1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 中 x3 的系数为 ( )（A）2（B）一 2（C） 3（D）一 32 设 等于 ( )（A）c 一 2m（B） m（C） cm（D）c 3m3 一个值不为零的 n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值 ( )（A）保持不变（B）保持不为零（C）保持相同的正、负号（D）可以变为任何值4 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，KISt 阶行列式 1， 2， 3， 1=m ， 1， 2， 2， 3=n，则四阶行列式 3， 2， 1， 1+2等于 ( )（A）m
2、+n（B）一 (m+n)（C） n 一 m（D）m 一 n5 线性方程组 则有 ( )（A）若方程组无解，则必有系数行列式A=0（B）若方程组有解，则必有系数行列式A0（C）系数行列式A=0，则方程组必无解（D）系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件6 线性方程组 则 ( )（A）当 a， b，c 为任意实数时，方程组均有解（B）当 a=0 时，方程组无解（C）当 b=0 时，方程组无解（D）当 c=0 时，方程组无解7 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )8 设 A 是 nn 矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（
3、A）AB=OA=O（B） BTAB=OA=O（C） AX=0A=O（D）X TAX=0A=O9 设 n 维行向量 = ，矩阵 A=E 一 T，B=E+2 T，则 AB= ( )（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T二、填空题10 =_11 A= x，y，z，w，其中 a，b，c，d，x，y，z，w 是任意常数，则A=_12 设 a，b， a+b 均非 0，行列式 等于_13 已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，行列式B =2 ，则行列式 =_14 设 n 阶矩阵 A= ，则 A=_15 设 A=1， 2， 3是 3 阶矩阵，A=4 ，若 B= 1
4、一 32+23， 2 一23，2 2+3， 则B=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 计算行列式 17 计算行列式 18 计算 Dn= 19 已知 n(n3)阶实矩阵 A=(aij)nn 满足条件：(1)a ij=Aij(i，j=1，2，n)，其中 Aij是 aij 的代数余子式； (2)a110求A20 A是 n 阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值21 计算 D5= 22 计算行列式 23 设 f(x)= (0，1)，使得 f()=024 计算 Dn= ，其中 n 225 设 A 为 1010 矩阵， 计算行
5、列式A 一E，其中 E 为 10 阶单位矩阵， 为常数26 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 aij 的代数余子式，试证明： (1)aij=AijA TA=E 且A=1； (2)a ij=一 AijA TA=E 且A=一 127 设 3 阶矩阵 A 满足AE= A+E=A+2E=0 ，试计算A *+3E28 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，A0，求A+E29 设 a1，a 2，a n 是互不相同的实数，且求线性方程组 AX=b 的解30 设 B=2A 一 E，证明：B 2=E 的充分必要条件是 A2=A考
6、研数学二（线性代数）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 按第 1 行展开：其中第 1，3，4 项都没有 x3 的因子，所以只分析第 2 项又因为第 2 项一(一 x) 的行列式中只有主对角线上元素的乘积是 x2 项，所以行列式展开式含 x3 项的系数是一 2 由行列式展开定理，只有 a12A12 这一项有可能得到 x3 项，又 a12A12=一( 一 x)=x(x 一 1)(一 2x+1)=一 2x3+所以行列式中 x3项的系数就是一 2故应选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由
7、故选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 三类初等变换，都保持行列式不为零【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因 3， 2， 1， 1+2= 3， 2， 1， 1+ 3， 2， 1， 2 =一 1， 2， 3， 1 1， 2， 3， 2 =一 1， 2， 3， 1+ 1， 2， 2， 3 =n 一 m 应选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 方程组无解，则有A=0(反证，若A =0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B) 方程组有解，A可能为零，也可能不为零； (C)A=0，方程组也可能有解；(D) A0，则方程组解唯一，反过
8、来，若方程组有唯一解，则A一定不为零【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 因 a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式当 abc0 时，由克拉默法则知，方程组有解，且abc=0 时也有解，故 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因AB=AB=0 A=0 或B=0，(C)正确； 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 X，有 XTAX=0，可推出 AT=一 A,不能推出 A=O例，对任意的x 1，x 2T，均有【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(
9、E 一 T)(E+2T)=E+T 一 2TT=E+T 一 2T(T)，【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 (x 2 一 y2)(b2 一 c2)【试题解析】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 0【试题解析】 A= =0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 一 2(a2+b2)【试题解析】 将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的一 1 倍加到第 2，3 列，得到=2(a+b)(一 a2+abb2)=一 2(a3+b3)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 设 为 A 的另一特征值，则由 AB 知，A = B
