1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 且 则 ( )（A）存在 aij(i，j=1 ，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（B）不存在 aij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关（C）存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（D）不存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关2 向量组(I) 1， 2， s，其秩为 r1，向量组( )1， 2， s，其秩为 r2，且i(i=1， 2， ，s)均可由向量组 (I)1， 2， s 线性表出，则必有 ( )（
2、A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B） 1-1， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1 一 r2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r13 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（A）当 mn 时，必有|AB|0（B）当 mn 时，必有|AB|=0（C）当 nm 时，必有|AB|0（D）当 nm 时，必有|AB|=04 设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)AX=0 和()A TAX=0，必有 ( )（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I
3、)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， (n)的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解5 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（A）A TX=0 只有零解（B） ATAX=0 必有无穷多解（C）对任意的 b，A TX=b 有唯一解（D）对任意的 b，AX=b 有无穷多解6 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表出（B）向量组 1， 2， m
4、可由向量组 1， 2， m 线性表出（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=1， 2， m与矩阵 B=1， 2， m等价7 要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( ) 8 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若存在 3 阶矩阵BO，使得 AB=O，则 ( )（A）=一 2 且|B|=0（B） =一 2 且|B|0（C） =1且|B|=0（D）=1 且|B|09 齐次线性方程组的系数矩阵 A45=1， 2， 3， 4， 5经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 则 ( )（A） 1 不能由 3， 4， 5 线性表出（B） 2 不能由 1， 3，
5、5 线性表出（C） 3 不能由 1， 2， 5 线性表出（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表出10 设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m=n ，且 |A|0（B） AX=0 有唯一零解（C） A 的列向量组 1， 2， n 和 1， 2， ， n，b 是等价向量组（D）r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出11 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=0，1，2，3 T，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( ) 二、填空题12 设 B 是 3
6、 阶非零矩阵，且 AB=O，则 Ax=0 的通解是_13 设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是_14 设 A 是 3 阶矩阵，已知|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，则|A+4E|=_15 设 A 是 n 阶实对称矩阵， 1， 2， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A111T 的特征值是_16 矩阵 的非零特征值是_17 与 1=1， 2，3，一 1T， 2=0，1，1，2 T， 3=2，1，3，0 T 都正交的单位向量是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 求实
7、对称矩阵 B，使 A=B219 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，3，A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=一 1，一 1，1 T， 2=1，一 2，一 1T， 求 A20 证明：AB，其中 并求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B21 设 =a1，a 2，a nT0，A= T，求可逆矩阵 P 使 P-1AP=A21 设 A=E+T，其中 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=222 求 A 的特征值和特征向量；23 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=A23 设向量 =a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT 都是非零向量，且满足条件T
8、=0，记 n 阶矩阵 A=T，求：24 A2；25 A 的特征值和特征向量；26 A 能否相似于对角矩阵，说明理由27 设实对称矩阵 求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵，并计算行列式|AE|的值28 设 问 A，B 是否相似，并说明理由28 设 A 是 3 阶矩阵， 1=1， 2=2， 3=3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 又 =1， 2，3 T，计算：29 An1；30 An30 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)=4x22 一 3x32+4x1x24x1x3+8x2x331 写出二次型 f 的矩阵表达式；32 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵
9、33 设矩阵 矩阵 B(kE+A)2，求对角矩阵 A，使得 B 和 A 相似，并问 k 为何值时，B 为正定矩阵34 设 A 与 B 均为正交矩阵，并且|A|+|B|=0，证明：A+B 不可逆35 已知 f(x， y)=x2+4xy+y2，在正交变换 下 求正交矩阵 P考研数学二（线性代数）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 知向量组1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关因 1， 2， 3 线性相关，故(A)，(B)不成立，因 2， 3， 4 线性无关，故(C) 成立，(D) 显然不成立【知
10、识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， r1，则j(j=1，2，s)均可由 1， 2， r1 线性表出，又 i(i=1，2，s)可由(I)表出，即可由 1， 2， r1 线性表出，即 1， 2， r1 也是向量组1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组，故r(1， 2， ， s， 1， 2， s)=r1，其余选项可用反例否定 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 A mnBnm 是 m 阶方阵，当 mn 时， r(AB)r(A)n 则AB=0，|AB|=0 ，(C)错误 (D)取 A=0，1， AB
11、=1，|AB|=1，(D)错误【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 方程 AX=0 和 ATAX=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 ATX=b，对任意的 b，方程组若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(AT)=r(A)=4r(EAT|b)=5，而使方程组无解 其余(A) ，(B)，(D)正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 A= 1， 2， m，B= 1， 2， m等价r(1， 2， ， m)=r(1， 2， m) 1， 2， m 线性无关(已知1， 2， m 线
12、性无关时)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 因一 2，1，1 1=0，一 2，1，1 2=0【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 BO ，AB=O，故 AX=0 有非零解，|A|=0， 又 AO，故 B不可逆，故 =1，且|B|=0 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 i 能否由其他向量线性表出，只需将 i 视为非齐次方程的右端自由项(无论它原来在什么位置)，有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 r(A)
13、=n，b 可由 A 的列向量组线性表出，即为 r(A)=r(A|b)=n，故AX=n 有唯一解 (A)是充分条件，但非必要条件，(B) 是必要条件，但非充分条件(可能无解) ， (C)是必要条件，但非充分条件(n 由 1， 2， n 线性表出，可能不唯一)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 方程组有齐次解：2 1 一( 2+3)=2，3，4，5 T，故选 C.【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 k一 1，1，0 T，k 为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，我们得知 r(A)由 r(A)3，有 a=1 当a=1 时，求得 A
14、x=0 的基础解系为 一 1，1，0 T，因此通解为 k一 1，1，0 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 0(n-1 重根)，n( 单重)【试题解析】 因 故 =0(n-1重特征值 )，=n( 单重)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 6【试题解析】 由|A+E|=|A+2E|=|A+3E|=0，知 A 有特征值 =一 1，一 2，一 3，则A+4E 有特征值 =3，2，1，故|A+4E|=6【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 0， 2， 3， n【试题解析】 因 A 是实对称矩阵， 1， 2， n 互不相同，对应的特征向量1， 2， n 相互正交，故 故
15、 B 有特征值0， 2， 3， n【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 4【试题解析】 方法一 因 解得 A 的非零特征值为 4 方法二 由 AX=4X，即 得 1=4又 r(A)=1，知 AX=0 有 3 个线性无关特征向量，故 2=0 是三重特征值，即 A 的非零特征值为 4【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 设 =x1，x 2，x 3，x 4T，若 与 1， 2， 3 都正交，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有 故 n-r(A)=43=1，则 Ax=0 有一个基础解向量，故 Ax=0 的基础解系为一 1，一1，1，0 T，将其单位化，得 即
16、为所求【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 单位化得为正交矩阵故 则 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 =3 对应的特征向量应与 1， 2 正交，设 3=x1，x 2，x 3T，则应有 解得 3=1，0，1 T 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角矩阵 B 由于 1=1 时，( 1E-A)X=0，有特征向量1=1，0，0 T； 2=2 时，( 2E-A)X=0，有特征向量 2=0，1，0 T； n=n 时，( nE 一 A)X=0，有特征向
