1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A nx=0 和()A n+1x=0，现有四个命题 (1)(I)的解必是 ()的解 (2)() 的解必是(I)的解 (3)(I)的解不是() 的解 (4)()的解不是 (I)的解 以上命题中正确的是 ( )（A）(1)(2)（B） (1)(4)（C） (3)(4)（D）(2)(3)2 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是 ( )（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的
2、任意一个 m 阶子式不等于零（C） A 通过初等行变换，必可以化为(I m；O)的形式（D）非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多解3 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为r，则( )（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组有无穷多个解4 设 1,2,3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解
3、 x=( )（A）（B）（C）（D）5 设 A 是 m乃矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（A）当 nm 时，仅有零解（B）当 nm 时，必有非零解（C）当 mn 时，仅有零解（D）当 mn 时，必有非零解6 设 1， 2 为非齐次方程组 的解向量， 1,2 为对应齐次方程组的解，则( )（A） 1+2+21 为该非齐次方程组的解（B） 1+1+2 为该非齐次方程组的解（C） 1+2 为该非齐次方程组的解（D） 1 一 2+1 为该非齐次方程组的解7 n 元线性方程组 Ax=B 有两个解 a、c ，则下列方程的解是 A 一 c 的是( )（A）2Ax=B （B） Ax=
4、0（C） Ax=A（D）Ax=C8 非齐次线性方程组 Ax=B 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（A）无法确定方程组是否有解（B）方程组有无穷多解（C）方程组有惟一解（D）方程组无解9 对于齐次线性方程组 而言，它的解的情况是( )（A）有两组解（B）无解（C）只有零解（D）无穷多解10 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 A若存在 3 阶矩阵 BO，使得 AB=O，则 ( )（A）=一 2 且B=0 （B） =一 2 且B 0（C） =1 且B =0（D）=1 且B0 11 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若秩 则线性方程组( )（A）Ax=
5、必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C）（D）二、填空题12 齐次线性方程组 的一个基础解系为_13 设 ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_14 齐次方程组 有非零解，则 =_15 设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2， 1,2,3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 Ax=b 的通解为 _.16 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1,2,3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1+2+23=(2，0，0 ，0) T，3 1+2=(2，4，6，8) T，则方程组 Ax=b 的通解是_17 线性方程组 有解，则未知量 a=_18 非
6、齐次方程组 的通解是_19 已知齐次线性方程组有通解 k12，一1，0，1 T+k23，2，1，0 T，则方程组的通解是_20 已知方程组 ()x 1+5x3=0，那么(I) 与()的公共解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知方程组 有解，证明：方程组无解22 已知线性方程组 370 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且 分别是 A 关于特征值 1，一 1，0 的三个特征向量，求矩阵 A23 设方程组(1) 与方程(2)x 1+2x2+x3=a1 有公共解，求 a 的值及所有公共解24 设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系
7、为 1=(2，一 1，a+2，1) T， 2=(一 1，2，4，a+8) T(I)求方程组(1)的一个基础解系；() 当 a 为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?若有，求出所有非零公共解25 已知 1,2,3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明1+2， 2+3， 1+3 也是该方程组的一个基础解系26 求线性方程组 的通解，并求满足条件 x12=x22 的所有解27 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解28 设线性方程组 已知(1，一 1，1，一 1)T 是该方程组的一个解，求方程组所有的解29 设有齐次线性方程组 试问 a 取
8、何值时，该方程组有非零解，并求出其通解30 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c) ，a，b，c 不全为零，矩阵(k 为常数)，且 AB=0，求线性方程组 Ax=0 的通解31 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中(1)当 a 为何值时，该方程组有惟一解，并求 x1；(2)当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解32 设矩阵 A=(1,2,3,4)，其中 a2，a 3,a4 线性无关，a 1=2a2 一 a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程 Ax=b 的通解33 设 1,， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1,，k s 为实数，满足k1+k2+ks=1
