1、考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1999 年) 记行列式 为 f(x)则方程 f(x)=0 的根的个数为（A）1（B） 2（C） 3（D）42 (2014 年) 行列式（A）(ad-bc) 2（B） -(ad-bc)2（C） a2d2-b2c2（D）b 2c2-a2d23 (1998 年) 没 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵又 k 为常数且k01，则必有(kA) *=（A）kA *（B） kk-1A*（C） knA*（D）k -1A*4 (2004 年) 设 A 是 3 阶方阵，
2、将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为5 (2005 年) 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵B，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，则（A）交换 AA*的第 1 列与第 2 列得 BA*（B）交换 AA*的第 1 行与第 2 行得 BA*（C）交换 AA*的第 1 列与第 2 列得-BA *（D）交换 AA*的第 1 行与第 2 行得-BA *6 (2006 年) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍
3、加到第 2 列得 C，记 P= ，则（A）C=P -1AP（B） C=PAP-1.（C） C=PTAP（D）C=PAP T7 (2008 年) 设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A3=O，则（A）E-A 不可逆， E+A 不可逆（B） E-1 不可逆，E+A 可逆（C） E-A 可逆，E+A 可逆（D）E-A 可逆， E+A 不可逆8 (2009 年) 没 A，B 均为 2 阶矩阵。A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A=2，B =3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为9 (2009 年) 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵且 PTAP= 若P=(1
4、， 2， 3)，Q=( 1+2， 2， 3)，则 QTAQ 为10 (2011 年) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第2 行与第 3 行得单位矩阵记 P1= ，则 A=（A）P 1P2（B） P1-1P2（C） P2P1（D）P 2P1-111 (2012 年) 设区域 D 由曲线 y=sin，x= ，y=1 围成，则 (xy5-1)dxdy=（A）.（B） 2（C） -2（D）-12 (2017 年) 设为 3 阶矩阵P=( 1， 2， 3)为可逆矩阵，使得 P-1AP= ，则 A(1+2+3)=（A） 1+2（B） 2+23（C） 1+
5、3（D） 1+2213 (2018 年)设 A，B 为 n 阶矩阵，记 r(X)为矩阵 X 的秩，(X Y)表示分块矩阵，则（A）r(A AB)=r(A)（B） r(A BA)=r(A)（C） r(A B)=maxr(A)，r(B)（D）r(A B)=r(A TBT)14 (2002 年) 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1
6、+k2 线性相关15 (2003 年) 设向量组 ： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， a 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组必线性相关（D）当 rs 时，向量组必线性相关16 (2004 年)设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关17 (2006 年) 设 1， 2， ， s 均为 n
7、 维列向量一是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 1，A 2，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 1，A 2， ，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关则 A1，A 2， ，A s 线性无关18 (2007 年) 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1-22， 2-23， 3-21（D） 1+22， 2+23， 3+119 (2010 年) 设向量组 ： 1， 1