10、=2 ，且123=A =2，可见 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1于是有 A+E=( 1+1)(2+1)(3+1)=12， (2B) 2=2 2B*=4 3B *=4 3B 2=256，故 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (一 1)n 一 1(n 一 1)【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 B= 1 32+23， 223，5 3 =5 1 一 32+23， 2 一 23， 3 =5 132， 2， 3 =5 1， 2， 3 =20【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
11、骤。16 【正确答案】 按第一列展开，得【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 把 Dn 按第一行展开，得 Dn=(+)Dn 一 1 一 =(+)Dn 一 1 一 Dn 一 2 把递推公式改写成 D n 一 Dn 一 1=(Dn 一 1 一 Dn 一 2)， 继续用递推关系 递推，得 D n 一 Dn一 1=(Dn 一 1 一 Dn 一 2)=2(Dn 一 2 一 Dn 一 3)= n 一 2(D2 一 D1)，而 D2=(+)2 一，D 1=+， D n 一 Dn 一 1=n 一 2(D2 一 D1)=n， 式递推得 Dn=Dn 一1+n=(Dn
12、一 2+n 一 1)+n = n+n 一 1+n 一 22+ n 一 1+n除了将式变形得式外，还可将 式改写成 Dn 一 Dn 一 1=(Dn 一 1 一 Dn 一 2) 由 式递推可得 D n 一 Dn 一 1=n， 一 得 ()D n=n+1+n+1， 一 0 时，有Dn= =n+n 一 1+ n 一 1+n【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由已知 aij=Aij，所以 A*=AT，且 AA *一 AAT=AE 两边取行列式得 AA T=A 2=AE= A n 从而 A =1 或A=0 由于a0，可知 A=a 11A11+a12A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20
13、 于是A =1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 不失一般性，设【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 按第一行展开 D5(1 一 x)D4 一 x =(1 一 x)D4+xD3，得到递推公式 D5 一 D4=一 x(D4 一 D3)=一 x3(D2 一 D1)容易推出 D5=一 x5+x4 一 x3+D2=一 x5+x4 一 x3+x2 一 x+1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 =(a2+b2+c2+d2)4故原式=(a 2+b2+c2+d2)2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 f(x)显然在0 ，1上连续，在(0，1) 上可导而可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理
14、的条件，故 (0，1)，使得 f()=0。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2，3，n 行，得当 x0 时，再把第 j 列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 Dn 化成了上三角行列式当 x=0 时，显然有Dn=0，所以总有 D n=(一 1)n 一 2(n 一 1)xn 一 2【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A 一 E 10 一 1010【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=AA*=A E 。由于 A 为行阶非零实矩阵，即不全为 0，所以 tr(AAT)= aij0而 t
15、r(AAT)=tr(A E)=nA，这说明A0。在 AAT=AE 两边取行列式，得A n 一2=1， A=1 反之，若 ATA=E 且A=1，则 A*A=AE=E 且 A 可逆，于是 ATA=A*A，A T=A*，即 aij=Aij (2)当 aij=一 Aij 时，有 AT=一 A*，则 ATA=一A*A=一AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以A =aij0在 ATA=一AE 两边取行列式得A = 一 1 反之，若ATA=E 且A=一 11，由于 A*A=AE= 一 E，于是 ATA=一 A*A进一步，由于 A 可逆，得 AT=一 A*，即 aij=一 Aij【知
16、识模块】 线性代数27 【正确答案】 由AE=A+E =A+2E=0 可知 =1，一 1，一 2 均满足特征方程A 一 E=0， 又由于 A 为 3 阶矩阵，可知 1，一 1，一 2 为 A 的 3个特征值可知A=2，因此 A*+3E=AA 一 1+3E=2A 一 1+3E 有特征值 21 一1+3=5， 2(一 1)一 1+3=1， 2(一 2)一 1+3=2， 故A *+3E=512=10【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A+E= A+AA T=A(E+A T) =A (A+E)T =AA+E (1 一A)A+E =0 A+E=0【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因 1， 2， n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，A0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 xi= ，i=1，2，n其中 Ai 是 b 代换 A 中第 i 列得的矩阵，有 A 1= A，A i=0，i=2 ，3，n故 AX=b 的唯一解为X=1，0，0，0 T【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 B= 一 2A 一 E，B 2=(2AE)(2AE)=4A2 一 4A+E 4A 24A+E=一 E4A 2 一 4A=OA 2=A【知识模块】 线性代数
