)=2，故方程组 Ax=2 无解，即 2 不能由 1， 2， 3 线性表示综上所述，
27、可知只有 a=1 符合题意15 【正确答案】 4 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i=1，2，3)，若 1， 2， 3线性无关，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是1， 2， 3 线性相关，从而 0=|1， 2， 3|= 于是 a=5此时，1 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示考虑下列矩阵的初等行变换1， 2， 3|1， 2， 3=可见当 a5 时，1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表示；当 a=5 时， 1， 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，故 a=5( )令矩阵 A=1， 2， 3|1， 2， 3，对 A 施行初等行
28、变换从而， 1=21+42一 3， 2=1+22， 3=51+102 一 2 316 【正确答案】 原方程组的系数行列式因此，当 =1 时有 r(A)= =23，故原方程组有无穷多解，其通解为或(x 1，x 2，x 3)T=(1，一 1，0) T+k(0，1，1) T (k 为任意常数)当 = 时，对其增广矩阵作初等行变换：此时有 r(A)=2， =3，故原方程组无解17 【正确答案】 考虑线性方程组( 1， 2， 3)x=，其中 x=(x1，x 2，x 3)T，对其增广矩阵 =1， 2， 3，作初等行变换：所以(1)当 b2 时，方程组无解，此时 不能由 1， 2， 3 线性表示；(2)当
29、b=2 且a1 时， r(A)= =3，方程组有唯一解： x=(x1，x 2，x 3)T=(一 1，2，0) T，于是 可唯一表示为 =一 1+22；(3)当 b=2 且 a=1 时，r(A)= =2，方程组有无穷多个解：x=(x 1，x 2，x 3)T=k(2，1，1) T+(一 1，2， 0)T，其中 k 为任意常数，这时 可由 1， 2， 3 线性表示为 =一(2k+1) 1+(k+2)2+k3(k 为任意常数)18 【正确答案】 由题设得 又 A 2=TT=(T)T=2AA4=(A2)2=(2A)2=8A 代入原方程，得 16Ax=8Ax+16x+ 即 8(A 一 2E)x=(其中E
30、是 3 阶单位矩阵) 令 x=(x1，x 2，x 3)T，代入上式，得非齐次线性方程组解其对应的齐次方程组，得通解 = k(11，2，1)T， (k 为任意常数 )，显然，非齐次方程组有一个特解为 *=(0，0， )T 于是所求方程的解为 x=+*，即 (k 为任意常数)【试题解析】 本题综合考查矩阵的运算和非齐次线性方程组的求解注意，求方阵 A 的幂 An，可以用数学归纳法，但本题在 A=T 的连乘式中会出现“左行乘右列”而得到“数”，故这里利用矩阵乘法结合律计算 An 最易注意方阵(A 一 2E)不可逆，因此不能利用逆矩阵法由方程 8(A 一 2E)x=求出 x，这时就要用元素法，即设出
31、x=(x1，x 2，x 3)T，求解对应的非齐次方程组19 【正确答案】 由 A1=A(1+t2)=A1+tA2=0+0=0，知 1 为 Ax=0 的解，同理可知 2， 3 也都是 Ax=0 的解已知 Ax=0 的基础解系含 4 个向量，故1， 2， 3， 4 为 Ax=0 的一个基础解系，当且仅当 1， 2， 3， 4 线性无关设有一组数 x1，x 2，x 3，x 4，使得 x11+x22+x33+x44=0 即 (x 1+tx4)1+(tx1+x2)2+(tx2+x3)3+(tx3+x4)4=0，由于 1， 2， 3， 4 线性无关，故方程组(*)的系数行列式为 =1+(一 1)1+4t4
32、=1 一 t4 故当且仅当 1 一 t40，即 t1时，方程组(*)仅有零解，此时 1， 2， 3， 4 线性无关，从而可作为 Ax=0 的一个基础解系20 【正确答案】 令 ，则由 Ax=1， 2， 3， 4 得 x11+x22+x33+x44=1+2+3+4 将 1=22 一 3 代入上式，整理后得(2x 1+x2 一 3)2+(一 x1+x3)3+(x4 一 1)4=0 由 2， 3， 4 线性无关，得 解此方程组，得 其中 k 为任意常数由 2， 3， 4 线性无关和1=22 一 3+04，知矩阵 A 的秩为 3， 齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含向量个数为 4 一 3=1于是
33、由 1 一 2 2+3+04=0 即 1， 2， 3， 4 知1，一 2，1，0 T 为齐次线性方程组 Ax=0 的一个解，所以其通解为k 为任意常数再由 = 1+2+3+4=1， 2， 3， 4知1，1，1，1 T 为非齐次线性方程组 Ax= 的一个特解于是Ax= 的通解为 x=1，1， 1，1 T+k1，一 2，1，0 T，其中 k 为任意常数21 【正确答案】 必要性 设三直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则二元线性方程组有惟一解，故其系数矩阵 A= 的秩均为 2，于是有| |=0由于 =6(a+b+c)a2+ b2+ c2 一 ab 一 ac 一 bc=3(a+b+c)(a 一 b
