1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 向量组 1， 2， s 线性无关的充要条件是 ( )（A） 1， 2， s 均不为零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s 中任意一个向量均不能由其余向量线性表出（D） 1， 2， s 中任意 s 一 1 个向量均线性无关2 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使 k 11+k22+kss=0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s
2、中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（D）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k 11+k22+kss03 设有两个 n 维向量组(I) 1， 2， s，( ) 1， 2， s，若存在两组不全为零的数 k1，k 2，k s， 1， 2， s，使(k 1+21)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一1)1+(ks 一 s)s=0，则 ( )（A） 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性相关（B） 1， s 及 1， ， s 均线性无关（C） 1， s 及 1， ， s 均线性相关（D） 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性无关4 若向量组
3、， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则 ( )（A） 必可由 ， 线性表出（B） 必可由 ， ， 线性表出（C） 必可由 ， 线性表出（D） 必不可由 ， ， 线性表出5 设向量组(I) 1， 2， s 线性无关，( ) 1， 2， t 线性无关，且i(i=1，2，s)不能由() 1， 2， t 线性表出， j(j=1，2，t) 不能由(I)1， 2， s 线性表出，则向量组 1， 2， s， 1， 2， t ( )（A）必线性相关（B）必线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）以上都不对6 已知 n 维向量的向量组 1， 2， s 线性无关，则向量组 1， 2， s 可能线性相关的
4、是 ( )（A） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量（B） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量（C） (i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量（D） i(i=1， 2，s)是 i(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量7 已知 r(A)=r1，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2，且 BY= 无解，设A=1， 2， n，B= 1， 2， n，且r(1， 2， n， 1， 2， n，)=r，则 ( )（A）r=r 1+r2（B） rr 1+r2（C）
5、r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+18 设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n 一 1，则 a 必为 ( )（A）1（B）（C）一 1（D）9 已知 其中 abc d，则下列说法错误的是 ( )（A）ATX=0 只有零解（B）存在 BO，使 AB=O（C） |ATA|=0（D）|AA T|=010 设 A 是 n 阶矩阵，(E+A)x=0 只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是 ( )（A）AE ；A+E（B） AE；(A+E) -1（C） AE；(A+E) *（D）AE ；(A+E) T11 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A nx=0 和()A n+1x=0，现
6、有命题 (I)的解必是()的解； ()的解必是(I)的解； (I)的解不一定是()的解； () 的解不一定是(I)的解 其中正确的是 ( )（A）（B） （C） （D）二、填空题12 设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且|2E+A|=0， 1=1， 2=一 1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|=_13 已知向量组 与向量组 等秩，则 x=_14 已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n-1，则线性方程组 AX=0 的通解是15 方程组 有解的充要条件是_16 设线性方程组 有解，则方程组右端17 已知非齐次线性方程组 A 34X=b 有通解 k11，2，0，一 2
7、T+k24，一 1，一1，一 1T+1，0，一 1，1 T，则满足方程组且满足条件 x1=x2，x 3=x4 的解是_18 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中1， 2 线性无关，若 =1+22 一 3=1+2+3+4=1+32+3+24， 则 Ax= 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22-3，如果 =1+2+3+4，求线性方程组 AX= 的通解20 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵
8、 A 的秩为 1，已知 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=-2，一 1，1 T， 3+1=0，2，0 T，求该非齐次方程的通解21 设三元线性方程组有通解 求原方程组21 假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明：22 为 A-1 的特征值；23 为 A 的伴随矩阵 A*的特征值24 设有 4 阶方阵 A 满足条件|3E+A|=0，AA T=2E，|A|0，其中 E 是 4 阶单位矩阵求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值25 已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B2=E(此时矩阵 B 称为对合矩阵 )求 B 的特征值的取值范围26 设 A，B 是
9、n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值27 已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 Ak 的每行元素之和28 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵29 设 A 是 3 阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量，证明：当 230 时，向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关30 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，
