1、考研数学二（行列式、二次型）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(1， 2， 3)2 12 224 324 122 23 的标准形为 【 】（A）2y 12y 223y 32（B） 2y12y 223y 32（C） 2y12y 22（D）2y 12y 223y 32二、填空题2 设二次型 f(1， 2， 3) 12 22 322a 122 232 13 经正交变换化成了标准形 fy 222y 32，其中 p 为正交矩阵，则_ ， _3 若二次型 f(1， 2， 3) 124 224 322 12 2134 23 为正定二次型，则
2、 的取值范围是_4 二次型 f(1， 2， 3)( 1 2)2( 2 3)2( 3 1)2 的秩为_5 已知二次型 f(1， 2， 3) 122 22b 324 124 132a 23(a0)经正交变换化成了标准形 f2y 122y 227y 32，求 a_、b_的值和正交矩阵 P_ 6 设有 n 元实二次型 f(1， 2， n)( 1a 12)2( 2a 22)2( n-1a n-1n)2( na n1)2，其中 a(i1，2，n) 为实数试问：当 a1，a 2，a n 满足_条件时，二次型 f 为正定二次型7 矩阵 A 的非零特征值是_ 8 _9 _10 _11 _12 _13 方程 0
3、的实根是_14 行列式 的第 4 行元素的余子式之和的值为_15 方程 0 的全部根是_16 _17 计算下列 n 阶行列式： (1) _； (2)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设二次型 f(1， 2， 3) 12 22 324 124 134 23，写出 f 的矩阵 A，求出 A 的特征值，并指出曲面 f(1， 2， 3)1 的名称19 设矩阵 A 相似于对角娃阵 (1)求 a 的值；(2)求一个正交变换，将二次型 f(1， 2， 3) TA 化为标准形，其中 ( 1， 2， 3)T20 设 A、B 分别为 m、n 阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C 是否为正定矩阵?
4、21 设 A 为 m，2 实矩阵，E 为，n 阶单位矩阵，矩阵 BEA TA，试证：当0 时，矩阵 B 为正定矩阵22 设 c1，c 2，c n 均为非零实常数，A(a ij)nn 为正定矩阵，令bija ijcicj(i，j1，2，n)，矩阵 B(b ij)nn，证明矩阵 B 为正定矩阵23 设矩阵 Ann 正定，证明：存在正定阵 B，使 A B224 设 1、 n 分别为，2 阶实对称矩阵 A 的最小和最大特征值，X 1、X n 分别为对应于 1 和 n 的特征向量，记 f(X) ，XR n，X0 证明： 1f(X)n，maxf(X) nf(X n)25 设 A、B 为同阶实对称矩阵，A
5、的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a 、b为常数，证明：矩阵 AB 的特征值全大于 ab26 设 n 阶矩阵 A 正定，X( 1， 2， n)T，证明：二次型 f(1， 2， n)为正定二次型27 设实对称矩阵 A 满足 A23A2EO，证明： A 为正定矩阵28 设 A 是 n 阶实对称矩阵证明： (1)存在实数 c，使对一切 Rn，有 TAc T (2) 若 A 正定，则对任意正整数 k，A k 也是对称正定矩阵 (3)必可找到一个数 a，使 AaE 为对称正定矩阵29 设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)n，A ij 是 A(a ij)nn 中元素 aij 的代数余子式(i，
6、j1，2，n)，二次型 f(1， 2， n) ij (1)记X( 1， 2， ， n)T，把 f(1， 2， n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(X)的矩阵为 A-1； (2)二次型 g(X)X TAX 与 f(X)的规范形是否相同 ?说明理由30 设 A、B 为同阶正定矩阵，且 ABBA，证明：AB 为正定矩阵31 设二次型 f(1， 2， 3)X TAXa 122 222 322b 13(b0)，其中二次型 f的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为12 (1)求 a、b 的值； (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵32 已知矩阵 B 相似于