8、， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示下列命题正确的是（A）若向量组线性无关，则 rs.（B）若向量组线性无关，则 rs（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性无关，则 rs20 (2012 年) 设函数 f(x，y)可微且对任意 x，y 都有 ，则使不等式 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是（A）x 1x 2，y 1y 1（B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 221 (2013 年)设 A，B ，C 均为 n 阶矩阵若 AB=C，且 B 可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等
9、价。（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价22 (2014 年) 设 1， 2， 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，l，向量组1+k3， 2+k3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题23 (2000 年) 设 E 为 4 阶单位矩阵，且 B-(E+A)-1(E-A)则(E+B)-1=_24 (2003 年) 设 为 3 维列向量， T 是 的转置若 T= ，则T=_25
10、 (2003 年) 设三阶方阵 A、B 满足 A2B-A-B=E，其中 E 为三阶单位矩阵，A=，则B=_26 (2004 年) 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B=_27 (2005 年) 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A=( 1， 2， 3)，B=(1+2+3， 1+22+43， 1+32+93)如果A=1，那么B=_28 (2006 年) 设矩阵 A= ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA=B+2E，则B =_29 (2007 年) 设矩阵 A= ，则 A3 的秩为 _30 (2010 年
11、) 设 A，B 为 3 阶矩阵且A=3 ，B=2，A -1+B=2则A+B -1=_31 (2012 年) 设 A 为 3 阶矩阵， A=3 A *为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则BA *=_32 (2013 年) 设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式若 aij+Aij=0(i，j=1，2，3) 则A=_33 (2016 年) 设矩阵 等价则 a=_34 (1997 年) 已知向量组 1=(1，2，-11)， 2=(20，t，0) ， 3=(0，-4，5，-2) 的秩为 2，则 t=_.三、解答题解答应
12、写出文字说明、证明过程或演算步骤。35 (1997 年) 已知 且 A2-AB=I，其中 I 是 3 阶单位矩阵。求矩阵B36 (1998 年) 设 (2E-C-1B)AT=C-1，其中 E 是 4 阶单位矩阵A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵 求 A37 (1999 年) 设矩阵 矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵求矩阵 X38 (2001 年) 已知矩阵 且矩阵 X 满足AXA+BXB=AXB+BXA+E，其中 E 是 3 阶单位阵，求 X39 (2002 年) 已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A-1B=B-4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵(1
13、)证明：矩阵 A-2E 可逆；(2)若 B= ，求矩阵 A40 (2015 年) 设矩阵 A= ，且 A3=O()求 a 的值；()若矩阵 X 满足X-XA2-AX+AXA2=E，其中 E 为 3 阶单位矩阵求 X41 (1999 年) 设向量组 1=1，1，1，3 T， 2=-1， -3，5，1 T， 3=3，2，-1 ，p+2T， 4=-2-6，10，p T (1)p 为何值时，该向量组线性无关? 并在此时将向量=4， 1，6， 10T 用 1， 2， 3， 4 线性表出； (2)p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组42 (2000 年) 已知向量组 1=
14、 ， 2= ， 3= 与向量组1= ， 2= ， 3= 具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表示，求a、b 的值43 (2005 年) 确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a，1) T， 3=(a，1，1) T可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(-2，a，4) T， 3=(-2，a，a) T 线性表示，但向量组1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示44 (2011 年) 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a