9、证明 x=k11+k22+kss 也是该方程组的解33 设34 计算行列式A35 当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解36 设 ，当 a，b 为何值时，存在矩阵 *C，使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C37 问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解38 写出一个以 为通解的齐次线性方程组.39 取何值时，非齐次线性方程组 (1)有唯一解；(2)有无穷多个解；(3)无解40 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 1， 2,3 是它的三个解向量，且 求该方程组的通解40 设有向量组 问 ，为何值时：41 向量 b 能由向量组 A 线性表示，且表示式唯一；42 向
10、量 b 不能由向量组 A 线性表示；43 向量 b 能由向量组 A 线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式44 已知 1=(一 9，1，2，11) T， 2=(1，一 5，1 3，0) T， 3=(一 7，一 9，24，11) T是方程组 的三个解，求此方程组的通解44 设线性非齐次方程组 Ax=(1,2,3,4)x=5 有通解 k(一 1，2，0，3) T+(2，一3，1，5) T45 求方程组( 2,3,4)x=5 的通解；46 求方程组( 1,2,3,4,5)x=5 的通解47 当参数 p，t 为何值时，非齐次线性方程组 有解，无解?有解时，求其通解考研数学二（线性方程组）模拟试卷 7
11、 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 若 An=0，则 An+1=A(An)=A0=0，即若 是(I)的解，则 必是()的解，可见命题 (I)正确如果 An+1=0，而 An0，那么对于向量组，A 1，A 2，A n，一方面有：若 k+k1A1+k2A2+knA n=0，用 An 左乘上式的两边，并把 An+1=0，A n+2=0代入，得 kAn=0由 An0 知，必有k=0类似地用 An-1 左乘可得 k1=0因此，A 1，A 2，A n 线性无关但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾故 An
12、+1=0 时，必有 An=0，即() 的解必是(I)的解因此命题(2)正确所以应选 A【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A、B 显然不正确，将其中的“ 任意”都改为“存在”，结论才正确对于矩阵 A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型 (Im；D)的，故 C 也不正确，故选 D事实上，由于 A 有 m 行，且 r(A)=mn ，因此 r(A；b)r(A)=m又 r(A；b)minm，n+1=m ，故 r(A；b)=r(A)=m n ，从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解所以选项 D 正确【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A
13、，r(A)=r=m由于 r(A；b)m=r，且 r(A；b)minm，n+1=minr ，n+1=r，因此必有 r(A； b)=r， 从而 r(A)=r(A；b) ，所以，此时方程组有解，所以应选 A由 B、C、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组解的结构性质，易知 21 一( 2+3)=(2，3，4，5) T是 Ax=0 的一个非零解，所以应选 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n(矩阵越乘秩越小)，所以当 mn 时，必
14、有 r(AB)m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查线性方程组的解的性质，将四个选项分别代入非齐次方程组， 因此选B【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 B【试题解析】 A(a 一 c)=Aa 一 Ac=0，所以 a 一 c 是 Ax=0 的解【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 B【试题解析】 由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 C【试题解析】 这是
15、一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况对系数矩阵 A= 因此 r(A)=3，系数矩阵的秩等于未知数个数，因此方程组只有零解，故选 C【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 C【试题解析】 将矩阵 B 按列分块，则由题设条件有 AB=A(1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=O，即 Ai=0(i=1，2，3)，这说明矩阵 B 的列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解又由 BO，知齐次线性方程组 Ax=0 存在非零解，从而 r(A)3，且 A 为 3 阶方阵，故有即 =1，排除选项A、B若B 0，则矩阵 B 可逆以 B 一 1 右乘 AB=O，得 ABB 一 1=O
16、B 一 1，即A=O这与 A 为非零矩阵矛盾，选项 D 不正确，故选 C【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 D【试题解析】 由于选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中必有一个正确也仅有一个正确，因而排除 A、B 又齐次线性方程组有 n+1 个变量，而由题设条件知，秩所以该方程组必有非零解，故选 D【知识模块】 线性方程组二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 系数矩阵得同解方程组得基础解系：【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【试题解析】 因为矩阵 A 的秩是 2，所以A=0，因此 A*A=A E
17、=0 ，所以A 的列向量为 A*x=0 的解，又由已知条件得 r(A*)=1，因此 A*x=0 的通解是k1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 一 3 或一 1【试题解析】 系数矩阵的行列式=一( 2+4+3)=一(+3)(+1)，所以当 =一 3 或 =一 1 时，方程组有非零解【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 1+k1(2 一 1)+k2(3 一 1)，k 1， k2 为任意常数【试题解析】 1,2,3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2 一1， 3 一 1 是 Ax=0 的两个解，且它们线性无关，又 nr(
