1、考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (11)设 A=(1， 2， 3， 4)是 4 阶矩阵A *为 A 的伴随矩阵若(1，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 的一个基础解系，则 A*x=0 的基础解系可为（A） 1， 3（B） 1， 2（C） 1， 2， 3（D） 2， 3， 42 (15)设矩阵 A= ，若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为3 (05 分 )设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1， A(1+2)线性无关的充分必要
2、条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=0二、填空题4 (01)设方程组 有无穷多个解，则 a=_5 (02)矩阵 A= 的非零特征值是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 (97) 取何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解7 (98)已知 1=1，4，0，2 T， 2=2，7，1，3 T， 3=0，1，-1，aT， =3，10，6，4，问： (1)a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3 线性表示? (2)a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3 线性表示? 并写出此表示式8 (00)设 A=T，B= T，其中 T 是
3、 的转置求解方程 2B 2A2x=A4x+B4x+y9 (01)已知 1， 2， 3， 4 是线性方程组 AX=0 的一个基础解系，若1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+t1， 4=1+t1讨论实数 t 满足什么关系时，1， 2， 3， 4 也是 AX=0 的一个基础解系10 (02)已知矩阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22-3如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解11 (03)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l 2：bx+2cy+3a=0，l 3：cx+2ay+
4、3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=012 (04)设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解13 (05)已知 3 阶矩阵 A 的第一行是 (a，b，c)，a，bc 不全为零，矩阵 B=(k 为常数) ，且 AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解14 (06)已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解(1)证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；(2)求 a，b 的值及方程组的通解15 (07)设线性方程组 与方程 x1+2x2+x3=a-1 有公共解，求 a 的值及所有公共解16 (08)设 n 元线性方程组 Ax=b，其中()
5、证明行列式A=(n+1)a n；()当 a 为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求 x1；()当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解17 (09)设 ()求满足 A2=1，A 3=1 的所有向量 2， 3；()对() 中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关.18 (10)没 A= 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解( )求 ，a；() 求方程组 Ax=b 的通解19 (12)设 A= ()计算行列式A ；( )当实数 n 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解20 (13)设 A= ，当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC-CA=
6、B，并求所有矩阵 C.21 (14)设 A= ，E 为 3 阶单位矩阵 () 求方程组 Ax=0 的一个基础解系；() 求满足 AB=E 的所有矩阵 B22 (16)设矩阵 A= ，且方程组 Ax= 无解()求 a 的值；()求方程组 ATAx=AT 的通解23 (17)设 3 阶矩阵 A=(1， 2， 3)有 3 个不同的特征值，且 3=1+22， ()证明r(A)=2； ()若 =1+2+3，求方程组 Ax= 的通解24 (18)已知 a 是常数，且矩阵 A= 可经初等列变换化为矩阵 B=(1)求 a；(2)求满足 AP=B 的可逆矩阵 P25 (03)若矩阵 A= 相似于对角矩阵 A，试
7、确定常数 a 的值；并求可逆矩阵P，使 Pr-1AP=26 (04)设矩阵 A= 的特征方程有一个二重根，求 n 的值，并讨论 A 是否可相似对角化27 (06)设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1)T， 2=(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解 ()求 A 的特征值与特征向量； ()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A28 (07)设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=-2，且 1=(1，-1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证