15、) T 线性表示， ()求 a 的值； ()将1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 计算该行列式可以有多种方法例如，为了便于降阶先把第 1 列的(-1)倍分别加到第 2、3、4 列，得 f(x)= (把第 2 行的(-1)倍加到第 1 行) 故方程 f(x)=0 的根为x=0 和 x=1，于是知 (B)正确【知识模块】 行列式2 【正确答案】 B【试题解析】 按第 1 列展开，得所求行列式 D 等于=ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=
16、-(ad-bc)2.【知识模块】 行列式3 【正确答案】 B【试题解析】 由于 n 阶行列式的每个元素的余子式都是一个 n-1 阶行列式，故kA的每个元素的代数余子式等于A的对应元素的代数余子式的 k-1 倍，于是由伴随矩阵的定义知(kA) *的每个元素等于 A*的对应元素的 kn-1 倍，即(kA)*=kn-1A*【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2 列的 k 倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有AE(1，2)=B ，BE(3 ，2(1)=C故有 AE(1，2)
17、E(3，2(1)=C于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1)= 所以只有选项(D) 正确【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 方法 1：用排除法以 2 阶方阵为例，设则 由此可见，交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B *，而其它选项均不对故只有 (C)正确方法 2：记P 为交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得初等方阵则由题设条件有 B=PA，且B =-A，P -1=P由 A 可逆知 B 可逆，利用 B-1=B -1B-1得 B*=BB -1=-A(PA) -1=-(AA -1)P-1=-A*P 或 A*P=-B*因为用 P 右乘矩阵A*，等价于交换 A*
18、的第 1 列与第 2 列故知选项(C)正确【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 将单位矩阵 E 的第 2 行加到第 1 行即得初等矩阵 P由初等变换与初等矩阵的关系，有 B=PA令矩阵 则将 E 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列即得矩阵 Q。于是有 C=BQ，从而有 C=PAQ由于所以，C=PAQ=PAP -1，只有选项(B)正确【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【试题解析】 由于(E-A)(E+A+A 2)=E-A2=E，(E+A)(E-A+A 2)=E+A3=E，故由可逆矩阵的定义知：E-A 和 E+A 均是可逆的【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 B【试题解析】 方
19、法 1：记矩阵 C= ，则 C 的行列式C=(-1)4 =AB =60，因此 C 为可逆矩阵，由公式 CC*=C E，得故只有选项(B)正确方法 2：记矩阵 A=，并记C 的(i ，j)元素的代数余子式为 Aij(i，j=1 ，2，3，4)，则计算可得： A11=0， A21=0，A 31=A h，A 41=Af， A 12=0，A 22=0，A 32=-Ag，A 42=Ae， A 13=Bd， A 23=-B b，A 33=0，A 43=0 A 14=-B c，A 24=Ba，A 34=0，A 44=0于是由伴随矩阵的定义(C *的(i ，j) 元为 Aij)，得 其中 因此选(B)【知识模
20、块】 矩阵9 【正确答案】 A【试题解析】 由于 Q=1+2.2， 3=1， 2， 3 所以故只有选项(A)正确【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件有 P2AP1=I两端左乘 P-1 两端右乘 P-1，得 A=P2-1P1-1，因 P2-1=P2，而 P1-1P1故只有 (D)正确【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 B【试题解析】 方法 1：Q( 1， 2， 2， 3)=(1， 2， 3) =PM 其中，矩阵 M= ，易求出 M-1= 于是，Q -1AQ=(PM)-1A(PM)=M-1(P-1AP)M 因此选(B)方法 2：已知 A(1， 2， 3)=(1， 2，
21、 3) (A1，A 2，A 3)=(1， 2，2 3)A1=1，A 2=2，A 3=23 A(1+2)=A1+A2=1+2 AQ=A(1+2， 2， 3)=(A(1+2)，A 2，A 3)=(1+2， 2，2 3)=(1+2， 2， 3)两端左乘 Q-1，得 Q-1AQ= ，故选(B) 方法3：由已知 A 相似于对角矩阵 diag(1，1，2)，知 1， 2， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2 1+20(否则 1+2 线性相关，与1， 2， 3 线性无关矛盾)，且 A(1+2)=A1+A2=1+2，因此 1+2 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量 从而