18、A)=2，故 2 一 1， 3一 1 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1+k1(2 一 1)+k2(3 一 1)，k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 【试题解析】 由于 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系共有 4 一 r(A)=43=1 个向量，又因为( 1+2+23)一(3 1+2)=2(3 一 1)=(0，一 4，一 6，一 8)T 是Ax=0 的解，因此其基础解系可以为(0，2，3，4) T，由 A(1+2+23)=A1+A2+2A3=4b，可知 是方程组 Ax=b 的一个解，因此根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通
19、解是【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 一 3【试题解析】 非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，对该方程组的增广矩阵作初等变换可知 a=一 3 时，r(A)=r(A，b)，此时方程组有解【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 【试题解析】 对该非齐次线性方程组的增广矩阵作初等变换【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 k(1 3，一 3，1，5) T(k 为任意常数)【试题解析】 方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，令(1) 的通解为 满足(2)的第三个方程，得(2k 1+3k2)一 2(一
20、 k1+2k2)+0k2+k1=0，得到 5k1=k2，将其代入(1)的通解中，得 5k2(2，一 1，0，1) T+k2(3，2，1，0) T=k(13，一 3，1，5) T，是方程组(2)的通解【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 k(一 5，3，1) T(k 为任意常数)【试题解析】 将方程组(I)和方程()联立，得到方程组 ()的解就是两者的公共解对()的系数矩阵做初等行变换可得由于 A 的秩为 2，因此自由变量有 1 个，令自由变量 x3=1，代入可得 x2=3，x 1=一 5，所以()的基础解系为=(一 5，3， 1)T因此(I)和()的公共解为 k(一 5，3，1) T(k
21、 为任意常数)【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 用 分别表示方程组(I)与()的系数矩阵和增广矩阵，则 已知方程组(I)有解，故 又由于(b1，b 2，b m，1) 不能由(a 11，a 21，a m1，0)，(a 12，a 22，a m2，0)，(a 1n，a 2n，a mn， 0)线性表示，则由已知可得，即方程组()无解【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 对增广矩阵作初等变换，有由于方程组有无穷多解，故 a=一 1 或a=0当 a=一 1 时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去；当 a=0 时，三个特征向量 线性无关，
22、是 A 的特征向量，故 a=0【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 把方程组(1)与(2) 联立，得方程组(3) 则方程组(3)的解就是方程组 (1)与 (2)的公共解对方程组(3) 的增广矩阵作初等行变换，有则方程组(3)有解，即(a1)(a2)=0当 a=1 时 此时方程组(3)的通解为 k(一 1，0，1)T(k 为任意常数 )，即为方程组(1)与(2)的公共解当 a=2 时, 此时方程组(3)有唯一解 (0，1，一 1)T，这亦是方程组(1)与(2)的唯一公共解【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 (I)对方程组(1) 的系数矩阵作初等行变换，有由于 nr(A)=42=2，
23、基础解系由 2 个线性无关的解向量所构成，取 x3，x 4 为自由变量，得 1=(5，一 3，1，0)T， 2=(一 3，2，0，1) T 是方程组(1) 的基础解系 () 设 是方程组(1)与(2) 的非零公共解，则 =k11+k22=l11+l22，其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为 0 的常数由k11+k22 一 l11 一 l22=0，得齐次方程组(3) 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有于是 =(l1+4l2)1+(l1+7l2)2=l11+l22所以 =一 1 时，方程组(1)与(2)有非零公共解，且公共解是 l1(2，一 1，1，1) T+l2(一 1，2，4
24、，7) T，l 1，l 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由 A(1+2)=A1+A2=0+0=0 知， 1+2 是齐次方程组 Ax=0 的解同理可知 2+3， 1+3 也是 Ax=0 的解设 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(1+3)=0，即(k 1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0，因为 1,2,3 是基础解系，它们是线性无关的，故 由于此方程组系数行列式 故必有k1=k2=k3=0，所以 1+2， 2+3， 1+3 线性无关根据题设， Ax=0 的基础解系含有 3 个线性无关的向量，所以 1+3， 2+3， 1+3 是方程组 Ax=0 的一组基
25、础解系【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 对方程组的增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 x3=0，x 4=0 得 x2=1，x 1=2，即 =(2，1，0，0) T其对应齐次方程组的解：令x3=1， x4=0，得 x2=3，x 1=1，即 1=(1，3，1，0) T；令 x3=0，x 4=1，得 x2=0，x 1=一 1，且 2=(一 1，0，0，1) T故该方程组的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，0) T+k2(一 1，0，0，1) T而其中条件 x12=x22，即(2+k 1 一 k2)2=(1+3k1)2那么有 2+k1 一 k2=1+3k1 或 2+k1 一
