1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )（A）0（B） a2（C） -a2（D）na 22 行列式A非零的充分条件是( )（A）A 中所有元素非零（B） A 中至少有 n 个元素非零（C） A 的任意两行元素之间不成比例（D）以A为系数行列式的线性方程组有唯一解3 假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量线性无关（C）任意 r 个行向量都构成极大线
2、性无关向量组（D）任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示4 设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )（A）A=B（B） AB （C）若 A=0 ，则一定有B=0（D）若A0，则一定有B05 设向量组() ： 1， 2， ， r 可由向量组()： 1， 2， r 线性表示，则( )（A）若 1， 2， r 线性无关，则 rs（B）若 1， 2， r 线性相关，则 rs（C）若 1， 2， r 线性无关，则 rs（D）若 1， 2， r 肛线性相关，则 rs6 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 AB=E，则
3、( )（A）B 的行向量组线性无关（B） B 的列向量组线性无关（C） A-1=B（D）AB=AB 7 非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为优，系数矩阵 A 的秩为r，则( )（A）r=m 时，方程组 AX=b 有解（B） r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 AX=b 有无穷多解8 设 A 为 mn 矩阵且 r(A)=n(nm)，则下列结论中正确的是( )（A）若 AB=AC，则 A=C（B）若 BA=CA，则 B=C（C） A 的任意 n 个行向量线性无关（D）A 的任意 n 个行向量线性相关9 设
4、 1， 2， 3 是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成( )（A） 1， 2， 3 的一个等价向量组（B） 1， 2， 3 的一个等秩向量组（C） 1， 1+2， 1+2+3（D） 1-2， 2-3， 3-1二、填空题10 设 n 阶矩阵 A= ，则A=_11 =_12 设 A，B 均为 n 阶方阵，A=2，B=-3 ，则A -1B*-A*B-1=_13 设三阶方阵 A=A1，A 2，A 3，其中 Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A=-2，则行列式-A 1-2A2，2A 2+3A3，-3A 3+2A1=_14 设 A 是三阶方阵，且A-E= IA+2E
5、= 2A+3E=0，则2A *-3E=_15 设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B-1A=_16 设 A 为 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= ，则 r(AB)=_17 向量组 1=0，4，2-k， 2=2，3-k，1， 3=1-k，2，3线性相关，则实数k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A= ，求：(1)2A 11+A12-A13；(2)A 11+4A21+A31+2A4119 设 A 为三阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，A=13，求4A-(3A *)-120 A 是三阶矩阵，三维列向量组 1
6、， 2， 3 线性无关，满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2，求A21 设 A=，其中 A 可逆，求 B-122 设 A，B 为三阶矩阵，满足 AB+E=A2+B，E 为三阶单位矩阵，又知 A=求矩阵 B23 已知 B= ，AP=PB，求 A 与 A524 设矩阵 A= 满足 A-1(E-BBTA-1)-1C-1=E，求C25 解方程26 设向量组() ： 1， 2， 3；()： 1， 2， 3 的秩分别为()=2，秩()=3证明向量组 1， 2， 3+4 的秩等于 327 已知线性方程组 问 k1 和 k2 各取何值时，方程组无解?有唯一解 ?有无穷多组解 ?在方程组有无穷多组解
7、时，试求出一般解27 设向量组 1= 试问：当 a，b，c 满足什么条件时28 可由 1， 2， 3 线性表出，且表示唯一；29 不能由 1， 2， 3 线性表出；30 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一，并求出一般表达式30 设线性方程组31 求线性方程组() 的通解；32 m，n 取何值时，方程组()与() 有公共非零解；33 m，n 取何值时，方程组()与() 同解考研数学二（线性代数）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设第一列元素及余子式都是 a，则D=a11A11+a21A21+a2