8、1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 b考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 首先，4 元齐次线性方程组 A*x=0 的基础解系所含解向量的个数为4-r(A*)，其中 r(A*)为 A*的秩，因此求 r(A*)是一个关键其次，由 Ax=0 的基础解系只含 1 个向量，即 4-r(A)=1，得 r(A)=3，于是由 r(A*)与 r(A)的关系，知 r(A*)=1，因此，方程组 A*x=0 的基础解系所含解向量的个数为 4-r(A*)=3，故选项(
9、A)、(B)不对再次由(1 ，0，1，0) T 是方程组 Ax=0 或 x11+x22+x33+x44=0 的解，知 1+3=0，故 1 与 3 线性相关，于是只有选项 (D)正确【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a-1)(a-2)=0，即 a=1 或 a=2，此时系数矩阵的秩为2，由有解判定定理知，当且仅当 a 且 d，所以选(D)【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 由 12 及特征值的性质知 1， 2 线性无关显然，向量组1， A(1+2)=1， 1
10、1+22等价于向量组 1， 22当 20 时，它线性无关，当 2=0 时，它线性相关，故 1，A( 1+2)线性无关 20【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题4 【正确答案】 -2【试题解析】 对方程组的增广矩阵 作初等行变换：由此可见： (1)当 a1 且 a-2 时，r(A)= =3，方程组有唯一解； (2)当 a=1 时，r(A)=1， =2，方程组无解； (3) 当 a=-2 时，r(A)= =23，方程组有无穷多解故当且仅当 a=-2 时方程组有无穷多解【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 4【试题解析】 由 A 的特征方程=(-4) =2(-4)=0【知识模块】 矩阵
11、的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 原方程组的系数行列式A= =52-=(=1)(5+4)放当 1 且 时，A0，所以方程组有唯一解当 =1 时，对方程组的增广矩阵 作初等行变换：因此，当 =1 时有 r(A)= =23，故原方程组有无穷多解，其通解为(或(x 1，x 2，x 3)T=(1，-1 ，0) T+k(0，1，1) T (k 为任意常数)当 = 时，对其增广矩阵作初等行变换：此时有 r(A)=2， =3，故原方程组无解【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 考虑线性方程组( 1， 2， 3)x=，其中 x=(x1，x 2，x 3)T
12、，对其增广矩阵 =1， 2， 3，作初等行变换：所以(1)当 b2 时，方程组无解，此时 不能由 1， 2， 3 线性表示；(2)当 b=2 且 a1时，r(A)= =3，方程组有唯一解：x=(x 1，x 2， x3)T=(-1，2，0) T，于是 可唯一表示为 =-1+22；(3) 当 b=2 且 a=1 时，r(A)= =2，方程组有无穷多个解：x=(x1，x 2，x 3)T=k(-2，1，1) T+(-1，2，0) T，其中 k 为任意常数，这时 可由1， 2， 3 线性表示为 =-(2k+1)1+(k+2)2+k3(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 由题设得 A
13、= ，B=2 又 A2=TT=(T)T=2A A4=(A2)2=(2A)2=8A 代入原方程，得 16Ax=8Ax+16x+y 即 8(A-2E)x=y(其中 E 是 3阶单位矩阵)令 x=(x1， x2，x 3)T，代入上式，得非齐次线性方程组 解其对应的齐次方程组，得通解 =k(1，2，1) T，(k 为任意常数)，显然，非齐次方程组有一个特解为 *=(0，0， )T 于是所求方程的解为 x=+*，即 x= ，(k 为任意常数).【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 由 A1=A(1+t2)=A1+tA2=0+0=0，知 1 为 Ax=0 的解同理可知 2， 3 也都是 Ax=0 的解
14、已知 Ax=0 的基础解系含 4 个向量，故1， 2， 3， 4 为 Ax=0 的一个基础解系，当且仅当， 1， 2， 3， 4 线性无关 设有一组数 x1，x 2，x 3，x 4，使得 x11+x22+x23+x44=0 即 (xx 1+tx4)1+(tx1+x2)2+(x2+x3)3+(tx3+x4)4=0，由于 1， 2， 3， 4 线性无关，故方程组(*)的系数行列式为 =1+(-1)t+4t4=1-t4 故当且仅当 1-t40，即 tl 时，方程组(*)仅有零解，此时 1， 2， 3， 4 线性无关，从而可作为 Ax=0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 令
15、x= ，则由 Ax=1， 2， 3， 4 = 得x11+x22+x33+x44=1+2+3+4 将 1=22-3 代入上式，整理后得 (2x 1+x2-3)2+(-x1+x3)3+(x4-1)4=0 由 2， 3， 4 线性无关，得 解此方程组，得 x= ，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 必要性 设三直线交于一点( 0，y 0)，则x 0，y 0，1 T 为方程组 Ax=0的非零解，其中矩阵 于是有A =0，而A= =-6(a+b+c)a2+b2+c2-ab-bc-ac=-3(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2但(a-b) 2+(b-c)2+(