26、 k2=一(1+3k 1)，两边同时开方，即k2=12k1 或 k2=3+4k1所以 (1，1，0，1) T+k(3， 3，1，一 2)T 或(一 1，1，0，3)T+k(一 3，3，1，4) T(k 其中为任意常数)为满足 x12=x22 的所有解【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有当 a0 且 b3 时，方程组有唯一解 当 a=0 时，对任意的 b，方程组均无解当 a0，b=3 时，方程组有无穷多解 ，k 为任意常数【知识模块】 线性方程组28 【正确答案】 将(1，一 1，1，一 1)T 代入方程组得 =对增广矩阵作初等行变换，有【知识模块】 线性方程组
27、29 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有当 a=0 时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一 1，0，1，0) T， n-1=(一1，0，0，1) T，于是方程组的通解为 x=k11+kn-1n-1，其中后 k1,，k n-1 为任意常数当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为 x=k，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组30 【正确答案】 由 AB=0 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，且 r(A)+r(B
28、)3(1)若k9，则，r(B)=2 ，于是 r(A)1，显然 r(A)1，故 r(A)=1此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3 一 r(A)=2，矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为 : ，k 1，k 2 为任意常数(2)若 k=9，则 r(B)=1，从而 1r(A)2若 r(A)=2，则 Ax=0 的通解为： ，k 1 为任意常数若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax 1+bx2+cx3=0，不妨设 a0，则其通解为 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性方程组31 【正确答案】 (1)当 a0 时，方程组系数行列式 Ds0
29、，故方程组有惟一解由克拉默法则，将 Ds 的第一列换成 b，得行列式为且由数学归纳法，得 Dn=(n+1)an，则 Dn-1=nan-1因此 (2)当 a=0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n-1，所以方程组有无穷多组解，其通解为 x=(0，1，0) T+k(1，0，0)T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组32 【正确答案】 因 2,3,4 线性无关，故 r(A)3又 1,2,3 线性相关，因此由1,2,3,4 线性相关可知 r(A)3因此 r(A)=3，从而原方程的基础解系所含向量个数为 43=1，且由 即x=(1，一 2，1，0) T 满足方程 Ax=
30、0，所以 x=(1，一 2，1，0) T 是该方程组的基础解系又 b=a1+a2+a3+a4 =(1，1，1，1) T 是方程Ax=b 的一个特解因此由非齐次线性方程组解的结构可知，原方程的通解为【知识模块】 线性方程组33 【正确答案】 由于 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有 Ai=b (i=1，s)，当 x=k11+k22+kss，有 Ax=A(k11+k22+kss)=k1A1+k2A2+ksAs=b(k1+ks)=b，即 Ax=b，故 x 也是方程的解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组34 【正确答案】 【知识模块】 线性方程组35 【正确答案】
31、 方程组的增广矩阵可知要使原线性方程组有无穷多解，则有 1a4=0 及-a 一 a2=0，可知 a=一 1【知识模块】 线性方程组36 【正确答案】 所以，当 a=一 1，b=0 时，系数矩阵与增广矩阵的秩相等，也就是线性方程组有解，即存在 C，使 ACCA=B又当 a=一 1，b=0 时，【知识模块】 线性方程组37 【正确答案】 方程组的系数矩阵的行列式 =(1 一 )2(3 一 )一 2+8-4(3 一 )一(1 一 )+4(1 一 )=(1 一 )2(3 一 )一(3 一 ) =(3 一 )(1一 )2 一 1=(3 一 )( 一 2)要使齐次线性方程组有非零解，则 D=0，得 =0
32、或=2 或 =3将 的值分别代入原方程组并求解以上解均是非零解，所以当 =0 或 =2 或 =3时，该齐次线性方程组有非零解【知识模块】 线性方程组38 【正确答案】 把已知的通解改写为 设 c1=x3，c 2=x4，则有 所求方程组有 2 个自由未知数 x3，x 4，且对应的同解方程组为 且它以题中所给的 x 为通解【知识模块】 线性方程组39 【正确答案】 对方程组的增广矩阵 B 进行初等行变换可得由此可知，(1)1，一 2 时，系数矩阵与增广矩阵秩均为 3，且等于未知量的个数，因此方程组有唯一解；(2)=1 时，系数矩阵与增广矩阵秩均为 1，且小于未知量的个数，因此方程组有无穷多解；(3
33、)=一 2 时，系数矩阵秩为 2，增广矩阵秩为 3，二者不相等，因此方程组无解【知识模块】 线性方程组40 【正确答案】 设该非齐次方程组为 Ax=b，因为 r(A)=3，则 n 一 r(A)=43=1，故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 1， 2,3 均为方程组的解，因此齐次线性方程组 Ax=0 的一个非零解为故此方程组的通解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组41 【正确答案】 矩阵 A=(a1，a 2，a 3)，那么方程 Ax=b 有解的充要条件为 b 可由向量组 A 线性表示当方程 Ax=b 的系数行列式即当 a一 4 时，方程有唯一解，从而向量 b能由向量组 A 线性表示，且表示式惟一【知识模块】 线性方程组42 【正确答案】 当 a=一 4 时，增广矩阵于是当 =一 4，0 时，方程 Ax=b 无解，从而向量b 不能由向量 A 线性表示【知识模块】 线性方程组
