1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s 中任意一个向量均不能由其余 s-1 个向量线性表示（D） 1， 2， s 中有一部分向量线性无关2 设矩阵 Amm，r(A)=mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是( )（A）A 通过初等行变换必可化为E m，O的形式（B） A 的任意 m 阶子式不等于零（C） A 的任意 m 个列向量必线性无关（D）非齐
2、次线性方程组 AX=b 一定有无穷多解3 设 A= ，若齐次方程组 AX=0 的任一非零解均可用口线性表示，则 a=( )（A）3（B） 5（C） 3 或-5（D）5 或-34 设 1= 都是线性方程组 AX=0 的解向量，只要系数矩阵 A 为( )5 设 A= ，则( )不是 A 的特征向量（A）(-1，1 ，-1) T（B） (1，2，0) T（C） (0，1，1) T（D）(2 ，4，-1) T6 下列矩阵中，不能相似对角化的是( )7 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） A 与 B 有相同的秩（C） A 与 B 有相
3、同的特征向量（D）A 与 B 有相同的行列式8 设 A= ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似二、填空题9 设三阶矩阵 A= ，三维列向量 =(a，1，1) T已知 A 与 线性相关，则 a=_10 设向量组 1= 线性无关，则 a，b，c 必满足关系式_11 若线性方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 应满足条件_12 若矩阵 A= ，B 是三阶非零矩阵，满足 AB=O，则 t=_13 设三阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式2A =-48，则 =_14 矩阵 的非零特征值是 a315 已知 A= 有三个线性无关的特
4、征向量，则 a=_16 若 相似，则 x=_，y=_17 已知矩阵 A= 只有两个线性无关的特征向量，则 A 的三个特征值是_，a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设四元齐次线性方程组()为 且已知另一个四元齐次线性方程组() 的一个基础解系为 1=(2，-1，a+2，1) T，=(-1，2，4，a+8) T18 求方程组() 的一个基础解系；19 当 a 为何值时，方程组() 与方程组()有非零公共解?20 已知 0 是 A= 的特征值，求 a 和 A 的其他特征值及线性无关的特征向量21 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，2，3，若 A 与 B 相似，求B *+
5、E22 已知二次型 (a 0)，通过正交变换化成标准形求参数 a 及所用的正交变换矩阵23 设 a 是整数，若矩阵 A= 的伴随矩阵 A*的特征值是 4，-14，-14求正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角形24 n 阶矩阵 A 满足 A2-2A-3E=O，证明 A 能相似对角化25 设 A= ，已知 A 有三个线性无关的特征向量且 =2 为矩阵 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵25 已知 A=26 t 取何值时，A 为正定矩阵?为什么?27 t 取何值时，A 与 B 等价?为什么?28 t 取何值时，A 与 C 相似?为什么?29 t 取何值时，A 与 D 合同?
6、为什么?30 考虑二次型 ，问 取何值时，f为正定二次型?30 设 A 为三阶实对称矩阵，且满足条件 A2+2A=O已知 r(A)=231 求 A 的全部特征值；32 当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵33 求二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩，正负性指数 p，q考研数学二（线性代数）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 若 1， 2， s 线性无关，则 1， 2， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示；反之，若
7、 1， 2， s 中任一个向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 线性无关，应选(C)2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 r(A)=m，因为 为 m(n+1)矩阵，所以 m，于是=r(A)=mn，故 AX=b 一定有无数个解，应选(D)3 【正确答案】 A 【试题解析】 因为 AX=0 的任一非零解都可由口线性表示，所以 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，从而 r(A)=2由 A=得 a-5=-2，解得a=3，应选 (A)4 【正确答案】 C 【试题解析】 因为 1， 2 线性无关，所以 AX=0 的基础解系至少含两个线性无关的解向量，从而 r(A)1，再由题意得 =
8、0，显然选(C) 5 【正确答案】 A【试题解析】 由 不是 A 的特征向量，应选(A) 6 【正确答案】 C【试题解析】 的特征值为 7，0，0，因为 r(0E-A)=r(A)=2，所以 =9对应的线性无关的特征向量只有一个，该矩阵不可相似对角化，应选(C)7 【正确答案】 B 【试题解析】 因为 A 与 B 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAP=B，从而 r(A)=r(B)，应选(B) 8 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A，B 都是实对称矩阵，且特征值相同，所以 A、B 既相似又合同，应选(A) 二、填空题9 【正确答案】 -1【试题解析】 因为 A与 线性相关，所以 A与 成