16、c-a)20，故得 a+b+c=0 充分性 设 a+b+c=0考虑线性方程组对其增广矩阵作初等行变换，得可知方程组(*)等价于方程组因为 =2(ac-b2) (将 c=-a-b 代入)=-2a(a+b)+b 2=-a2+b2+(a+b)20故方程组(*)有惟一解，所以方程组(*)有惟一解，即三直线 l1，l 2，l 3 交于一点【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有当 a=0 时，r(A)=14，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+x3+x4=0，由此得基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， 3=(-1，0，
17、0，1) T，于是所求方程组的通解为 x=k 11+k22+k33，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数当 a0 时，可知 a=-10 时，r(A)=34，故方程组有非零解，其用自由未知量表示的通解为 x 2=2x1，x 3=3x1，x 4=4x1，x 1 任意由此得基础解系为 =(1，2，3，4) T，于是所求方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 由 AB=O 知矩阵 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解，因此 Ax=0必有非零解，要求其通解是要求出它的基础解系即可而基础解系所含向量个数等于 3-r(A)，所以需要先确定 A 的秩 r(A
18、) 由于 AB=O，故 r(A)+r(B)3，又由a，b，c 不全为零，可知 r(A)1 当 k9 时，r(B)=2，于是 r(A)=1； 当 k=9 时，r(B)=1，于是 r(A)=1 或 r(A)=2 (1) 当 k9 时，因 r(A)=1，知 Ax=0 的基础解系含2 个向量又由 AB=O 可得 由于 1=(1，2，3)T， 2=(3，6， k)T 线性无关，故 1， 2 为 Ax=0 的一个基础解系，于是 Ax=0 的通解为 x=x 11+x22，其中 c1，c 2 为任意常数 (2) 当 k=9 时，分别就 r(A)=2 和 r(A)=1 进行讨论如果 r(A)=2，则 Ax=0
19、的基础解系由一个向量构成又因为=0，所以 Ax=0 的通解为 x=c1(1，2，3) T，其中 c1 为任意常数 如果 r(A)=1，则 Ax=0 的基础解系由两个向量构成又因为 A 的第一行为(a，b，c)且a，b，c 不全为零，所以 Ax=0 等价于 ax1+bx2+cx3=0不妨设 a0，则 1=(-b，a，0) T， 2=(-c，0，a) T 是 Ax=0 的两个线性无关的解，故 Ax=0 的通解为 x=c11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是该方程组的 3 个线性无关的解，则由解的性质知 1=1-2， 2=
20、1-3 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，且由 1， 2=1， 2， 3 及 1， 2， 3 线性无关，向量组 1， 2 线性无关故齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系至少含 2 个向量，即 4-r(A)2，得 r(A)2义显然有r(A)2(A 中存在 2 阶非零子式 =-1，或由 A 的前 2 行线性无关)，于是有r(A)=2(2)对增广矩阵 施行初等行变换：因 r(A)=2，故有 4-2a=0，4a+b-5=0 由此解得 a=2，b=-3，此时 由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为令 x3=k1，x 4=k2，则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 其中 k1，k 2
21、为任意常数【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 方法 1 方程组()的系数矩阵 A 的行列式为A =(a-1)(a-)(1)当A0，即 a1 且 a2 时，方程组() 只有零解而零解 x=(0，0，0) T 不满足方程()，故当 a1 且 a2 时，()与() 无公共解；(2)当 a=1 时，南 A 的初等行变换得方程组()的通解为 x=c(1，0，-1) T，其中 c 为任意常数显然当 a=1 时，()是()的一个方程，()的解都满足()所以，当a=1 时，()与()的所有公共解是 x=c(1，0，-1) T，其中 c 为任意常数；(3)当 a=2时，由 A 的初等行变换 得()的通解
22、为x=k(0，1，-1) T，要使它是() 的解，将其代人方程()，得 k=1，故当 a=2 时，()与() 的公共解为 x=(0，1，-1) T方法 2：将()与()联立，得线性方程组显然，方程组()的解既满足()，又满足()；反之，( )与()的公共解必满足 ()因此，要求()与()公共解，只要求方程组()的解即可对方程组 () 的增广矩阵施行初等行变换由线性方程组有解判定定理知，方程组()有解 (a-1)(a-2)=0 a=1 或 a=2(1)当 a=1时 由此得方程组()的通解、即()与()的所有公共解为x=c(1，0，-1)T，其中 c 为任意常数；(2) 当 a=2 时由此得()有
