1、考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )2 设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第3 行得单位矩阵。记 ，则 A=( )（A）P 1P2。（B） P11 P2。（C） P2P1。（D）P 2P11 。3 设 ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )（A） 1， 2， 3。（
2、B） 1， 2， 4。（C） 1， 3， 4。（D） 2， 3， 4。4 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1。（B） 1+2， 2+3， 3+1。（C） 1 一 22， 223， 321。（D） 1+22， 2+23， 3+21。5 设矩阵 。若集合 =1，2 ，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为( )6 矩阵 相似的充分必要条件为( )（A）a=0 ，b=2。（B） a=0，b 为任意常数。（C） a=2，b=0。（D）a=2 ，b 为任意常数。7 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x
3、=Py 下的标准形为 2y12+y22 一 y32，其中P=(e1，e 2，e 3)，若 Q=(e1，一 e3，e 2)，则 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为( )（A）2y 12y22+y32。（B） 2y12+y22 一 y32。（C） 2y12 一 y22 一 y32。（D）2y 12+y22+y32。二、填空题8 设三阶方阵 A，B 满足 A2B 一 AB=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 A=，则B=_。9 设 A，B 为三阶方阵，且A=3，B=2，A 1 B=2，则A+B 1 =_ 。10 设 A= ，E 为四阶单位矩阵，且 B=(E+A)1 (EA)则
4、(E+B)1 =_。11 设 A=(aij)是三阶非零矩阵， A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式，若aijA ij=0(i， j=1，2，3)，则A=_ 。12 设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，。若行列式2A =一 48，则 =_。13 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则 f 的正惯性指数为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设矩阵 A= 且 A3=O。14 求 a 的值；15 若矩阵 X 满足 XXA2 一 AX+AXA2=E，E 为三阶单位阵，求 X。16 确定常数 a，使向量
5、组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(一 2，a ，4) T， 3=(一 2，a，a) T 线性表示，但向量组1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示。17 设 ，A= T，B= T。其中 T 是 的转置，求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+。17 设 。18 求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量 2， 3；19 对( )中的任意向量 2， 3，证明： 1， 2， 3 线性无关。19 设 。已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解。20 求 ，a；21 求方程组 Ax=b 的通解。
6、22 设线性方程组 与方程(2)：x1+2x2+x3=a 一 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。22 设 A 为三阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3满足 A3=2+3。23 证明 1， 2， 3 线性无关；24 令 P=(1， 2， 3)，求 P1 AP。25 若矩阵 A= 相似于对角阵 ，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使P1 AP= 。25 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2， 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量，记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为三阶单位矩阵。26 验证
7、 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；27 求矩阵 B。27 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a 一 1)x32+2x1x3 一 2x2x3。28 求二次型 f 的矩阵的所有特征值；29 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值。考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，有 可见，应选D。2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件可知，矩阵 P1，P 2 正是和题中所给的初等变换对应的初等矩阵，根据初等矩阵的性
