[考研类试卷]考研数学二(行列式、二次型)模拟试卷1及答案与解析.doc

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1、考研数学二(行列式、二次型)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(1, 2, 3)2 12 224 324 122 23 的标准形为 【 】(A)2y 12y 223y 32(B) 2y12y 223y 32(C) 2y12y 22(D)2y 12y 223y 32二、填空题2 设二次型 f(1, 2, 3) 12 22 322a 122 232 13 经正交变换化成了标准形 fy 222y 32,其中 p 为正交矩阵,则_ , _3 若二次型 f(1, 2, 3) 124 224 322 12 2134 23 为正定二次型,则

2、 的取值范围是_4 二次型 f(1, 2, 3)( 1 2)2( 2 3)2( 3 1)2 的秩为_5 已知二次型 f(1, 2, 3) 122 22b 324 124 132a 23(a0)经正交变换化成了标准形 f2y 122y 227y 32,求 a_、b_的值和正交矩阵 P_ 6 设有 n 元实二次型 f(1, 2, n)( 1a 12)2( 2a 22)2( n-1a n-1n)2( na n1)2,其中 a(i1,2,n) 为实数试问:当 a1,a 2,a n 满足_条件时,二次型 f 为正定二次型7 矩阵 A 的非零特征值是_ 8 _9 _10 _11 _12 _13 方程 0

3、的实根是_14 行列式 的第 4 行元素的余子式之和的值为_15 方程 0 的全部根是_16 _17 计算下列 n 阶行列式: (1) _; (2)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设二次型 f(1, 2, 3) 12 22 324 124 134 23,写出 f 的矩阵 A,求出 A 的特征值,并指出曲面 f(1, 2, 3)1 的名称19 设矩阵 A 相似于对角娃阵 (1)求 a 的值;(2)求一个正交变换,将二次型 f(1, 2, 3) TA 化为标准形,其中 ( 1, 2, 3)T20 设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵,试判定分块矩阵 C 是否为正定矩阵?

4、21 设 A 为 m,2 实矩阵,E 为,n 阶单位矩阵,矩阵 BEA TA,试证:当0 时,矩阵 B 为正定矩阵22 设 c1,c 2,c n 均为非零实常数,A(a ij)nn 为正定矩阵,令bija ijcicj(i,j1,2,n),矩阵 B(b ij)nn,证明矩阵 B 为正定矩阵23 设矩阵 Ann 正定,证明:存在正定阵 B,使 A B224 设 1、 n 分别为,2 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值,X 1、X n 分别为对应于 1 和 n 的特征向量,记 f(X) ,XR n,X0 证明: 1f(X)n,maxf(X) nf(X n)25 设 A、B 为同阶实对称矩阵,A

5、的特征值全大于 a,B 的特征值全大于 b,a 、b为常数,证明:矩阵 AB 的特征值全大于 ab26 设 n 阶矩阵 A 正定,X( 1, 2, n)T,证明:二次型 f(1, 2, n)为正定二次型27 设实对称矩阵 A 满足 A23A2EO,证明: A 为正定矩阵28 设 A 是 n 阶实对称矩阵证明: (1)存在实数 c,使对一切 Rn,有 TAc T (2) 若 A 正定,则对任意正整数 k,A k 也是对称正定矩阵 (3)必可找到一个数 a,使 AaE 为对称正定矩阵29 设 A 为 n 阶实对称矩阵,秩(A)n,A ij 是 A(a ij)nn 中元素 aij 的代数余子式(i,

6、j1,2,n),二次型 f(1, 2, n) ij (1)记X( 1, 2, , n)T,把 f(1, 2, n)写成矩阵形式,并证明二次型 f(X)的矩阵为 A-1; (2)二次型 g(X)X TAX 与 f(X)的规范形是否相同 ?说明理由30 设 A、B 为同阶正定矩阵,且 ABBA,证明:AB 为正定矩阵31 设二次型 f(1, 2, 3)X TAXa 122 222 322b 13(b0),其中二次型 f的矩阵 A 的特征值之和为 1,特征值之积为12 (1)求 a、b 的值; (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵32 已知矩阵 B 相似于