23、唯一解 x=(0，1，-1) T，故当 a=2 时，( )与()的公共解为 x=(0，1，-1) T【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 () 记 Dn=A，以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an当 n=1 时，D1=2a，结论成立；当 n=2 时，D 2= =3a2=(n+1)an 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立将 Dn 按第 1 行展开，得 Dn=2aDn-1=2aDn-1-a2Dn-2 (代入归纳假设 Dk=(k+1)(ak，kn)=2anan-1-a2(n-1)an-2=(n+1)an 故A=(b+1)a n()该方程组有唯一解 A 0 ，即 a0此时，由克莱姆法
24、则，将 Dn 第 1 列换成 b，得行列式=Dn-1=nan-1 所以， x1= ()当a=0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n-1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 x=(0，1，0，0) T+k(1，0，0，0) T 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 () 设 1=(x1，x 2，x 3)T，解方程组 A2=1，由得x1=-x2，x 3=1-2x2(x2 任意)令自由未知量 x2=-c1，则得 2=，其中 c1 为任意常数设 3=(y1，y 2，y 3)T，解方程组A23=1，由A 2， 1= 得 y1= -y2(y2， y3 任意
25、) 令自由未知量 y2=c2，y 3=c3，则得其中 c2，c 3 为任意常数()3个 3 维向量 1， 2， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列式 D= 1， 2， 30而所以 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 () 因为 A 为方阵且方程组 Ax=b 的解不唯一，所以必有A=0而A=(-1) 2(+1)，于是 =1 或 =-1当 =1 时，因为 r(A)rAb，所以 Ax=b 无解(亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知 Ax=b 无解)，故舍去 =1当 =1 时，对 Ax=b 的增广矩阵施以初等行变换因为 Ax=b 有解，所以 a=-2()当 =
26、-1、a=-2 时， 所以，x 1= +x3，x 2=，x 3 任意令自由未知量 x3=k，则得 Ax=b 的通解为 x=，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 () 按第 1 列展开，得A=1+a(-1) 4+1a3=1-a4()若方程组Ax= 有无穷多解，则A=0由( )得 a=1 或 a=-1当 a=1 时，对增广矩阵作初等行，蛮换： 可见 r(A)r(A)，故方程组 Ax= 无解；当 a=-1 时，对增广矩阵作初等行变换：可见 r(A)=r(A)=34，故方程组 Ax= 有无穷多解，其通为 ，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 设矩
27、阵 C= ，由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相等，得 AC-CA=B 成立的充分必要条件是对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得当 a-1 或 b0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩方程组(*)无解当 a=-1 且 b=0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为 x=，k 1，k 2 为任意常数综上，当且仅当 a=-1 且 b=0时，存在满足条件的矩阵 C，且 C= ，k 1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 () 对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T，选
28、取 x4 为自由未知量，则得方程组的一般解：x 1=-x4，x 2=2x4，x 3=3xx4(x4 任意)令 x4=1，则得方程组 Ax=0 的一个基础解系为 =(-1，2，3， 1)T()对矩阵A E施以初等行变换记 E=e1，e 2，e 3，则方程组 Ax=e1 的同解方程组为 ，从而得 Ax=e1 的通解为 x=k1+ ，k 1 为任意常数，同理得方程组 Ay=e2 的通解为 y=k2+ ，k 2 为任意常数，方程组 Ax=e3 的通解为 z=k3+ ，k 3 为任意常数，于是得所求矩阵为 B=x，y，z= +k1，k 2，k 3或k1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组
29、22 【正确答案】 () 对矩阵(A，) 施以初等行变换：由阶梯形矩阵可见：当 a0 且 a2 时，秩(A)=秩(A，)=3，此时方程组有唯一解；当 a=2 时，秩(A)= 秩(A ，)=2，此时方程组有无穷多解；当 a=0 时，秩(A) 秩(A，)，此时方程组无解，故只有 a=0 符合题意，得 a=0()对矩阵(A TAAT)施以初等行变换：所以方程组 ATAx=AT 的通解为【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 () 由于矩阵 A 的第 3 列可以由其前两列线性表示，即 A 的列向量组线性相关从而知 A 的秩 r(A)2；又因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 至少有 2 个不