22、知 1+2， 2， 3 是 A 的 3 个线性无关特征向量，且依次属于特征值 1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出 ( 1+2， 2， 3)-1A(1+2， 2， 3)=diag(11，2) ，即 Q-1AQ=diag(1，1，2)因此选(B)【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 B【试题解析】 方法 1：由已知的 P-1AP= A1， 2， 3=1， 2， 3 .1，A 2，A 3=0 2 25 A1=0，A 2=2，A 3=24 A(1+2+3)=A1+A2+A3=0+2+23=2+23 故只有选项(B)正确方法 2：由题设条件知方阵A 相似于对角阵 diag0， 1，2，因此 A 的
23、特征值为 01，2，而矩阵 P 的 3 个列向量依次为对应的特征向量，即有 A 1=0，A 2=2，A 3=23 从而有 A(1+2+3)=A1+A2+A3=0+2+23=2+23【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A【试题解析】 由于矩阵 AB 的列向量可以由矩阵 A 的列向量组线性表出，所以A 的列向量组的最大线性无关组是矩阵(A AB)的列向量组的最大线性无关组，而矩阵的秩也等于它的最大线性无关列向量组所含向量的个数，因此有 r(A AB)=r(A)，故选项 A 是正确的【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 A【试题解析】 由已知，存在常数 l1，l 1，l 3，使得 1=l11+l2
24、2+l33 (*)如果 k1+2可由 1， 2， 3 线性表示，则存在常数 m1，m 2，m 3，使得k1+2=m11+m22+m33 (*)将(*)式代入(*)式，可得 1=(m1-kl1)1+(m1-kl1)2+(m3-kl3)3 即 2 可由 1， 2， 3 线性表示，这与已知条件矛盾，故 k1+2 必不能由 1， 2， 3 线性表示再根据结论(可证明或引用定理)：“若 1， 2， 3 线性无关，则向量 不能由 1， 2， 3 线性表示 1， 2， 3， 线性无关”，便可推知 1， 2， 3，k 1+2 线性无关，因此，选项 (A)正确【知识模块】 向量15 【正确答案】 D【试题解析】
25、 用排除法：设 ，则可由线性表示，且rs，但 和都是线性无关的，故(A)、(C) 均不对设，则可由线性表示，且 rs，但线性无关，故(B)不对由排除法知只有(D)正确【知识模块】 向量16 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1， 2， n，由 B0 知 B 至少有一列非零，设 B 的第 j 列 b1j，b 2j，b nj)T0，则 AB 的第 j 列为 1， 2， n =0，即 b1j1+b2j2+bnjn=0，因为常数 b1j，b 2j，b nj 不全为零，故由上式知 A的列向量组线性相关再由 AB=O 取转置得 BTAT=O，利用已证的结果可知 BT 的列向量组即 B
26、的行向量组线性相关，故(A)正确【知识模块】 向量17 【正确答案】 A【试题解析】 若 1， 2， s 线性相关，则存在一组不全为零的常数是k1，k 2，k s，使得 k 11+k22+kss=0 两端左乘矩阵 A，得 k1A1+k2A2+ksAn=0 因 k1，k 2，k s 不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组 A1，A 2，A s 线性相关【知识模块】 向量18 【正确答案】 A【试题解析】 观察易知 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0 即选项(A)中 3 个向量之和为零向量故为线性相关组，从而知选项(A)正确【知识模块】 向量19 【正确答案】 A【试题解析】 由于() 可
27、由() 线性表示，所以有 r()r()，而 r()S ，当()线性无关时，就有 r=r()r( )S，所以选项(A)正确【知识模块】 向量20 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法：当 c10 时，(A)组、(B) 组都线性无关；当 c3+c40 时，(D)组线性无关因此，只有选项(C) 正确【知识模块】 向量21 【正确答案】 B【试题解析】 因为矩阵 B 可逆，所以 B 可以表示成若干个初等矩阵之积，而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干次初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价，所以选(B)