8、质，有 B=AP1 和 E=P2B，从而 E=P2(AP1)，即A=P21 P11 ，然而 P21 =P2，因此有 A=P2P11 ，因此选 D。3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1， 3， 4= =0，可知1， 3， 4 线性相关，故选 C。4 【正确答案】 A【试题解析】 因为( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，所以由向量组线性相关的定义可知 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1 线性相关。故选 A。5 【正确答案】 D【试题解析】 线性方程组有无穷多解，只需要系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且都小于 3。下面对增广矩阵进行初等行变换：(A，b)=，由 r(A)=
9、r(A，b)3，故 a=1 或 a=2，同时 d=1 或 d=2。故答案选 D。6 【正确答案】 B【试题解析】 易知 的特征值是 2，b，0，则 A= 的特征值也应该是 2，b，0 。事实上， 2EA= =一 4a2=0 a=0，将 a=0 代入可知，A 的特征值是 2，b，0。因此两个矩阵相似，且与 b 的取值是无关的。故选择 B。7 【正确答案】 A【试题解析】 方法一：由题设可知 f=xTAx=yT(PTAP)y=2y12+y22 一 y32。且QTAQ=BT(PTAP)B= 。所以 f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12y22+y32。答案选 A。方法二：由题意可知，二次型f(x
10、1，x 2，x 3)的矩阵 A 的特征值为 2，1，一 1，对应的特征向量分别为e1，e 2，e 3。由特征向量的性质可知，e 1，e 2，一 e3 仍然分别是属于特征值 2，1，一 1 的特征向量，同时 e1，e 2，一 e3 仍为单位正交向量组，故 QTAQ=diag2，一1，1。所以二次型 f(x1， x2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准形为 2y12 一 y22+y32。故选 A。二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 由 A2BAB=E 知，(A+E)(A E)B=A+E，易知矩阵 A+E 可逆，于是有(AE)B=E 。再两边取行列式，得AEB=1 ，因为A E=2，所以B
11、= 。9 【正确答案】 3【试题解析】 A+B 1 =B 1 (BA+E)=B 1(BA+A1 A)= B 1 (BA 1 )A= B1 (B+A1 )A= (B+A 1 )A = 23=3。10 【正确答案】 【试题解析】 由于 B=(E+A)1 (EA)，所以(E+B) 1 =E+(E+A)1 (EA)1 =(E+A)1 (E+A)+(E+A)1 (EA)1 =2(E+A)1 1 = (E+A)=。11 【正确答案】 一 1【试题解析】 由于 aij+Aij=0，结合伴随矩阵的定义可以得到 A*=一 AT。两边同时求行列式可得A *=A T，也即A 2=一A ，从而可以得到A =0或A=一
12、 1。 若A=0，则 AA*=AE=O，即 AAT=O。再结合 r(AAT)=r(A)，会得到 A=O，产生矛盾。 从而A=一 1。12 【正确答案】 一 1【试题解析】 由于A=23=6，2A=2 3A，则 236=一 48 =一1。13 【正确答案】 2【试题解析】 配方法得 f=x 12+2x1(x2+x3)+(x2+x3)2+3x22+x32+2x2x3(x 2+x3)2 =(x1+x2+x3)2+2x22。 因此原二次型的正惯性指数为 2。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 由题设可知 A 的特征根为 0，则 tr(A)=3a=0，故 a=0。15
13、【正确答案】 由题设可知，X(EA 2)一 AX(E 一 A2)=E，(X AX)(E 一 A2)=E，则 X=(EA)1 (EA2)1 ，即 X= 。16 【正确答案】 对矩阵 =(1， 2， 3 1， 2， 3)作初等行变换，有当 a=一 2 或 a=4 时，都有r(1， 2， 3)r( 1， 2， 3， 1， 2， 3)，此时 a1，a 2，a 3 不能由 1， 2， 3 线性表出，故 a一 2 且 a4。又因为 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表出，所以1， 2， 3 必线性相关(若 1， 2， 3 线性无关，则 i(i=1，2，3)都可由1， 2， 3 线性表出)，于是
14、1， 2， 3= 一(a+2)(a 一 1)2=0，解得 a=一 2 或a=1。综上所述，a=1。17 【正确答案】 由题设得 A=T= ，B= T=2。所以 A2=TT=(T)T=2A，A 4=8A；B 2=4，B 4=16，代入原方程 2B2A2x=A4x+B4x+ 中，得 16Ax=8Ax+16x+，即 8(A 一 2E)x=，其中 E 是三阶单位矩阵，令 x=(x1，x 2，x 3)T，代入上式，得线性非齐次方程组显然方程组的同解方程为 令自由未知量x1=k，解得 x2=2k，x 3=k 一 ，故方程组通解为 (k为任意常数)。【试题解析】 先计算出方程中的 A，B，将其代入之后再求线
15、性方程组的通解，计算时注意结合矩阵的运算法则。18 【正确答案】 解方程 A2=1， r(A)=2，故有一个自由变量，令 x3=2，由 Ax=0 解得 x2=一 1，x 1=1。求特解，令 x1=x2=0，得x3=1。故 2=(0，0，1) T+k1(1，一 1，2) T，其中 k1 为任意常数。解方程 A23=1，r(A)=1，故有两个自由变量，令 x2=0，x 3=1，由 A2x=0 得 x1=0；令 x2=一 1，x 3=0，由 A2x=0 得 x1=1，求特解 2= ，故2= ，其中 k2，k 3 为任意常数。【试题解析】 相当于求线性方程组 Ax=1，及 A2x=1 的通解；19 【