7、对角矩阵 A(1)求 a 的值;(2)利用正交变换将二次型 XTBX 化为标准形,并写出所用的正交变换;(3)指出曲面 XTBX1 表示何种曲面33 已知齐次线性方程组 有非零解, 且矩阵 A晕正定矩阵(1)求 a 的值;(2)求当 XTX2 时,X TAX 的最大值,其中 X( 1, 2, 3)TR334 设 D 为正定矩阵,其中 A,B 分别为 m 阶,n 阶对称矩阵,C 为mn 矩阵 (1)计算 PTDP,其中 P ,(E k 为 k 阶单位矩阵); (2)利用(1)的结果判断矩阵 BC TA-1C 是否为正定矩阵,并证明你的结论35 已知二次型 f(1, 2, 3)X TA 在正交变换

8、 Qy 下的标准形为 y12y 22,且Q 的第 3 列为 ()求矩阵 A; ()证明 AE 为正定矩阵,其中 E为 3 阶单位矩阵考研数学二(行列式、二次型)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f 既不正定(因 f(0,0,1)40) 也不负定( 因 f(1,0,0)20) ,故 D、B 项都不对,又 f 的秩为 3,故 C 项不对,只有 A 项正确或用配方法【知识模块】 二次型二、填空题2 【正确答案】 0,0【知识模块】 二次型3 【正确答案】 21【知识模块】 二次型4 【正确答案】 2【知识模块】 二

9、次型5 【正确答案】 a 4,b 2;P【知识模块】 二次型6 【正确答案】 1(1) n+1a1,a 2,a n0【知识模块】 二次型7 【正确答案】 4【知识模块】 行列式8 【正确答案】 a 5a 3b【知识模块】 行列式9 【正确答案】 4【知识模块】 行列式10 【正确答案】 1 2 y2z 2【知识模块】 行列式11 【正确答案】 1a a 2a 3a 4a 5【知识模块】 行列式12 【正确答案】 360【知识模块】 行列式13 【正确答案】 t6【知识模块】 行列式14 【正确答案】 28【知识模块】 行列式15 【正确答案】 1,2,3【知识模块】 行列式16 【正确答案】

10、10【知识模块】 行列式17 【正确答案】 (1)(1)(2)( n1) (2)( 1) n-1(n1) n-2【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 A ; 1 21, 35; 曲面 f(1, 2, 3)1 为双叶双曲面【知识模块】 二次型19 【正确答案】 (1)A 的特征值为 6,6,2,故由 A 可相似对角化知矩阵6EA 的秩为 1, a0 (2)f TA( TA) TA (TA TAT) T ,故 f 的矩阵为 (AA T) B,计算可得 B 的特征值为 16, 23, 37,对应的特征向量分别可取为1(0,0,1) T, 2(1 ,

11、1,0) T, 3(1,1,0) T,故有正交矩阵使得 P-1BPP TBPdiag(6,3,7),所以,在正交变换 下,可化厂成标准形 f 6y123y 227y 32【知识模块】 二次型20 【正确答案】 取 m+n 维非零列向量 Z ,其中 X、Y 分别为 m、n 维向量,故 x、y 不全为零,不妨假定 X0,由条件有 XTAX0,Y TBY0,故对 Z0,有ZTCZ XT YT X TAXY TBY0,又 CTC,故 C 正定【知识模块】 二次型21 【正确答案】 B TB,对任意 n 维非零列向量 X,有 XTX0,(AX) T(AX)0,故对 X0 有 XTBXX T(EA TA)

12、XX TX(AX) T(AX)0,因此,对称阵 B 正定【知识模块】 二次型22 【正确答案】 由 bjib ij,知 B 对称若 1, 2, n 不全为 0,则c11,c 22,c nn 不全为零,此时,( 1, 2, n)B(1, 2, n)T acc a(c)(c)0,故 B 正定【知识模块】 二次型23 【正确答案】 因为 A 正定,故存在正交阵 P,使【知识模块】 二次型24 【正确答案】 根据题意得,必存在正交变换 XPY(P 为正交矩阵,Y(y 1,y n)T),使得 XTAX 1y12 nyn2n(y12y n2) nY2 由于正交变换不改变向量长度,故有Y 2X 2X TX,

13、上式即XTAXnXTX,当 X0 时, XTX0,即得 f(X) n,又 f(Xn) n,于是得 maxf(X) n【知识模块】 二次型25 【正确答案】 设 为 AB 的任一特征值,则有 X0,使(A B)XX (AB)X(a b)XX(ab)X (AaE) (BbE)X(a b)X,故 (ab)为(A aE)(BbE)的特征值,由条件易知 AaE 及 BbE 均正定,故(AaE) (BbE)正定,因而它的特征值 (ab)0, a b,即AB 的任一特征值 都大于 ab【知识模块】 二次型26 【正确答案】 由于 A 正定,故A0,且 A-1 正定,故对于任意 X0,XR n,有 XTA-1