28、。【知识模块】 向量22 【正确答案】 A【试题解析】 方法 1：记向量组()： 1+k3， 2+l3；向量组()：1， 2， 3( )是由( )线性表出的，写成矩阵形式即是： 1+3， 2+l3=1， 2， 3 当( ) 线性无关时，矩阵 1， 2， 3为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵 的秩为 2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为 2，也就是该矩阵的列秩为 2，从而知向量组()线性无关，所以，( )线性无关是 ()线性无关的必要条件 但()线性无关不是( )线性无关的充分条件，例如当是 k=l=0 时，( )线性无关即向量组 1， 2 线性无关，却不能保证()线性无
29、关方法 2：设有常数 x1，x 2，使得 x1(1+k3)+x1(2+l3)=0 即x11+x22+(x1k+x2l)3=0，若()线性无关，则 x1=x2=x1k+x2l=0，故由定义知( )线性无关但若() 线性无关，() 却未必线性无关，例如 1=(1，0，0)T， 2=(0，1， 0)T， 3=0，则 ()线性无关，但()却线性相关因此，()线性无关是( )线性无关的必要非充分条件【知识模块】 向量二、填空题23 【正确答案】 【试题解析】 由题设等式得 E+B=E+(E+A)-1(E-A)用(E+A)左乘上式两端，得(E+A)(E+B)=E+A+E-A=2E 即 (E+A)(E+B)
30、=E 所以(E+B) -1=【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 3【试题解析】 设 = ，则有 T=于是有a2=1， b2=1，c 2=1，从而得 T=a b c =a2+b2+c2=1+1+1=3【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 【试题解析】 由题设方程移项得 A2B-B=A+E， (A2-E)B=A+E， (A+E)(A-E)B=A+E，注意 A+E= 可逆，用(A+E) -1 左乘上式两端，得(A-E)B=E 两端取行列式，得A-EB=1 因为A-E= =2 得 2B1， .【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 【试题解析】 由于 A*A=AE，而A=3，所以 A*A=3E用矩阵
31、A 右乘题设方程两端，可得 3AB=6B+A或 3(A-2E)B=A，两端取行列式，得 33A-2E B=A，由于A-2E= =1，故有 27B=3，所以B = .【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 2【试题解析】 解 1 利用矩阵乘法，可将 B 表示为 B=(1， 2， 3)(*)两端取行列式，得B=A =12=2解2 对行列式B依次作等值变形(用 ci+kcj 表示第 i 列加上第 j 列的志倍)c 2-c1，c 3-c1，得B= 1+2+3， 2+33，2 2+83再作等值变形 c3-2c2，得 B = 1+2+3， 2+332 3=2 1+2+3， 2+33， 3=2 1+2， 2，
32、3=2 1， 2， 3=2A=2【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 2【试题解析】 由给定矩阵方程得 BA-B=2E B(A-E)=2E 两端取行列式，得B A-E= 2E因A-E= =2，2E=2 2E=4 所以有2B =4，从而得 B =2【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 1【试题解析】 利用矩阵乘法，容易计算得 由于 A3 中非零子式的最高阶数为 1故由矩阵的秩的定义，即知 r(A3)=1【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 3【试题解析】 由于 A+B-1=(A-1+E)B-1=A(B+A-1)B-1=A(A-1+B)B-1两端取行列式。并利用ABC= A BC及B -1= B
33、-1得A+B -1=A.A -1+B.B -1 =32 =3【知识模块】 矩阵31 【正确答案】 -27【试题解析】 记交换 3 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得初等矩阵为 E12，则B=E12A，由于 AA*=A E=3E，得 BA*=E12AA*=E12(3E)=3E12，注意；E 12 =-1，所以BA *=3E 12=3 3E 12=-27【知识模块】 矩阵32 【正确答案】 -1【试题解析】 由 AO，不妨设 a110，由已知的 Aij=-aij(i，j=1，2，3)，得A =aijA1j= aij(-a1j)= a1j20，及 A=(A*)T，其中 A*为 A 的伴随矩阵以下
34、有两种方法： 方法 1：用 AT 右乘 A=-(A*)T 的两端，得 AT=-(A*)AT=-(AA*)T=-(A I)T，其中 I 为 3 阶单位矩阵，上式两端取行列式，得 A T=(-1)3A 2，或A 2(1+A)=0，因A0，所以A=-1 方法 2：从 A=-(A*)T 两端取行列式，并利用A *=A 2，得 A=(-1) 3A *=-A 2，或A(1+A)=0，因A0，所以A=-1【知识模块】 矩阵33 【正确答案】 2【试题解析】 由 B= ，知矩阵 B 的秩为 2，由于矩阵 A= 与矩阵 B 相似，所以 A 的秩也为 2，因此 A的行列式为零，由=(a-2)(a+1)=0 得 a