30、为零的特征值，从而 r(A)2；故 r(A)=2()由 0=1+22-3=1， 2， 3 知 = 是方程组 Ax=0 的一个解又由 r(A)=2 知方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3-2=1，所以 = 是方程组Ax=0 的一个基础解系因为 =1+2+3=1， 2， 3 ，所以 = 是方程绢 Ax= 的一个特解，故方程组 Ax= 的通解为 x= ，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 (1)对矩阵 A 作初等行变换：由此知 A 的秩 r(A)=2；又因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以矩阵 B 的秩也为 2，对 B 作初等行变换：由此可知 r(B)=2 a
31、=2，所以 a=2(2) 由(1) 已知 a=2，对矩阵(A B)作初等行变换：设矩阵 B 按列分块为 B=(1， 2， 3)，则由上面的阶梯形矩阵知：方程组 Ax=1 的通解为 x=，k 1 为任意常数；方程组 Ax=2 的通解为 x= ，k 2 为任意常数；方程组 Ax=3 的通解为 x= ，k 3 为任意常数所以矩阵方程AX=B 的解为 由于行列式X =k 3-k2所以当 k3k2 时矩阵 x 可逆，故所求的矩阵 P=X(k3k2)【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由 A 的特征多项式 =(-6)(2-4-12)=(-6)2(+2)得 A 的特征值为 1=2=6， 3=-2因为
32、 A 只有一个重特征值6(二重 )，所以， A 可对角化 对应于特征值 6 的线性无关特征向量有 2 个 齐次方程组(6E-A)x=0 的基础解系含 2 个向量 3-秩(6E-A)=2 秩(6E-A)=1 从而由知 a=0，且由此可得对应于 1=2=6 的两个线性无关特征向量可取为 对于特征值 3=-2，由得对应的一个特征向量可取为3=(1，-2，0) T 于是 1， 2， 3 就是 3 阶方阵 A 的 3 个线性无关特征向量，令矩阵 P=1， 2， 3= 则 P 可逆，且使 P-1AP= 为对角矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 A 的特征多项式为=(-2)(2-8+
33、18+3a) (1)若 =2 是 f()的二重根，则有( 2-8+18+3a) =2=22-16+18+3a=3a+6=0，解得 a=-2当 a=-2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 2E-A=的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化(2)若 =2 不是 f()的二重根，则 2-8+18+3a 为完全平方，从而 18+3a=16，解得 a= .当 a= 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 () 由于矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以因为 A1=0，A 2=0，即 A 1=01，A 2=
34、02 故由定义知1=2=0 是 A 的二重特征值， 1， 2 为 A 的属于特征值 0 的两个线性无关特征向量；3=3 是 A 的一个特征值， 3=(1，1，1) T 为 A 的属于特征值 3 的特征向量 总之，A 的特征值为 0，0，3属于特征值 0 的全体特征向量为 k11+k22(k1，k 2 不全为零)，属于特征值 3 的全体特征向量为 k33(k30)()由实对称矩阵的性质，知 A的属于特征 1=2=0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T 与属于特征值 3=1 的特征向量3=(1， 1，1) T 正交，即 x 1+x2+x3=0 求解此齐次方程，得其基础解系即属于1=2=0 的
35、两个线性无关特征向量为 1=(-1，1，0) T， 2=(1，1，-2) T1 与 2 已经正交，故 1， 2， 3 为 A 的 3 个两两正交的特征向量，再将它们单位化，便得所求的正交矩阵可取为 且使QTAQ=diag(0，0，3)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 () 记矩阵 A 的属于特征值 i 的特征向量为 i(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 Aki=iki(i=1，2，3，k=1，2，)，于是有 B1=(A3-4A3+E)1=(15-413+1)1=21 因 10，故由定义知-2 为 B 的一个特征值且 1 为对应的一个特征向量类似可得 B2=(25
36、-423+1)2=2B3=(35-433+1)3=3 因为 A 的全部特征值为 1， 2， 3，所以 B 的全部特征值为 i5-4i3+1(i=1，2，3)，即 B 的全部特征值为-2，1，1 因-2 为 B 的单特征值故 B 的属于特征值-2 的全部特征向量为 k11，其中 k1 是不为零的任意常数 设 x=(x1，x 2，x 3)T 为 B 的属于特征值1 的任一特征向量因为 A 是实对称矩阵，所以 B 也是实对称矩阵因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(x 1，x 2，x 3)1=0，即 x 1-x2+x3=0 解得该方程组的基础解系为 2=(1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T 故 B 的属于特征值 1 的全部特征向量为 k22+k33，其中 k2，k 3 为不全为零的任意常数 ()由()知1， 2， 3 为 B 的 3 个线性无关的特征向量，令矩阵 P=1， 2， 3=则有 P-1BP= P-1= 从而有【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
