1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，A+B，A -1+B-1 皆为可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于( )（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -12 设，则 m，n 可取( ) （A）m=3 ， n=2（B） m=3，n=5（C） m=2，n=3（D）m=2 ， n=23 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A=(1， 2， m)，方
2、程组 AX=0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数4 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2=E，则-1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E+A)0，故 2=1，再由特征值之积为负得-1为 A 的特征值，选(A) 【知识模块】 线性代数部分二、填空题5 【正确答案】 k n(n-1)an-1【试题解析】 因为(kA) *=kn-1A*，且A *=A n-1，所以(kA) *= k n-1A*=k n(n-1)A n-1=kn(n-1)an-1【知识模块】 线性代数部分6 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA=2BA-8E，得 AA*BA=
3、2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A ，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E)-1=【知识模块】 线性代数部分7 【正确答案】 1， 2；【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)= 则向量组1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 线性代数部分8 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交， 因为AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1=0， 2=-1 为矩阵 A 的特征值， 1=(a，-a，1) T， 2=(a，1，1-a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1T2=a2-a
4、+1-a=0，解得a=1【知识模块】 线性代数部分9 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 A 2-2A=O r(A)+r(2E-A)=4 A 可以对角化， 1=2， 2=0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1=2， 2=0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为y12+y22【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 D 2n=a2D2n-2-b2D2n-2=(a2-b2)D2n-2=(a2-b2)n【知识模块】 线性代数部分11 【正确答案】 由(2E-C -1B)AT=C-1，得 AT=(2E-C-1B)-1C-1=C(2E-C-
5、1B)-1=(2C-B)-1【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 r(A)=r( T+T)r(T)+r(T)，而 r(T)r()=1，r( T)r()=1，所以 r(A)r(T)+r(T)2【知识模块】 线性代数部分13 【正确答案】 令 B=(1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以 r(B)=n (A1，A 2，A n)=AB，因为 r(AB)=r(A)，所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以
6、存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k 11+k22+l11+l22=0，或 k11+k22=-l11-l22 令=k11+k22=-l11-l22，因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及 l1，l 2 都不全为零，所以 0【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 令 k11+k22+l11+l22=0，A=( 1， 2， 1， 2)=所以 =k1-3k2=-k1+02【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 D= =a+(n-1)b(a-b)n-1(1)当 ab，a(1-n)b 时，方程组只有零解；(2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为
7、 x1+x2+xn=0，其通解为X=k1(-1，1， 0，0) T+k2(-1，0，1，0) T+kn-1(-1，0，0，1)T(k1，k 2， ，k n-1 为任意常数)；(3)令 A= ，当 a=(1-n)b 时，r(A)=n-1，显然(1 ，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 方程组()可写为 AX=b，方程组 ()、()可分别写为 ATY=0 及 Y=0若方程组()有解，则 r(A)=r(A b)，从而 r(AT)=r ，又因为() 的解一定为()的解，所以()与()同解；反之，若 ()
8、与()同解，则 r(AT)=r ，从而 r(A)=r(A b)，故方程组()有解【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r且 1， 2， n-r 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 0不是方程组 BX=0 的解，即 B00，显然 1， 2， n-r， 0 线性无关，若1， 2， n-r， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k n-r，k 0，使得k11+k22+kn-rn-r+k00=0， 若 k0=0，则 k11+k22+kn-rn-r=0，因为1， 2， n-r 线性
9、无关， 所以 k1=k2=kn-r=0，从而 1， 2， n-r， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可由 1， 2， n-r 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B0=0，矛盾，所以 1， 2， n-r， 0 线性无关，且为方程组 ABX=0 的解，从而 n-r(AB)n-r+1，r(AB)r-1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与ABX=0 同解【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 令 X=(X1，X 2，X 3)，B=( 1， 2， 3)，方程组 AX=B 等价于则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A B)，由 r(A)=r(A B)得 a
10、=1，b=2 ，c=-2，此时(A B) AX1=1 的通解为 X1=k1 AX2=2 的通解为 X2=k2 AX3=3 的通解为 X3=k3 则X=(X1，X 2，X 3)= ，其中 k1，k 2，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 E-A =0 1=2=1， 3=-1因为 A 相似于对角阵，所以(E-A)x=0 基础解系为 1=(0，1，0) T， 2=(1，0，1)T， (-E-A)X=0 基础解系为 3=(1，2，-1) T，令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP=diag(1，1，-1)【知识模块】 线性代数部分21 【正确答
11、案】 P -1A100P=E A100=PP-1=E【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1+2+30， 由 A(1+2+3)=2(1+2+3)，得 A 的一个特征值为 1=2； 又由 A(1-2)=-(1-2)，A( 2-3)=-(2-3)，得 A 的另一个特征值为 2=-1，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1-2 与 2-3也线性无关，所以 2=-1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，-1，-1【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 因为 1-2， 2-3 为属于二重特征值-1 的两个线性无
12、关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A) ，根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 显然 AT=A，对任意的 X0，X TAX=(PX)T(PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以 PX0，于是 XTAX=(PX)T(PX)=PX 20，即 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=XTAX 1y12+2y22+ nyn2，其中i0(i=1，2，n)，对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=QTX0，于是f=1y12+2y22+ nyn20，即对任意的 X0 有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数部分