35、=-1，或 a=2，若 a=-1，则 A= 的秩为 1，不合题意；若 a=2，则 A= 的秩为 2，符合题意，因此 a=2【知识模块】 矩阵34 【正确答案】 3【试题解析】 方法 1：以 1， 2， 3 为行作成矩阵 A并对 A 作初等变换：由此可知当且仅当 t=3 时，矩阵 A 的秩、也即向量组 1， 2， 3 的秩等于 2方法2：令矩阵 由题设条件知 r(A)=2，故 A 中的 3阶子式全为零特别有 =4t-12=0 于是有 t=3，而且不难验证当 t=3时的确有 r(A)=2故 t=3【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。35 【正确答案】 由 A2-AB
36、=A(A-B)=I，及A=-10，知 A-B=A-1，故 B=A-A-1，又 A-1= 从而得【知识模块】 矩阵36 【正确答案】 给题设方程两端左乘 C，得 C(2E-C-1B)AT=E 即(2C-B)A T=E 由于矩阵 可逆，故 AT=(2C-B)-1，从而 A=(2C-B)-1T【知识模块】 矩阵37 【正确答案】 由题设等式得(A *-2E)X=A-1，其中 E 是 3 阶单位矩阵，用矩阵 A左乘等式两端，得 (AE-2A)X=E 可见(AE-2A)可逆，从而 X=(A E-2A) -1 由于 故【知识模块】 矩阵38 【正确答案】 由题设等式得 AX(A-B)+BX(B-A)=E
37、即(A-B)X(A-B)=E 矩阵 A-B=可逆且(A-B) -1= 故 X=(A-B)-1(A-B)-1=【知识模块】 矩阵39 【正确答案】 (1)由 2A-1B=B-4E，得 AB-2B-4A=0 从而有(A-2E)(B-4E)=8E (*)或(A-2E). (B-4E)=E 故 A-2E 可逆，且(A-2E) -1= (B-4E)(2)由(*)式可得 A-2E-8(B-4E)-1 故 A=2E+8(B-4E)-1 而所以【知识模块】 矩阵40 【正确答案】 () 由 A3=O 两端取行列式，得 A 3=0，从而得A =0，而A=a 3所以 a=0() 方法 1：由已知的 X-XA2-A
38、X+AXA2=E，得 X(E-A2)-AX(E-A2)=E 即 (E-A)X(E-A 2)=E 由()知由于 E-A，E-A 2 均可逆，所以X=(E-A)-1(E-A2)-1 方法 2：同解 1 一样可得(E-A)X(E-A 2)=E 所以 X=(E-A)-1(E-A2)-1=(E-A2)(E-A)-1=E-A-A2+A3-1=E-A-A2-1 由() 知 E-A-A2=所以 X=(E-A-A2)-1=【知识模块】 矩阵41 【正确答案】 对矩阵 A=1 2 3 4 作初等行变换：(1)当 p2时，矩阵 1 2 3 4的秩为 4，即向量组 1， 2， 3， 4 线性无关此时设=x11+x22
39、+x33+x44解得 x1=2，x 2= ，x 3=1，x 4= 即有 =21+2+3+ 1(2)当 p=2 时，向量组 1 2 3 4 线性相关此时该向量组的秩为 3 1， 2， 3(或 1， 3， 4)为其一个极大线性无关组【知识模块】 向量42 【正确答案】 1 和 2 线性无关， 3=31+22，所以向量组 1， 2， 3 线性相关，且其秩为 2， 1， 2 是它的一个极大线性无关组 由于向量组 1， 2， 3 与1， 2， 3 具有相同的秩，故 1， 2， 3 线性相关从而，行列式 1， 2， 3=0 由此解得 a=3b 又 3 可由 1， 2， 3 线性表示，从而可由1， 2 线性
40、表示，所以 1， 2， 3 线性相关于是，行列式 1， 2， 3=0 解之得 b=5，所以 a=15，b=5 【知识模块】 向量43 【正确答案】 记 A=(1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，由于 1， 2， 3 不能由1， 2， 3 线性表示，故秩 r(A)3，从而A=-(a-1) 2(a+2)=0，所以 a=1 或a=2当 a=1 时， 1=2=3=1=(1，1，1) T，故 1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表示，但 2=(-2，1， 4)T 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以 a=1 符合题意当 a=-2 时，由下列矩阵的初等行变换知秩 r(B)=2，秩 r(B
41、2)=3，所以方程组 Bx=2 无解，即 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，故 a=-2 不符合题意因此 a=1【知识模块】 向量44 【正确答案】 ()4 个 3 维向量 1， 2， 3， i 线性相关(i=1 ，2，3)，若1， 2， 3 线性无关，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示(i=1，2，3)，这与题设矛盾，于是 1， 2， 3 线性相关，从而 0= 1， 2， 3= =a-5，于是a=5此时， 1 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示 ()令矩阵 A=1， 2， 31， 2， 3，对 A 施行初等行变换从而， 1=21+42-3， 2=1+22， 3=51+102-23【知识模块】 向量