7、对角矩阵 A(1)求 a 的值；(2)利用正交变换将二次型 XTBX 化为标准形，并写出所用的正交变换；(3)指出曲面 XTBX1 表示何种曲面33 已知齐次线性方程组 有非零解， 且矩阵 A晕正定矩阵(1)求 a 的值；(2)求当 XTX2 时，X TAX 的最大值，其中 X( 1， 2， 3)TR334 设 D 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为mn 矩阵 (1)计算 PTDP，其中 P ，(E k 为 k 阶单位矩阵)； (2)利用(1)的结果判断矩阵 BC TA-1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论35 已知二次型 f(1， 2， 3)X TA 在正交变换
8、 Qy 下的标准形为 y12y 22，且Q 的第 3 列为 ()求矩阵 A； ()证明 AE 为正定矩阵，其中 E为 3 阶单位矩阵考研数学二（行列式、二次型）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f 既不正定(因 f(0，0，1)40) 也不负定( 因 f(1，0，0)20) ，故 D、B 项都不对，又 f 的秩为 3，故 C 项不对，只有 A 项正确或用配方法【知识模块】 二次型二、填空题2 【正确答案】 0，0【知识模块】 二次型3 【正确答案】 21【知识模块】 二次型4 【正确答案】 2【知识模块】 二
9、次型5 【正确答案】 a 4，b 2；P【知识模块】 二次型6 【正确答案】 1(1) n+1a1，a 2，a n0【知识模块】 二次型7 【正确答案】 4【知识模块】 行列式8 【正确答案】 a 5a 3b【知识模块】 行列式9 【正确答案】 4【知识模块】 行列式10 【正确答案】 1 2 y2z 2【知识模块】 行列式11 【正确答案】 1a a 2a 3a 4a 5【知识模块】 行列式12 【正确答案】 360【知识模块】 行列式13 【正确答案】 t6【知识模块】 行列式14 【正确答案】 28【知识模块】 行列式15 【正确答案】 1，2，3【知识模块】 行列式16 【正确答案】
10、10【知识模块】 行列式17 【正确答案】 (1)(1)(2)( n1) (2)( 1) n-1(n1) n-2【知识模块】 行列式三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 A ； 1 21， 35； 曲面 f(1， 2， 3)1 为双叶双曲面【知识模块】 二次型19 【正确答案】 (1)A 的特征值为 6，6，2，故由 A 可相似对角化知矩阵6EA 的秩为 1， a0 (2)f TA( TA) TA (TA TAT) T ，故 f 的矩阵为 (AA T) B，计算可得 B 的特征值为 16， 23， 37，对应的特征向量分别可取为1(0，0，1) T， 2(1 ，
11、1，0) T， 3(1，1，0) T，故有正交矩阵使得 P-1BPP TBPdiag(6，3，7)，所以，在正交变换 下，可化厂成标准形 f 6y123y 227y 32【知识模块】 二次型20 【正确答案】 取 m+n 维非零列向量 Z ，其中 X、Y 分别为 m、n 维向量，故 x、y 不全为零，不妨假定 X0，由条件有 XTAX0，Y TBY0，故对 Z0，有ZTCZ XT YT X TAXY TBY0，又 CTC，故 C 正定【知识模块】 二次型21 【正确答案】 B TB，对任意 n 维非零列向量 X，有 XTX0，(AX) T(AX)0，故对 X0 有 XTBXX T(EA TA)
12、XX TX(AX) T(AX)0，因此，对称阵 B 正定【知识模块】 二次型22 【正确答案】 由 bjib ij，知 B 对称若 1， 2， n 不全为 0，则c11，c 22，c nn 不全为零，此时，( 1， 2， n)B(1， 2， n)T acc a(c)(c)0，故 B 正定【知识模块】 二次型23 【正确答案】 因为 A 正定，故存在正交阵 P，使【知识模块】 二次型24 【正确答案】 根据题意得，必存在正交变换 XPY(P 为正交矩阵，Y(y 1，y n)T)，使得 XTAX 1y12 nyn2n(y12y n2) nY2 由于正交变换不改变向量长度，故有Y 2X 2X TX，
13、上式即XTAXnXTX，当 X0 时， XTX0，即得 f(X) n，又 f(Xn) n，于是得 maxf(X) n【知识模块】 二次型25 【正确答案】 设 为 AB 的任一特征值，则有 X0，使(A B)XX (AB)X(a b)XX(ab)X (AaE) (BbE)X(a b)X，故 (ab)为(A aE)(BbE)的特征值，由条件易知 AaE 及 BbE 均正定，故(AaE) (BbE)正定，因而它的特征值 (ab)0， a b，即AB 的任一特征值 都大于 ab【知识模块】 二次型26 【正确答案】 由于 A 正定，故A0，且 A-1 正定，故对于任意 X0，XR n，有 XTA-1