17、量 n=0，0，1 T 故得可逆矩阵 有 P -1AP=B【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 先求 A 的特征值 方法一 利用特征值的定义 设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= T= 若 T=0，则 =0，0，故 =0； 若 T0，式两端左边乘 T，则 TT=(T)T=(T) 因 T0，故 方法二 利用及特征值定义 式两端左边乘 A，得 方法三 利用 及特征方程|E-A|=0 因两边取行列式 得 A 的特征值 =0或方法四 直接用 A 的特征方程 得A 的特征值为 =0(n-1重根). 再求 A 的对应于 的特征向量 方法一 当 =0时 即解方程 a 1x1+a2x
18、2+anxn=0， 得特征向量为(设 a10) 1=a2，一 a1，0，0T， 2=a3，0 ，一 a1，0 T， n-1=an，0，0，一 a1T 当 时 由观察知 n=a1，a 2，a nT 方法二 因为 A=T，=0 时，(E-A)X=一 TX=0，因为满足 aTX=0 的 X 必满足 TX=0，故 =0时，对应的特征方程是a1x1+a2x2+anxn=0对应 =0的 n 一 1 个特征向量为 1=a2，一 a1，0，0T， 2=a3，0 ，一 a1，0 T， n-1=an，0，一 a1T 时，对矩阵 E一 A=TE一 T 两端右边乘 ，得 (E-A)=(TE-T)=(T)-(T)=0，
19、 故知 =a1，a 2，a nT 即是所求 n 最后由12， n，得可逆矩阵 P，即 且 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 A=(E+ T)= 两端左边乘 T， T(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T， 若 T0，则 一 1+T=3；若 T=0，则由 式得 =1 当=1时， 即b1，b 2，b nX=0，因 T=2，故 0，0 ，设 b10，则 1=b2，一b1，0，0 T， 2=b3， 0，一 b1，0 T， n-1=bn，0，0，一 b1T， 即 A 的对应于特征值 1 的特征向量为 k11+k22+kn-1n-1，k 1，k 2，k n-1 为不全
20、为零的常数； 当 =3时， (3E-A)X=(2E- T)X=0， n=一a 1，a 2，a nT，即A 的对应于特征值 3 的特征向量为 kn 考 n，k n 为不为零的常数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 取 则 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)T=O， 即 A 是幂零矩阵(A 2=O)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 方法一 利用(1)A 2=0设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A=，两端左边乘 A，得 A2=A=2 因 A2=O，所以2=
21、0， 0，故 =0即矩阵 A 的全部特征值为 0 方法二 直接用特征值的定义 A=T=， 由 式，若 T=0，则 =0，0，得 =0； 若 T0，式两端左边乘 T，得 TT=(T)T=0( T)=T，得 =0，故 A 的全部特征值为0 方法三 利用特征方程|E 一 A|=0 因右端行列式中每一列的第 2 子列均成比例，故将行列式拆成 2n 个行列式时，凡取两列或两列以上第 2 子列的行列式均为零，不为零的行列式只有 n+1 个，它们是 因故|E 一 A|=n=0，故 =0是 A 的全部特征值 方程组 Ax=0 的非零解即为 A 的特征向量不妨设 a10，b 10，有 则 A 的对应于特征值 0
22、 的特征向量为k1，k n-1 为不全为零的常数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 不能相似于对角矩阵，因 0，0，故 A=TO，r(A)=r0(其实 r(A)=1)从而对应于特征值 =0(n重)的线性无关的特征向量的个数是 n一 rn，故 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式 得1=2=a+1， 3=a 一 2 当 1=2=a+1 时，对应两个线性无关特征向量 1=1，1，0T， 2=1，0，1 T； 当 3=a 一 2 时，对应的特征向量 3=一 1，1，1 T 令则有 【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A，B 均是实对称矩
23、阵，均可相似于对角矩阵，由于 对换|E 一 A|的 1，2 列和 1，2 行，得 故 A 和B 有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个对角矩阵，故 AB【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因 A1=11，则 An1=1n1，故【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 利用 Ai=ii 有 Ani=nii，将 表示成 1， 2， 3 的线性组合设 =x 11+x22+x33，即 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 二次型的矩阵 则二次型 f 的矩阵表达式为f=xTAx【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 A 的特征多项式|A
24、 一 E|=一(6+)(1-)(6 一 )，则 A 的特征值 1=一 6， 2=1， 3=6 1=一 6 对应的正交单位化特征向量 2=1 对应的正交单位化特征向量 3=6 对应的正交单位化特征向量 令正交矩阵 所求正交变换 二次型f 的标准形 f=一 6y12+y22+6y32【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 Q， 使得 B=(kE+A)2=(kE+QA1QT)2=Q(kE+A1)QT2=Q(kE+A1)2QT 故当 k0且 k一 2 时，B 的全部特征值大于 0，此时 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 由 AAT=E 有|A| 2=1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或一 1 由|A|+|B|=0 有|A|B|= 一 1，也有|A T|BT|=一 1 再考虑到|A T(A+B)BT|=|AT+BT|=|A+B|，所以一|A+B|=|A+B|，|A+B|=0 故 A+B 不可逆【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 |E一 A|=(一3)(+1)，|E 一 B|=(一 3)(+1) 实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值，因此 A 与B 合同 A 的特征向量是 B 的特征向量是 令有 Q1TAQ1=diag(3，一 1)=Q2TBQ2 故 【知识模块】 线性代数