9、比例，令 A=k，即，解得 a=-110 【正确答案】 abc0【试题解析】 由 =2abc0 得 a，b ，C 满足的关系式为 abc011 【正确答案】 a 4-a1+a2-a3【试题解析】 则方程组有解应满足的条件为 4-1+2-3=012 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB=O 得 r(A)+r(B)3，因为 r(B)1，所以 r(A)2，又因为矩阵A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2由 A=得 t=113 【正确答案】 -1【试题解析】 A=6，由2A=8A=-48 得A=-6 ，解得 =-114 【正确答案】 4【试题解析】 由E-A = =2(-4)=0得
10、 A 的特征值为1=2=0， 3=4，非零特征值为 415 【正确答案】 -10【试题解析】 由E-A = =(-1)(-2)2=0 得 1=1， 2=3=2，因为 A 可对角化，所以 r(2E-A)=1，由 2E-A=得 a=-1016 【正确答案】 -17,-12【试题解析】 设 A= 由 A 与 B 相似得 tr(A)=tr(B)，即x+22=5，解得 x=-17；由 A= B得-374-31y=-2，解得 y=-1217 【正确答案】 1=2=3=2，-5【试题解析】 E-A = =(-2)3=0，特征值为 1=2=3=2，因为 1=2=3=2 只有两个线性无关的特征向量，所以 r(2
11、E-A)=1由 2E-A=得 a=-5三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 A= 方程组()的基础解系为 1=19 【正确答案】 () 的通解为因为两个方程组有公共的非零解，所以 l1，l 2 不全为零，从而 ，解得 a=-1或 a=020 【正确答案】 因为 0 为 A 的特征值，所以A= =0，解得a=1由E-A= =(-2)2=0 得 1=0， 2=3=21=代入(E-A)X=0，由 0E-A= 得 1=0 对应的线性无关的特征向量为 1= 2=3=2 代入(2E-A)X=0，由 2E-A=得 2=3=2 对应的线性无关的特征向量为 2=21 【正确答案】
12、 因为 AB，所以 B 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，B *的特征值为 =2，B *+E 的特征值为 7，4，3，故B *+E=8422 【正确答案】 设 A= ，则 f=XTAXA 的特征值为1=1， 2=2， 3=5，由A =2(9-a 2)=10 得 a=2，A= 1=1 代人(E-A)X=0，由 E-A= 得 1=1 对应的线性无关的特征向量为 1= 2=2 代入(E-A)X=0，由 2E-A= 得 2=2对应的线性无关的特征向量为 2= 3=5 代入(E-A)X=0，由 5E-A=得 3=5 对应的线性无关的特征向量为 3=23 【正确答案】 A *=4(-14)(-14)
13、=28 2，由A *=A 2 得A=28或A=-28 =-6a-40若-6a-40=28，则 a= ，不合题意，舍去；若-6a-40=-28，则 a=-2，从而 A= A 的特征值为1=-7 代入(E-A)X=0，由-7E-A=得 1=-7 对应的线性无关的特征向量为 1=24 【正确答案】 由 A2-2A-3E=0 得(E+A)(3E-A)=0，则 r(E+A)+r(3E-A)n； 由r(E+A)+r(3E-A)r(4E)=n 得 r(E+A)+r(3E-A)=n (1)当 r(E+A)=n 时，A=3E 为对角阵； (2)当 r(3E-A)=n 时，为对角矩阵； (3)r(E+A)n，r(
14、3E-A) n，则E+A=0，3E-A=0， A 的特征值 1=-1， 2=3 1=-1 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(-E-A)=n-r(E+A)； 2=3 对应的线性无关的特征向量个数为 n-r(3E-A) 因为 n-r(E+A)+n-r(3E-A)=n，所以 A 可相似对角化25 【正确答案】 由 1=2=2 及 1+2+3=tr(A)=10 得 3=6因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(2E-A)=1，由 2E-A=得 a=2，b=-2 1=2=2 代入(E-A)X=0，由 2E-A 得 1=2=2 对应的线性无关的特征向量为 1=3=6 代入(E-A)X=0
15、，由 6E-A=得 3=6 对应的线性无关的特征向量为 3= 令 P=26 【正确答案】 由 得 t0，当 t0 时，因为 A 的顺序主子式都大于零，所以 A 为正定矩阵27 【正确答案】 由 B= 得 r(B)=2，因为 A与 B 等价，所以 r(A)=r(B)=23，故 t=028 【正确答案】 C 的特征值为 1=1， 2=3， 3=5，由E-A=(-1)(-3)(-t)=0 得 A 的特征值为 1=1， 2=3， 3=t，故t=529 【正确答案】 由E-D= =0 得 1=20， 2=1+矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=3， 3=t，因为 A 与 D 合同，所以特征值中正、负个数一致，故 t030 【正确答案】 A= 因为 A 正定，所以 解得-2131 【正确答案】 令 AX=X， 由 A2+2A=O 的( 2+2)X=0，注意到 X0，则2+2=0， 解得 =0 或 =-2 由 r(A)=2 得 1=0， 2=3=232 【正确答案】 A+kE 的特征值为 k，k-2 ，k-2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵33 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)= ，二次型的矩阵为 A= 由E-A = =(-3)2=0 得1=0， 2=3=3，则二次型的秩为 2，正惯性指数为 2，负惯性指数为 0