10、其中 ， 是实数，且 ，是 n 维非零向量，证明：， 正交31 已知 =1，k，1 T 是 A-1 的特征向量，其中 求 k 及 所对应的特征值32 设矩阵 且|A|=一 1，A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于 0 的特征向量为 =一 1，一 1，1 T，求 a，b，c 及 0 的值33 设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1=一 1， 2=3=1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1=0，1，1 T，求 A34 设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，证明：A+E 的行列式大于 1考研数学二（线性代数）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一
11、个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相关，和向量组线性无关矛盾，(A)，(B)，(D) 都是向量组线性无关的必要条件，但不充分【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明之必要性：假设有一向量，如 s 可由1， 2， s-1 线性表出，则 1， 2， s 线性相关，这和已知矛盾，故任意一个向量均不能由其余向量线性表出；充分性：假设 1， 2， s 线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1， 2， s线性无关(A) 对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论；(B)
12、必要但不充分，如 1=0，1，0 T， 2=1，1，0 T， 3=1，0，0 T 任意两个线性无关，但1， 2， 3 线性相关；(D) 必要但不充分如上例 1+2+30，但 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为零的数 k1，k 2，k s， 1， 2， s 使得 (k 2+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一 1)1+(k2 一 2)2+(ks 一 s)s=0， 整理得 k1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 一 1)+2(2 一 s)+ s(s 一 s)=0，从而得 1+1， ， s+s， 1 一 1， s
13、一 s 线性相关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因 ， 线性无关，故 ， 线性无关，而 ， ， 线性相关，故 必可由 ， 线性表出(且表出法唯一)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 只要对两种情况举出例子即可 取 线性无关，线性无关，且显然不能相互线性表出，但四个 3 维向量必定线性相关； 取 线性无关， 线性无关，且显然不能相互线性表出，且四个向量仍然线性无关 由， 知，应选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关(A) ，(B)属初等 (行)变换不改变矩阵
14、的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D) 增加向量分量也不改变线性无关性【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 r( 1， 2， n，)=r 1，r( 1， 2， n，)=r 2+1， 故 r(1， 2， ， n， 1， 2， n，)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 因 由 r(A)=n 一 1，有 1+(n 一 1)a=0，【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 由 aT)=r(A)=3，|AA T|0，故|AA T|=0 是错误的，其余(A) ，(B)，(C)正确【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试
15、题解析】 由于(E+A)x=0 只有零解，知 r(E+A)=n，所以存在(E+A) -1 且|E+A|0 方法一 因 (A+E)(AE)=A 2 一 E=(AE)(A+E)， (*) 故 A+E，A E 可交换，故(A) 成立 (*) 式两端各左边、右边乘(A+E) -1，得 (A E)(A+E)-1=(A+E)-1(AE)， (*) 故(A+E) -1，AE 可交换，故(B) 成立 (*)式两边乘|A+E|(数) ，得 (AE)(A+E)*=(A+E)*(AE)， 故(A+E) *，AE 可交换，故(C)成立 由排除法知，应选(D) ，即(A+E) T，AE 不能交换 方法二 (A+E)(A
16、E)=(A+E)(A+E 一2E)=(A+E)2 一 2(A+E) =(A+E 一 2E)(A+E)=(AE)(A+E) (A+E) -1(AE)=(A+E)-1(A+E 一 2E)=(A+E)-1(A+E)一 2(A+E)-1 =(A+E)(A+E)-1 一 2(A+E)-1=(A+E 一 2E)(A+E)-1 =(AE)(A+E)-1 同理 (A+E) *(AE)=(AE)(A+E)* 故应选(D) 方法三 (D)不成立，可举出反例，如取 则 而 故(A+E) T(A-E)(A-E)(A+E)T，即(D)不成立【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时，易
17、知 An+1x=A(AnX)=0，故(I)的解必是()的解，也即正确，错误 当 An+1x=0 时，假设 Anx0，则有 x，Ax，A nx 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A nx 是线性无关的由于 x，Ax ，A nx 均为n 维向量，而 n+1 个 n 维向量是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有Anx=0可知( )的解必是(I) 的解，故正确，错误故选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 18【试题解析】 由|2E+A|=|A 一(一 2E)|=0 知 =一 2 为 A 的一个特征值，由 AB知 A 和 B 有相同特征值，因此 1=1， 2=一 1 也是
18、A 的特征值故 A，B 的特征值均为 1=1， 2=一 1， 3=一 2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(一 1)=一1，1+2(一 2)=一 3，从而 |E+2B|=3( 一 1)(一 3)=9，|A|= 123=2 故 |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|E+2B|=29=18【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 由 知r(1， 2， 3)=2，由题设：r( 1， 2， 3)=2 因 故x=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【试题解析】 由 r(A)=n1 知 AX=0 的基础解系由 n 一(n 一
19、1)=1 个非零向量组成 A 的各行元素之和均为零，即 a i1+ai2+ain=0，i=1 ，2，n 也就是 ai11+a i21+a in1=0，i=1，2，n， 即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 故 AX=b有解【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 k1，k 2，k 3 为任意常数【试题解析】 使方程组有解，即当 其中 k1，k 2，k 3 是任意常数，方程组有解或 是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解【知识模块】 线性代数17 【