34、)2+(b 一 c)2+(c 一 a)2及 (a 一 b)2+(b 一 c)2+(c 一 a)20(否则a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a+b+c=0充分性 若 a+b+c=0，则由必要性的证明知 3，又系数矩阵 A 中有一个二阶子式故秩(A)=2，于是有秩(A)= 秩(A)=2，因此方程组 (*)有惟一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点22 【正确答案】 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有当 a=0 时，r(A)=14，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0，由此得基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一 1
35、，0，1，0) T， 3=(一 1，0，0，1) T，于是所求方程组的通解为 x=k11+k22+k33，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数当 a0 时，可知 a=一 10 时，r(A)=34，故方程组有非零解，其用自由未知量表示的通解为x2=2x1，x 3=3x1，x 4=4x1，x 1 任意由此得基础解系为 =(1，2，3，4) T，于是所求方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数【试题解析】 当方程组有无穷多解时，要求出用基础解系表示的通解，关键是先要求出用自由未知量表示的通解，然后改写通解的形式得到所要求的通解任意选取自由未知量的一般原则是：先要选取约束未知量，设系数矩阵 Am
36、n 的秩 rn，则在系数矩阵中必存在 r 阶非零子式，与这个非零子式对应的 r 个未知量就可选作为约束未知量，相应地，其它的 n 一 r 个未知量自然就是自由未知量了，解出由自由未知量表示约束未知量的表达式，就是用自由未知量表示的通解例如，本题当a=一 10 时，由 A 化成的阶梯形矩阵 D 可知 r(A)=3D 的右下角的 3 阶子式非零，因而对应的未知量 x2，x 3，x 4 就可作为约束未知量，从而 x1 就是自由未知量，解出用自由未知量表示的通解：x 2=2x1，x 3=3x1，x 4=4x1，因自由未知量只有一个，因而就令 x1=1，即得基础解系 =(1，2，3，4) T23 【正确
37、答案】 由 AB=0 知矩阵 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解，因此 Ax=0必有非零解，要求其通解是要求出它的基础解系即可而基础解系所含向量个数等于 3 一 r(A)，所以需要先确定 A 的秩 r(A)由于 AB=0，故 r(A)+r(B)3，又由a，b，c 不全为零，可知 r(A)1当 k9 时，r(B)=2，于是 r(A)=1；当 k=9 时，r(B)=1，于是 r(A)=1 或，r(A)=2(1) 当 k9 时，因 r(A)=1，知 A=0 的基础解系含2 个向量，又由 AB=0 可得 由于 1=(1，2，3)T， 2=(3，6， k)T 线性无关， 1， 2 为 Ax=0 的一
38、个基础解系，于是 Ax=0 的通解为 x=c11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数(2)当 k=9 时，分别就 r(A)=2 和，r(A)=1进行讨论如果 r(A)=2，则 A=0 的基础解系由一个向量构成又因为 =0，所以 Ax=0 的通解为 x=c1(1，2，3) T，其中 c1 为任意常数如果 r(A)=1，则 A=0 的基础解系由两个向量构成，又因为 A 的第一行为(a，b，c)且 a，b，c 不全为零，所以 Ax=0 等价于 ax1+bx2+cx3=0不妨设 a0，则 1=(一 b，a，0) T， 2=(一c，0，a) T 是 Ax=0 的两个线性无关的解，故 Ax =0 的通
39、解为 x=c11+c22，其中c1，c 2 为任意常数24 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是该方程组的 3 个线性无关的解，则由解的性质知 1=1 一 2， 2=1 一 3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，且由 1， 2=1， 2， 3 及 1， 2， 3 线性无关，易知向量组 1， 2 线性无关，故齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系至少含 2 个向量，即 4 一 r(A)2，得 r(A)2，又显然有 r(A)2(A 中存在 2 阶非零子式 =一 1，或由 A 的前 2 行线性无关)，于是有 r(A)=2因 r(A)=2，故有 4 一 2a=0，4a+b 一 5=0 由此