16、正确答案】 由题设可得 A1=0。设存在数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=0， (1) 等式两端左乘 A，得 k2A2+k3A3=0，即 k 21+k3A3=0， (2) 等式两端再左乘 A，得 k3A23=0，即 k31=0。 由于 10，于是 k3=0，代入(2)式，得 k21=0，故 k2=0。将 k2=k3=0 代入(1)式，可得 k1=0，从而 1， 2， 3 线性无关。【试题解析】 利用前面的结果，直接说明向量组 1， 2， 3 满秩，或是运用向量组线性无关的定义、结合前面的条件证明。20 【正确答案】 已知 Ax=b 有两个不同的解，故 r(A)= 3，因此
17、A =0，即A= =(1) 2(+1)=0，解得 =1 或 =一 1。当 =1 时，r(A)=1=2，此时， Ax=b 无解，因此 =一 1。由 r(A)= ，得 a=一 2。【试题解析】 线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解，说明 Ax=b 有无穷解，有两种思路求参数 ，a。第一种是 r(A)= 3，通过初等行变换，可以求出参数，a；第二种是由 Ax=b 有无穷解，且 A 是方阵，可以得到A =0，进而求出参数 的值，然后通过讨论 r(A)= 3 来确定参数 a 的取值。21 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，即可知原方程组等价为 写成向量的形式，即(x 1，x 2，x 3)T=k(1
18、，0，1)T+( ，0) T，因此 Ax=b 的通解为 x=k(1，0，1) T+( ，0) T，其中 k 为任意常数。【试题解析】 求方程组 Ax=b 的通解，要求出齐次 Ax=0 的基础解系和 Ax=b 的一个特解。22 【正确答案】 将方程组和方程合并，可得线性方程组对其增广矩阵作初等行变换， 显然，当 a1 且 a2 时无公共解。当 a=1 时，可求得公共解为 =k(1，0，一 1)T，k为任意常数。当 a=2 时，可求得公共解为 =(0，1，一 1)T。【试题解析】 把两个线性方程组联立，公共解就是联立之后的线性方程组的解。23 【正确答案】 方法一：假设 1， 2， 3 线性相关。
19、因为 1， 2 是属于不同特征值的特征向量，故 1， 2 线性无关，则 3 可由 1， 2 线性表出，不妨设3=l11+l22，其中 l1，l 2 不全为零。(若 l1，l 2 同时为 0，则 3=0，由 A3=2+3 可知 2=0，而特征向量都是非零向量，矛盾)由于 A1=一 1，A 2=2，则 A3=2+3=2+l11+l22。 又 A3=A(l11+l22)=一 l11+l22，那么 一l11+l22=2+l11+l22， 整理得 2l11+2=0。则 1， 2 线性相关，矛盾。所以1， 2， 3 线性无关。 方法二：设存在数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k22+k33=0，
20、(1) 用 A 左乘(1)的两边并由 A1=一 1，A 2=2 得 k 11+(k2+k3)2+k33=0， (2) (1)一(2)得 2k 11k32=0， (3) 因为 1， 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以1， 2 线性无关，从而 k1=k3=0，代入(1)得 k22=0，又由于 20，所以 k2=0，故1， 2， 3 线性无关。24 【正确答案】 记 P=(1， 2， 3)，则 P 可逆，AP=A( 1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=(一 1， 2， 2+3)25 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为E 一A= =(6)( 一 2)2 一 16=( 一 6)2(
21、+2)，故 A 的特征值为1=2=6， 3=一 2。因为 A 相似于对角矩阵 ，所以对应 1=2=6 应有两个线性无关的特征向量，即 3 一 r(6EA)=2，即 r(6EA)=1。由 6EA=，知 a=0。于是对应于 1=2=6 的两个线性无关的特征向量可取为 当 3=一 2 时，有得对应于 3=一 2 的特征向量 3=，令 P= ，则 P 可逆，且有 P1 AP= 。26 【正确答案】 B 1=(A5 一 4A3+E)1=1514131+1 =(15 一 413+1)1=一 21， 则 1 是矩阵 B 的属于一 2 的特征向量。 同理可得 B2=(25 一 423+1)2=2， B3=(3
22、5 一 433+1)3=3。 所以 B 的全部特征值为一 2，1，1。 设 B 的属于 1 的特征向量为 2=(x1，x 2，x 3)T，显然 B 为对称矩阵，根据不同特征值所对应的特征向量正交可得 1T2=0，即 x1 一 x2+x3=0。解方程组可得 B 的属于 1 的特征向量为2=k1(1，0，一 1)T+k2(1，1，0) T，其中 k1，k 2 为不全为零的任意常数。故 B 的属于一 2 的特征向量为 k 3(1，一 1，1) T，其中 k3 是不为零的常数。【试题解析】 考查的是特征值和特征向量的定义。矩阵 B 实际上是关于矩阵 A 的多项式，它们有相同的特征向量，利用 Ai=ii
23、 可以直接计算 B1，B 2，B 3，进而求出矩阵 B 的特征值。27 【正确答案】 令 P= ，由第一问可得 P1 BP= ，则 B=。【试题解析】 求出的矩阵 B 的特征向量可以得到可逆矩阵 P，以及由特征值构成的对角矩阵 A，使得 P1 BP=A，这样便可以求出 B。28 【正确答案】 二次型 f(x1，x 2，x 3)对应的实对称矩阵为=( 一 a)( 一 a)( 一 a+1)一 1一0+( 一 a)=( 一 a)( 一 a)( 一 a+1)一 2=( 一 a)2 一 2a+a 2 一 a 一 2=(一 a)( 一 a+2)( 一 a 一 1)，所以所有特征值为 1=a， 2=a 一 2， 3=a+1。【试题解析】 按照基本定义计算特征值即可；29 【正确答案】 若规范形为 y12+y22，说明有两个特征值为正，一个为 0。又因为特征值中 a 一 2 最小，所以 a 一 2=0，a=2 。【试题解析】 二次型厂的规范形为 y12+y22，说明矩阵的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0，也即矩阵的特征值中有两个为正，一个为 0。
