1、考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A3=O，则( )（A）E A 不可逆，E A 不可逆。（B） EA 不可逆，E+A 可逆。（C） EA 可逆，E+A 可逆。（D）E A 可逆，E+A 不可逆。2 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则( )（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B*。（B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*。（C）交换 A*的第 1 列
2、与第 2 列得一 B*。（D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得一 B*。3 设 A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且 P1 AP= 。若 P=(1， 2， 3)，Q=(1+2， 2， 3)，则 Q1 AQ=( )4 设向量组： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）当 rs 时，向量组必线性相关。（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组必线性相关。（D）当 rs 时，向量组必线性相关。5 设向量组， 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必
3、有( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关。（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关。（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关。（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关。6 设 1， 2， 3 均为三维向量，则对任意常数 k，l，向量组 1+k3， 2+l3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的( )（A）必要非充分条件。（B）充分非必要条件。（C）充分必要条件。（D）既非充分也非必要条件。二、填空题7 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B=_。8 设 A 为三阶矩阵，A=3，A *为 A 的伴随
4、矩阵，若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_。9 设 ， 为三维列向量， T 为 的转置，若矩阵 T 相似于 ，则T=_。10 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12 一 x22+2ax1x3+4x2x3 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设(2EC 1 B)AT=C1 ，其中 E 是四阶单位矩阵，A T 是四阶矩阵 A 的转置矩阵，求 A。11 已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，一 1，a)T， =(3，10，b，4) T，问：12 a，b 取何值时，
5、 不能由 1， 2， 3 线性表示；13 a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示，并写出此表达式。14 设 1， 2， 3， 4 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+t4， 4=4+t1，试问实数 t 满足什么关系时，1， 2， 3， 4 也为 Ax=0 的一个基础解系。15 已知四阶方阵 A=(1， 2， 3， 4)， 1， 2， 3， 4 均为四维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22 一 3。若 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解。15 设矩阵 A= ，E 为三阶单位矩阵。16 求方程组 Ax=0 的一个基础解
6、系；17 求满足 AB=E 的所有矩阵 B。17 设 。18 计算行列式A；19 当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解。20 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l 2：bx+2cy+3a=0，l 3：cx+2ay+3b=0。 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0。21 证明 n 阶矩阵 相似。22 设矩阵 A= 的特征方程有一个二重根，求 a 的值。并讨论 A 是否可相似对角化。22 设矩阵 A= 相似于矩阵 B= 。23 求 a，b 的值；24 求可逆矩阵 P，使 P1 AP 为对角阵。24 设 A 为三阶实对称矩阵
7、，A 的秩为 2，且25 求 A 的所有特征值与特征向量；26 求矩阵 A。27 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12 一 x22+ax32+2x1x28x1x3+2x2x3 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 1y12+2y22，求 a 的值及正交矩阵 Q。考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 利用单位矩阵 E，将 A3=O 变形为 EA3=E 和 A3+E=E，进一步分解为 (EA)(EAA 2)=E 一 A3=E， (EA)(EA A 2)=E+A3=E， 则 EA，