20、正确答案】 2，2，一 1，一 1T【试题解析】 方程组的通解为 即 由题设 x1=x2，x 3=x4 得 解得 k1=1，k 2=0，代入通解得满足 及x1=x2， x3=x4 的解为2 ，2，一 1，一 1T【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 k1，k 2 为任意常数【试题解析】 由 = 1+22 一 3=1+2+3+4=1+32+3+24， 可知均为 Ax= 的解，故均为 Ax=0 的解 由于 1， 2 线性无关，可知r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 一 2， 2 一 3，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4 一 r(A)2，即 r(A)2 综上
21、，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 一 2， 2 一 3 即为 Ax=0 的基础解系则 Ax= 的通解为 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 方法一 由 1=22 一 3 及 2， 3， 4 线性无关知 r(A)=r(1， 2， 3， 4)=3，且对应齐次方程 AX=0 有通解 k1，一 2，1，0 T，又=1+2+3+4，即 故非齐次方程有特解 =1，1，1，1 T，故方程组的通解为 k1，一 2，1，0 T+1，1，1，1 T，k为任意常数 方法二 故方程有两特解 1=1，1，
22、1，1 T， 2=0，3，0，1 T 又 r(A)=3，故方程组的通解为 k( 1-2)+1=k1,-2,1,0T+1,1,1,1T，k 为任意常数. 方法三 由 AX=1,2,3,4X=1+2+3+4，得 x 11+x22+x33+x44=1+2+3+4. 将 1=22-3 代入，整理得 (2x1+x2-3)2+(-x1+x3)3+(x4-1)4=0. 2,3,4 线性无关，得 解方程组，得 X=k1,-2,1,0T+0,3,0,1T，其中 k 为任意常数.【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 r(A)=1，AX=b 的通解应为 k11+k22+，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(
23、1+2)一( 2+3)=13=一 1，3，2 T， 2=(2+3)一( 3+1)=2 一1=2，一 3，1 T 因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系. 取 AX=b 的一个特解为 故 AX=b 的通解为 k 1-1,3,2T+k22,-3,1T+0,1,0T，k 1，k 2 为任意常数.【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设非齐次线性方程为 ax 1+bx2+cx3=d，由 1=一 1，3，2T， 2=2，一 3，1 T 是对应齐次方程的基础解系，代入对应齐次线性方程组 由上式解得 a=一 9k，b=一 5k，c=3k，k 是任意非零常数，又=1，一 1，3 T 是非齐次方
24、程解，代入得 d=一 b=5k 故原方程是 9x 1+5x23x3=一 5【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 A 对应于特征值 的特征向量为 X，则 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由上题设可知【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由|3E+A|=0，得 =一 3 为 A 的特征值由 AAT=2E，|A|0，得|A|=一 4，则 A*的一个特征值为【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=，两端左边乘B，得 B2=E=B=2，( 2 一 1)=0，0， 故 =1 或 =一 1，则 B 的特征值的取值范
25、围是1，一 1【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 方法一 利用特征值的定义 设 AB 的任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则 AB=， 式两端左边乘 B，得 BAB=BA(B)=(B)， 若 B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B 毒)，若 B=0，由式知，=0，0，得 AB 有特征值 =0，从而|AB|=0，且|BA|=|B|A|=|A|B|=|AB|=0，从而 BA 也有 =0 的特征值，故 AB 和 BA 有相同的特征值 方法二 利用特征方程及分块矩阵的运算 设 AB 有特征值 ，即有|E-AB|=0，因 知 AB 和 BA 有相同的非零特征值 当 AB 有 =
26、0 的特征值时，因|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA|=0，故 BA 也有零特征值，从而得证 AB 和 BA 有相同的特征值【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 的每行元素之和为口，故有 A1，1，1 T=a1，1，1T，即 a 是 A 的一个特征值 又 Ak 的特征值为 ak，且对应的特征向量相同，即Ak1， 1，1 T=ak1， 1，1 T，即 Ak 的每行元素之和为 ak【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 ( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关11+22， 22+33， 33+11 线性无关 因为 1， 2， 3 线性无关， A 是可逆矩阵【知识模块】
27、线性代数29 【正确答案】 因 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)=1， 11+22， 121+222+323 又 123，故 1， 2， 3 线性无关，由上式知 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关 即 230【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 A= ，两边转置得 TAT=T， 两端右边乘 ，得TAT=T， T=T，( 一 )T=0，故 T=0， 相互正交【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由题设 A-1=， 是 A-1 的对应于 的特征值，两端左边乘 A，得 =A，A -1 可逆，0， 即 对应分量相等，得 得 2+2k=k(3+k)，k 2+k 一 2=0，
28、得 k=1 或 k=一 2 当 k=1 时，=1，1，1 T，=4； 当 k=一 2 时，=1 ，一 2，1 T，=1【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 A *=0，两端左边乘 A，得 AA*=|A|=-=0A即 由此得 由，式解得 0=1，代入 ，式得 b=一 3，a=c 由|A|=一 1，a=c ，有 得 a=c 一 2，故得 a=2，b=一3，c=2， 0=1【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 2=3=1 有两个线性无关特征向量 2， 3，它们都与 1 正交，故可取 2=1，0，0 T， 3=0，1，一 1T，且取正交矩阵 则 【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 A 为 n 阶正定矩阵，则 A 的特征值 10， 20， n0因而 A+E 的特征值分别为 1+11， 2+11， n+11，则|A+E|=( 1+1)(2+1)( n+1)1【知识模块】 线性代数