40、解得 a=2，b=一 3此时由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为令 x3=k1，x 4=k2，则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 其中 k1，k 2 为任意常数25 【正确答案】 方程组()的系数矩阵 A 的行列式为(1)当|A|0，即 a1 且 a2 时，方程组()只有零解，而零解 x=(0，0，0) T 不满足方程()，故当 a1 且 a2 时， ()与()无公共解；(2)当 a=1 时，由 A 的初等行变换得方程组()的通解为 x=c(1，0，一 1)T，其中c 为任意常数显然当 a=1 时，()是(I) 的一个方程， ()的解都满足()所以，当 a=1 时，( )与()
41、的所有公共解是 x=c(1，0，一 1)T，其中 c 为任意常数；(3)当 a=2 时，由 A 的初等行变换 得()的通解为x=k(0，1，一 1)T，要使它是()的解，将其代入方程()，得 k=1，故当 a=2 时，()与() 的公共解为 x=(0，1，一 1)T26 【正确答案】 () 记 Dn=|A|，以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an当 n=1 时，D1=2a，结论成立；当 n=2 时，D 2= =3a2=(n+1)an 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立将 Dn 按第 1 行展开，得 Dn= 2aDn 一 1 一=2aDn 一 1 一 a2Dn 一 2(代入归纳假设
42、Dk=(k+1)ak，kn)= 2ana n 一 1 一 a2(n 一 1)an 一 2=(n+1)an 故|A|=(n+1)a n()当 a=0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n 一 1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 x=(0，1，0，0)T+k(1，0，0，0) T 其中 k 为任意常数【试题解析】 本题综合考查高阶行列式的计算、线性方程组解的判定及其求解方法注意当 a=0 时，方程组为：x 2=1，x 3=0，x n=0，由于系数矩阵右上角的 n一 1 阶子式非零，故选取 x2，x n 为约束未知量，而 x1 为自由未知量，令x1=0，便得 Ax=b 的一
43、个特解为 =(0，1，0，0) T，在对应齐次方程组 Ax=0中，令自由未知量 x1=1，便得 Ax=0 的基础解系为 =(1，0，0，0) T，于是由解的结构定理便得 Ax=b 的通解为 x=+k27 【正确答案】 () 设 2=(x1，x 2，x 3)T，解方程组 A2=1，由得 x1=一 x2， x3=1 一 2x2(x2 任意)令自由未知量 x2=一 c1，则得 2=，其中 c1 为任意常数设 3= (y1，y 2，y 3)T，解方程组 A23=1，由A 2， 1= 得 y2=一 y 2(y2，y 3 任意) 令自由未知量 y2=c2，y 3=c3，则得其中 c2，c 3 为任意常数(
44、 )3 个 3 维向量 1， 2， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列式D=|1， 2， 3|0而所以 1， 2， 3线性无关28 【正确答案】 () 因为 A 为方阵且方程组 Ax=b 的解不唯一，所以必有|A|=0 ，而|A|= ( 一 1)2(+1)，于是 =1 或 =一 1当 =1 时，因为 r(A)rA|b，所以Ax=b 无解( 亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知 Ax=b 无解) ，故舍去=1当 =一 1 时，对 Ax=b 的增广矩阵施以初等行变换因为 Ax=b有解，所以 a=一 2( )当 =一 1、a= 一 2 时， 所以，x 1= x3 任意，令自由未知量 x3=
45、k，则得 Ax=b 的通解为其中 k 为任意常数29 【正确答案】 () 按第 1 列展开，得|A|=1+a(一 1)4+1a3=1 一 a4()若方程组Ax= 有无穷多解，则|A|=0 由()得 a=1 或 a=一 1当 a=1 时，对增广矩阵作初等行变换： 可见r(A)r(A|)，故方程组 Ax= 无解；当 a=一 1 时，对增广矩阵作初等行变换：可见r(A)=r(A|)=34，故方程组 Ax= 有无穷多解，其通为 其中k 为任意常数30 【正确答案】 设矩阵 C= 由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相等。得 AC 一 CA=B 成立的充分必要条件是对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得当 a一 1 或 b0时，方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组(*)无解当 a=一 1 且b=0 时，方程组(*) 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为k1，k 2 为任意常数综上，当且