8、E+A 均可逆。2 【正确答案】 C【试题解析】 由题设，存在初等矩阵 E12(交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得)，使得 E12A=B，由于 A 可逆，可知 B 也可逆，故 B*=(E12A)*一E 12A(E 12A)1 =一 AA 1 E121 =一 A*E121 ， 即 A*E12=B *，故选 C。3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D5 【正确答案】 A【试题解析】 方法一：由题知， 1， 2， 3， 2 线性无关， 1， 2， 3， 1 线性相关，则存在 k1，k 2，k 3 使 1=k11+k22+k33，于是通过列初等变换有(1， 2， 3， k
9、1+2)( 1， 2， 3， 2)。因此 r(1， 2， 3，k 1+2)=r(1， 2， 3， 2)=4，故 1， 2， 3，k 1+2 线性无关，选 A。方法二：取k=0，由条件知向量组 1， 2， 3， 2 线性无关， 1， 2， 3， 1 线性相关，所以应该排除 B，C。取 k=1，因 1 可由 1， 2， 3 线性表出， 2 不能由 1， 2， 3线性表出，所以 1， 2， 3， 1+2 线性无关，因而可排除 D。故答案选 A。方法三：对任意常数 k，向量组 1， 2， 3，k 1+2 线性无关。用反证法，若1， 2， 3，k 1+2 线性相关，因已知 1， 2， 3 线性无关，故
10、k1+2 可由1， 2， 3 线性表出。即存在常数 1， 2， 3，使得 k1+2=11+22+33。又已知 1 可由 1， 2， 3 线性表出，即存在常数 l1，l 2，l 3，使得 1=l11+l22+l33 代入上式，得 k1+2=k(l11+l22+l33)+2=11+22+33 2=(1 一 kl1)1+(2 一 kl2)2+(3 一 kl3)3。与 2 不能由 1， 2， 3 线性表出矛盾。故向量组1， 2， 3，k 1+2 线性无关，选 A。6 【正确答案】 A【试题解析】 若向量 1， 2， 3 线性无关，则( 1+k3， 2+l3)=(1， 2， 3)=(1， 2， 3)K，
11、对任意的常数 k，l，矩阵 K 的秩都等于 2，所以向量1+k3， 2+l3 一定线性无关。而当 时，对任意的常数 k，l，向量 1+k3， 2+l3 线性无关，但 1， 2， 3 线性相关。故选择 A。二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由于 AA*=A*A=AE，且A=3，所以A *=A 2=9。由ABA*=2BA*+E 可得 ABA*一 2BA*=E，即(A 一 2E)BA*=E，则A 一2E B A*=E =1，8 【正确答案】 -27【试题解析】 BA *= BA *，其中B= 一A = 一3，A *=A 31 =9，因此BA *= 一 27。9 【正确答案】 2【试题解析】
12、因为 T 相似于 根据相似矩阵有相同的特征值，得到T 的特征值是 2，0，0，而 T 是一个常数，是矩阵 TT 的对角元素之和，则T=2+0+0=2。10 【正确答案】 一 2，2【试题解析】 由配方法可知， f(x 1，x 2，x 3)=x12 一 x22+2ax1x3+4x2x3 =(x1+ax3)2 一(x22x3)2+(4 一 a2)x32， 因二次型的负惯性指数为 1，故 4 一 a20，所以 a 的取值范围是一 2，2 。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由矩阵运算法则，将等式(2E 一 C1 B)AT=C1 两边左乘 C，得C(2EC 1 B)
13、AT=CC1 ，即(2C 一 B)AT=E。对上式两端取转置，有 A(2CTBT)=E。由可逆矩阵及逆矩阵的定义，可知矩阵 2CT 一 BT，A 均可逆，因为 A 是四阶方阵，故 A=(2CTBT)1 = 。12 【正确答案】 令 A=(1， 2， 3)，x=(x 1，x 2，x 3)T，作方程组 Ax=，并对此方程组的增广矩阵进行作初等变换：由非齐次线性方程组有解的判定定理，可得当 b2 时，线性方程组 Ax= 无解，此时 不能由 1， 2， 3线性表出。13 【正确答案】 当 b=2，a1 时，r(A)= =3，线性方程组 Ax= 有唯一解，下面求此唯一解。由以上增广矩阵变换可得线性方程组
14、 Ax= 的同解方程组为解得唯一解为 x=(一 1，2，0) T。故 能由 1， 2， 3 线性表出为 =一 1+22。当 b=2，a=1 时，r(A)= =23，线性方程组 Ax= 有无穷多解。求齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系。齐次线性方程组 Ax=0 的同解方程组为基础解系所含向量的个数为 n 一 r(A)=32=1，选 x2 为自由未知量，取 x2=1，解得基础解系为 =(一 2，1，1) T。取 x3=0，解得的一个特解为 *=(一1，2，0) T，则由非齐次线性方程组解的结构可知，方程组 Ax= 的通解为x=k+*=(一 2k 一 1，k+2，k) T，k 是任意常数。则 能由
15、 1， 2， 3 线性表出，且表示法为无穷多(常数 k 可以任意)，且 =一(2k+1) 1+(k+2)2+k3。14 【正确答案】 由题设知， 1， 2， 3， 4 均为 1， 2， 3， 4 的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以1， 2， 3， 3 均为 Ax=0 的解。下面证明 1， 2， 3， 3 线性无关。设k11+k22+k33+k44=0， (*) 把 1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+t4， 4=4+t1，代入整理得，(k 1+tk4)1+(k2+tk1)2+(k3+tk2)3+(k4+tk3)4=0，由 1， 2， 3， 4
16、 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，知 1， 2， 3， 4 线性无关，由线性无关的定义，知(*)中其系数全为零，即 其系数行列式 =1 一 t4。由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当 1 一 t40，即当 t1 日寸，上述方程组只有零解 k1=k2=k3=k4=0，从而向量组 1， 2， 3， 4 线性无关。故当 t1 时，1， 2， 3， 4 也是方程组 Ax=0 的基础解系。15 【正确答案】 令 x= ，则 Ax=(1， 2， 3， 4) =。且得x11+x22+x33+x44=1 2 3 4，将 1=22 3 代入上式，整理后得(2x 1+x23)2+(一 x1+x3)