8、n,1A2n,1=a2-a3+-a2=0，应选 (A)2 【正确答案】 D【试题解析】 A0 的充要条件是 r(A)=n，r(A)=n 的充要条件是 AX=b 有唯一解，应选(D) 3 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由 r(A)=r得 A 一定有 r 个行向量线性无关，应选(A) 4 【正确答案】 C【试题解析】 因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若A =0，即 r(A)n ，则r(B)n，即B=0，应选(C)5 【正确答案】 A【试题解析】 因为() 可由() ，所以()的秩( )的秩，所以若 1， 2， r线性无关，即() 的秩=r ，则 r
9、()的秩s，应选 (A)6 【正确答案】 B【试题解析】 由 AB=E 得 r(AB)=n，从而 r(A)n，r(B)n，又 r(A)n，r(B)n ，所以 r(A)=n，r(B)=n，故 B 的列向量组线性无关，应选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 r(A)， 当 r=m 时，r(A)r(A)=m； 又=r(A)=m，故 AX=b 有解，应选(A)8 【正确答案】 B【试题解析】 由 BA=CA 得(B-C)A=O，则 r(A)+r(B-C)n，由 r(A)=n 得 r(B-C)=0，故 B=C，应选(B)9 【正确答案】 A【试题解析】 (B)显然不对，因为与 1， 2， 3 等秩的
10、向量组不一定是方程组的解；因为 1+(1+2)-(1+2+3)=0，所以 1， 1+2， 1+2+3 线性相关，不选(C)； 由(1-2)+(2-3)+(3-1)=0，所以 1-2， 2-3， 3-1 线性相关，不选(D) ，应选(A)二、填空题10 【正确答案】 (n-1)(-1) n-1【试题解析】 11 【正确答案】 0【试题解析】 =(-a)A12+bA13=aM12+bM13=-abc+abc=012 【正确答案】 【试题解析】 A *=AA -1=2A-1，B *=B B -1=-3B-1，则A -1B*-A*B-1=-3A -1B-1-2A-1B-1=(-5) nA -1.B -
11、1=13 【正确答案】 12【试题解析】 由(-A 1-2A2，2A 2+3A3，-3A 3+2A1)=(A1，A 2，A 3)得-A 1-2A2，2A 2+3A3，-3A 3+2A1= A 1，A 2，A 3.=1214 【正确答案】 126【试题解析】 由A-E=A+2E= 2A+3E=0 得E-A=0，-2E-A=0， E-A=0 ，矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=-2， 3= A =3 ，A *的特征值为 2A*-3E 的特征值为 3，-6，-7，故2A *-3E=12615 【正确答案】 【试题解析】 由 B=A =AE3(3)E13 得16 【正确答案】 2【试题解析】 因为B
12、= =120，所以 B 可逆，于是 r(AB)=r(A)=217 【正确答案】 6【试题解析】 由 =0 得 k=6三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 2A 11+A12-A13=2A11+A12-A13+0A14= =0；A 11+4A21+A31+2A4119 【正确答案】 由 A*= AA -1= 得4A-(3A *)-1=4A-A=3A=27A=920 【正确答案】 令 B=(1， 2， 3)，由 A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 得 AB=，两边取行列式得A.B=B . =2B，因为1， 2， 3 线性无关，所以 B 可逆，故A=221
13、【正确答案】 由初等变换的性质得 22 【正确答案】 由 AB+E=A2+B 得 (A-E)B=A 2-E，A-E= ，因为A-E0，所以 A-E 可逆，从而 B=A+E=23 【正确答案】 由 AP=PB 得 A=PBP-1，由24 【正确答案】 由 A-1(E-BBTA-1)-1C-1=E 得 C(E-BB TA-1)A=E，即 C(A-BBT)=E，解得 C=(A-BB T)-125 【正确答案】 令 X=(X1，X 2)，26 【正确答案】 由向量组()的秩为 3 得 1， 2， 4 线性无关，从而 1， 2 线性无关，由向量组() 的秩为 2 得 1， 2， 3 线性相关， 从而 3
14、 可由 a1，a 2 线性表示，令 3=k11+k22 ( 1， 2， 3+4)=(1， 2，k 11+k22+4)=(1， 2， 4)故 r(1， 2， 3+4)=r(1， 2， 4)=327 【正确答案】 (1)当 k12时，方程组有唯一解；(2)当 k1=2 时，情形一：k 21 时，方程组无解；情形二：k 2=1 时，方程组有无数个解，原方程组通解为 X=(k 为任意常数)28 【正确答案】 =-(a+4)当 a-4 时， 可由 1， 2， 3 唯一线性表示当 a=-4 时，29 【正确答案】 当 c=3b+1=0 时， 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示方法不唯一，由则 = +k2+(2b+1)3(其中 k 为任意常数)30 【正确答案】 当 c-3b+10 时， 不可由 1， 2， 3 线性表示31 【正确答案】 令 A= 由 A=方程组()的通解为 X=32 【正确答案】 当m=-2 或 n=3 时，两个方程组有公共的非零解33 【正确答案】 当 m=-2，n=3 时，两个方程组同解
