1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A+B = A+B（B）若 AB=0，则 A=O 或 B=O（C） A-B= A -B（D）AB=AB2 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(A+B) *=A*+B*（B） (AB)*=B*A*（C） (A-B)*=A*-B*（D）(A+B) *一定可逆3 设 则 B-1为( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P14 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相
2、关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关5 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）A TA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n6 与矩阵 A= 相似的矩阵为 ( )7 设 ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同二、填空题8 9 设 A= ，且
3、存在三阶非零矩阵 B，使得 AB=O，则a=_，b=_10 设 为非零向量，A= ， 为方程组 AX=0 的解，则 a=_，方程组的通解为_11 设 A= ， A0 且 A*的特征值为-1，-2，2，则11+22+33=_12 设 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 14 设 是 n 维单位列向量，A=E- T证明：r(A)n15 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A *)= ，其中 n216 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是17 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素
4、为 a，b，c 且不全为零，又 B= 且AB=O，求方程组 Ax=0 的通解18 18 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n19 证明 r =n：20 设 1， 2， r 与 1， 2， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1， 2， r， 1， 2， s 线性无关21 设 A= 有三个线性无关的特征向量，且 =2 为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵22 设 A= 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A201022 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1， 2， 3 为 A 的三
5、个不同的特征值，证明：23 AB=BA；24 存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP，P -1BP 同时为对角矩阵25 设 ，求 a，b 及正交矩阵 P，使得 PTAP=B26 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)0，所以A =2 ，又AA*=AE=2E，所以 A-1= A*，从而 A-1 的特征值为 ，-1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为-2，-1， 1，于是 11+22+33=-2-1+1=-2【知识模块】 线性代数部分12 【正确答案】 4【试题解析】 由E-A = =(+1)(-1)2=0 得 1=-1， 2=3=1因为A 有三个线性无关的特征向量，所
6、以 r(E-A)=1，解得 a=4【知识模块】 线性代数部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 =a1a2an-1+an(a1a2an-2+an-1Dn-2)=a1a2an-1+a1a2an-2an+anan-1Dn-2【知识模块】 线性代数部分14 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+T T，因为 为单位列向量，所以 T=1，于是 A2=A由 a(E-A)=O 得 r(A)+r(E-A)n，又由 r(A)+r(E-A)rA+(E-A)=r(E)=n，得 r(A)+r(E-A)=n因为 E-A=TO，所以 r(E-A) =r(T)=r()=1
7、，故r(A)=n-1n【知识模块】 线性代数部分15 【正确答案】 AA *=A*A=AE 当 r(A)=n 时， A0，因为A *= A n-1，所以A *0 ，从而 r(A*)=n； 当 r(A)=n-1 时，由于 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 Aij0，于是 A*O，故 r(A*)1，又因为A=0，所以 AA*=AE=O ，根据矩 阵秩的性质有 r(A)+r(A*)n，而 r(A)=n-1，于是得 r(A*)1，故 r(A*)=1； 当 r(A)*=O，故 r(A*)=0【知识模块】 线性代数部分16 【正确答案】 令 A=(1， 2， n)，A T
8、A= ，r(A)=r(ATA)，向量组 1， 2， ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(ATA)=n或A TA0，从而 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是【知识模块】 线性代数部分17 【正确答案】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1(1)当 k9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 Ax=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k=9 时，r(B)=1，1r(A)2，当 r(A)=2 时，方程组 Ax=0 的通解为 C (C 为任意常数)；
9、当 r(A)=1 时， A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，【知识模块】 线性代数部分18 【正确答案】 则()可写为BY=0，因为 1， 2， n 为( )的基础解系，因此 r(A)=n， 1， 2， n 线性无关，A 1=A2=A n=0 A(1， 2， n)= BAT=O 1T， 2T， nT 为BY=0 的一组解，而 r(B)=n， 1T， 2T， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT为 BY=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分19 【正确答案】 因为 n=r(CA+DB)=【知识模块】 线性代数部分20 【正确答案】 因为 r =n，所以方
10、程组 X=0 只有零解，从而方程组 AX=0 与BX=0 没有非零的公共解，故 1， 2， r 与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数部分21 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E-A)=1，而 2E-A ，所以 x=2，y=-2由E-A= =(-2)2(-6)=0 得 1=2=2， 3=6由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 由(6E-A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3=【知识模块】 线性代数部分22 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1=2=1，
11、3=4=-1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有于是 a=0，b=0当 =1 时，由(E-A)X=0 得 所以 P-1A2010P=E，从而 A2010=E【知识模块】 线性代数部分【知识模块】 线性代数部分23 【正确答案】 由 AB=A-B 得 A-B-AB+E=E，(E-B)(E+A)=E，即 E-B 与 E+A 互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，故 AB=BA【知识模块】 线性代数部分24 【正确答案】 因为 A 有三个不同的特征值 1， 2， 3，所以 A 可以对角化，设A 的三个线性无关的特征向量为 1， 2， 3，则有 A(
12、1， 2， 3)=(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， BA( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， AB( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，于是有 ABi=iBi，i=1，2，3 若 Bi0，则 Bi是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 Bi=ii； 若 Bi=0，则 i是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况B 都可以对角化，而且 i 是 B的特征向量，因此，令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP，P -1BP 同为对角阵【知识模块】 线性代数部分25 【正确答案】 因为 AB，所
13、以 tr(A)=tr(B)，A =B，即因为 A B，所以矩阵 A，B 的特征值都为 1=1， 2=0， 3=6当 =1 时，由(E-A)X=0，得 1= 当 =0 时，由(0E-A)X=0，得 2= 当 =6 时，由(6E-A)X=0，得 3=再令 P=(1， 2， 3)=，则有 PTAP=B【知识模块】 线性代数部分26 【正确答案】 因为 r(A)+r(B) r(A)+r(B) 有非零解，即 A，B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数部分27 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 AT=A，B T=B，从而(A+B) T=A+B，即A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T(A+B)
14、X=XTAX+XTBX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 XTAX0，X TBX0，因此 XT(A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数部分28 【正确答案】 因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以 BTAB 为对称矩阵， 设BTAB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X TBTABX=(BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0，所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数部分