17、3+(x41)4=0。因 2， 3， 4 线性无关，知 解此方程组得 x= ，其中 k 为任意常数。16 【正确答案】 对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：得到方程组 Ax=0 的同解方程组得到 Ax=0 的一个基础解系 1= 。【试题解析】 对系数矩阵 A 进行初等行变换，得到 Ax=0 的同解方程组，可解出基础解系；17 【正确答案】 显然 B 矩阵是一个 43 矩阵，设 B=进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为即满足AB=E 的所有矩阵为 其中 c1，c 2，c 3 为任意常数。【试题解析】 对增广矩阵(A E)进行初等行变换，可得矩阵 B 的三个列向量表达式，即得
18、矩阵 B。18 【正确答案】 =1 一 a4。【试题解析】 直接将行列式按照第一列展开。19 【正确答案】 方程组 Ax= 的增广矩阵为要使得方程组 Ax= 有无穷多解，则有 1 一 a4=0 及一 a 一 a2=0，可知 a=一 1 符合题意。此时，原线性方程组增广矩阵为 进一步化为行最简形得则基础解系为 ，非齐次方程的特解为 ，故其通解为(k 为任意常数)。【试题解析】 由题目条件知 r(A)=r(A，)4，根据该条件求出 a，再进一步求出齐次线性方程组的通解及非齐次线性方程组的特解。20 【正确答案】 必要性。设三条直线 l1，l 2，l 3 交于一点，则线性方程组有唯一解，所以系数矩阵
19、=0。又=6(a+b+c)(a2+b2+c2 一 ab 一 acbc)=3(a+b+c)(a 一 b)2+(b 一 c)2+(c 一 a)2，而根据题设 (a 一 b)2+(b 一 c)2+(c 一 a)20，故 a+b+c=0。充分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明可知， 3。由于 =2(acb2)=一 2a(a+b)+b2=一 2(a b)2 b20，故 r(A)=2。于是，r(A)= =2。因此方程组(*)有唯一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点。【试题解析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2。21 【正确答案】 设
20、 ，分别求解两个矩阵的特征值和特征向量如下：E 一 A = =(n)n1 。所以 A 的 n 个特征值为 1=n， 2=3= n=0，而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化，且 A ，E 一 B= =( 一n)n1 ，所以 B 的 n 个特征值也为 1=n， 2=3= n=0，对于 n1 重特征值 =0，由于矩阵(0E B)=一 B 的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应 n 一 1 重特征值 =0 的特征向量应该有 n 一 1 个且线性无关。矩阵 B 存在 n 个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对角化，且 B 。从而可知 n 阶矩阵相似。22 【正确答案】 A 的特征多项式为若 =2
21、 是特征方程的二重根时，有 22 一 16+18+3a=0，解得 a=一 2。当 a=一 2 时，A 的特征值为2，2，6，矩阵 2E 一 A= 的秩为 1，故 =2 对应的线性无关的特征向量有两个，因此 A 可相似对角化。若 =2 不是特征方程的二重根，则 2 一8+18+3a 为完全平方式，从而 18+3a=16，解得 a= 。当 a= 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 4EA= 秩为 2，故 =4 对应的线性无关的特征向量只有一个，因此 A 不可相似对角化。23 【正确答案】 由 AB 有 tr(A)=tr(B)，故 a 一 b=一 1，又由A =B有 2a一 b=3，解得 a=4，
22、b=5。24 【正确答案】 先求 A 的特征根，E 一 A=0，得 1=2=1， 3=5，再求 A 的特征向量，当 1=2=1 时，(EA)x=0 ，解得 x1=(2，1，0) T，x 2=(3，0，1) T，当3=5 时，(5EA)x=0，解得 x3=(1，1，1) T，令 P=(x1，x 2，x 3)= ，则 P1 AP= 。25 【正确答案】 由于 ，可设 1=(1，0，一 1)T， 2=(1，0，1) T，则 A(1， 2)=(一 1， 2)，即 A1=一 1，A 2=2，A 的特征值为 1=一 1， 2=1，对应的特征向量分别为 k11(k10)，k 22(k20)。由 r(A)=2
23、 可知，A=0，所以 3=0。根据实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交可设3=0 对应的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T，则 解得3=(0， 1，0) T，故 3=0 对应的特征向量为 k33(k30)。26 【正确答案】 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，故只需单位化，即【试题解析】 本题需要先求出 A 的特征值，再求所对应的线性无关的特征向量(1， 2， n)，构造可逆矩阵 P=(1， 2， n)，最后求出 A= 。27 【正确答案】 二次型 f 的矩阵 A= 。因为其标准形为1y12+2y22，所以A= =3(2a)=0 。解得 a=2。再由E 一A= =(+3)( 一 6)=0 解得 1=6， 2=一 3， 3=0。当 =6 时，6EA= ，对应的一个特征向量为(一 1，0，1) T；当=一 3 时，一 3E 一 A= ，对应的一个特征向量为(1，一 1，1) T；当 =0 时，0EA= ，对应的一个特征向量为(1 ，2，1) T。由于上述三个特征向量已经正交，故将其直接单位化，可得