14、X0故f(1， 2， n) 正定【知识模块】 二次型27 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，则存在 X0，使 AXX，于是(A23A 2E)X( 232)X0， 2320 1 或 A2，因此 A 的特征值均大于 0，故 A 正定【知识模块】 二次型28 【正确答案】 (1)设 A 的特征值为 1， 2， n令cmax 1， 2， n ，则存在正交变换 Py ，使TA iyi2，且 yTy T，故 TA cy Tyc T (2)设 A 的特征值为 1， n，则 i0(i 1， ，n)，于是，由 Ak 的特征值为1k， nk，它们全都大于 0，可知 Ak 为正定矩阵 (3)因为(AaE) T
15、AaE ，所以 AaE 对称又若 A 的特征值为 1， n，则 AaE 的特征值为1a ， ， na 若取 amax 11， n1 ，则ia i i11，所以 AaE 正定【知识模块】 二次型29 【正确答案】 因秩(A)n，故 A可逆，A -1 A*，从而(A -1)T(A T)-1A -1，故 A-1 也是实对称矩阵，因此二次型 f(X)的矩阵为 (2)因为(A -1)TAA-1(A T)-1EA -1，所以 A 与 A-1 合同，于是 g(X)与 f(X)有相同的规范形【知识模块】 二次型30 【正确答案】 因 A、B 正定，有 ATA，B TB，故(AB) TB TATBA AB，即
16、AB 也是对称矩阵因 A 正定，存在正定阵 S，使 AS 2，于是 S-1(AB)SS -1SSBSSBSS TBS，由于 B 正定，故与 B 合同的矩阵 STBS 正定，故 STBS 的特征值全都大于零，而 S-1(AB)SS TBS，说明 AB 与 STBS 相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故 AB 的特征值(即 STBS 的特征值)全都大于零，因而对称阵 AB 正定【知识模块】 二次型31 【正确答案】 (1)f 的矩阵为 A 由 1 2 3a2(2)1，及 123 A2( 2ab 2)12，解得 a1，b2 (2)正交矩阵 P，可使 PTAP ，故在正交变换 下，f 的标准形为 f2
17、y 122y 223y 32【知识模块】 二次型32 【正确答案】 (1)由 B 相似于对角阵，知对应于 B 的二二重特征值 6 的线性无关特征向量有 2 个， r(6EB)1， a0： (2)二次型 fX TBX 的矩阵为A (BB T) ，正交矩阵 P ，可使 PTAP，故 f 在正交变换 XPY 下化成的标准形为 f6y 127y 223y 32；(3)单叶双曲面【知识模块】 二次型33 【正确答案】 (1)由方程组的系数行列式 a(a1)(a3)0， a 的取值范围为：0，1，3，再由矩阵 A 正定，得 a3；(2) 可求得 A 的最大特征值为 10，设对应的单位特征向量为 (即 A1
18、0，且 T1)对二次型 XTAX，存在正交变换 XPY，使 XTAX 1y12 2y22 3y3210(y12y 22y 32)，当XTXY TYy 12y 22y 322 时，有 XTAX10220，又 X0 满足X0TX02，且 X0TAX0 2 T(A)2 T(10)20( T)20，综上可知 XTAX20【知识模块】 二次型34 【正确答案】 (1)p TDP ； (2)矩阵 BC TAC 是正定矩阵证明：由(1)知 D 合同于矩阵 M ，又 D 为正定矩阵，所以 M 为正定矩阵因 M 为对称矩阵，故 BC TA-1C 为对称矩阵由 M 正定，知对 m 维零向量 (0，0，0) T 及
19、任意的 n 维非零向量 y (y1，y 2，y n)T，有故对称矩阵 BC TA-1C 为正定矩阵【知识模块】 二次型35 【正确答案】 () 由条件知，A 的特征值为 1， 1，0，且 (1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设 A 的属于特征值 1 的特征向量为 ( 1， 2， 3)T，则 ，得 1 30，取 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量为(1， 0，1) T、(0，1，0) T得正交矩阵 Q ，则有QTAQ diag(1，1，0)，故 AQdiag(1，1，0)Q T ()AE 的特征值为 2，2，1 都大于零，且 AE 为实对称矩阵，所以 AE 为正定矩阵【知识模块】 二次型