14、X0故f(1, 2, n) 正定【知识模块】 二次型27 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值,则存在 X0,使 AXX,于是(A23A 2E)X( 232)X0, 2320 1 或 A2,因此 A 的特征值均大于 0,故 A 正定【知识模块】 二次型28 【正确答案】 (1)设 A 的特征值为 1, 2, n令cmax 1, 2, n ,则存在正交变换 Py ,使TA iyi2,且 yTy T,故 TA cy Tyc T (2)设 A 的特征值为 1, n,则 i0(i 1, ,n),于是,由 Ak 的特征值为1k, nk,它们全都大于 0,可知 Ak 为正定矩阵 (3)因为(AaE) T

15、AaE ,所以 AaE 对称又若 A 的特征值为 1, n,则 AaE 的特征值为1a , , na 若取 amax 11, n1 ,则ia i i11,所以 AaE 正定【知识模块】 二次型29 【正确答案】 因秩(A)n,故 A可逆,A -1 A*,从而(A -1)T(A T)-1A -1,故 A-1 也是实对称矩阵,因此二次型 f(X)的矩阵为 (2)因为(A -1)TAA-1(A T)-1EA -1,所以 A 与 A-1 合同,于是 g(X)与 f(X)有相同的规范形【知识模块】 二次型30 【正确答案】 因 A、B 正定,有 ATA,B TB,故(AB) TB TATBA AB,即

16、AB 也是对称矩阵因 A 正定,存在正定阵 S,使 AS 2,于是 S-1(AB)SS -1SSBSSBSS TBS,由于 B 正定,故与 B 合同的矩阵 STBS 正定,故 STBS 的特征值全都大于零,而 S-1(AB)SS TBS,说明 AB 与 STBS 相似,由于相似矩阵有相同的特征值,故 AB 的特征值(即 STBS 的特征值)全都大于零,因而对称阵 AB 正定【知识模块】 二次型31 【正确答案】 (1)f 的矩阵为 A 由 1 2 3a2(2)1,及 123 A2( 2ab 2)12,解得 a1,b2 (2)正交矩阵 P,可使 PTAP ,故在正交变换 下,f 的标准形为 f2

17、y 122y 223y 32【知识模块】 二次型32 【正确答案】 (1)由 B 相似于对角阵,知对应于 B 的二二重特征值 6 的线性无关特征向量有 2 个, r(6EB)1, a0: (2)二次型 fX TBX 的矩阵为A (BB T) ,正交矩阵 P ,可使 PTAP,故 f 在正交变换 XPY 下化成的标准形为 f6y 127y 223y 32;(3)单叶双曲面【知识模块】 二次型33 【正确答案】 (1)由方程组的系数行列式 a(a1)(a3)0, a 的取值范围为:0,1,3,再由矩阵 A 正定,得 a3;(2) 可求得 A 的最大特征值为 10,设对应的单位特征向量为 (即 A1

18、0,且 T1)对二次型 XTAX,存在正交变换 XPY,使 XTAX 1y12 2y22 3y3210(y12y 22y 32),当XTXY TYy 12y 22y 322 时,有 XTAX10220,又 X0 满足X0TX02,且 X0TAX0 2 T(A)2 T(10)20( T)20,综上可知 XTAX20【知识模块】 二次型34 【正确答案】 (1)p TDP ; (2)矩阵 BC TAC 是正定矩阵证明:由(1)知 D 合同于矩阵 M ,又 D 为正定矩阵,所以 M 为正定矩阵因 M 为对称矩阵,故 BC TA-1C 为对称矩阵由 M 正定,知对 m 维零向量 (0,0,0) T 及

19、任意的 n 维非零向量 y (y1,y 2,y n)T,有故对称矩阵 BC TA-1C 为正定矩阵【知识模块】 二次型35 【正确答案】 () 由条件知,A 的特征值为 1, 1,0,且 (1,0,1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设 A 的属于特征值 1 的特征向量为 ( 1, 2, 3)T,则 ,得 1 30,取 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量为(1, 0,1) T、(0,1,0) T得正交矩阵 Q ,则有QTAQ diag(1,1,0),故 AQdiag(1,1,0)Q T ()AE 的特征值为 2,2,1 都大于零,且 AE 为实对称矩阵,所以 AE 为正定矩阵【知识模块】 二次型

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