1、考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 记行列式 为 f(x)，则方程 f(x)0 的根的个数为（A）1 （B） 2（C） 3（D）42 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（A）当 mn 时，必有行列式AB0 （B）当 mn 时，必有行列式AB0（C）当 nm 时，必有行列式AB0 （D）当 nm 时，必有行列式AB03 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQc 的可逆矩阵 Q 为（A）（B）（C）（D）4
2、设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则（A）交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B* （B）交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*的第 1 列与第 2 列得B * （D）交换 A*的第 1 行与第 2 行得B *5 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的1 倍加到第 2 列得 C，记 P ，则（A）CP 1 AP （B） CPAP 1 （C） CP TAP （D）CPAP T 6 设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，
3、且 PTAP 若P( 1， 2， 3)，Q( 1 2， 2， 3)，则 QTAQ 为（A）（B）（C）（D）7 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第三行得单位矩阵，记 ，则 A（A）P 1P2 （B） P11 P2 （C） 2P1 （D） 2P11 8 设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 P1 AP 若P( 1， 2， 3)，Q( 1 2， 2， 3)，则 Q1 AQ（A）（B）（C）（D）9 设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A *是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA)*等于（A）kA * （B） kn1
4、A* （C） knA* （D）k 1 A* 10 设 A，B 均为 2 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵若A2，B3，则分块矩阵 的伴随矩阵为（A）（B）（C）（D）11 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A30，则（A）E A 不可逆，E A 不可逆 （B） EA 不可逆，EA 可逆（C） EA 可逆，EA 可逆 （D）E A 可逆，E A 不可逆 12 设向量组 I： 1， 2， r，可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则下列命题正确的是（A）若向量组 I 线性无关，则 rs （B）若向量组 I 线性相关，则 rs（C）若向量组线性无关，则 rs
5、（D）若向量组线性相关，则 rs13 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有（A） 1， 2， 3，k 1 2 线性无关 （B） 1， 2， 3，k 1 2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1k 2 线性无关 （D） 1， 2， 3， 1k 2 线性相关 14 设向量组 I： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组必线性相关 （B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关 （D）当 rs 时，向量组 I 必
6、线性相关15 设 A，B 为满足 AB0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 16 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1 2)线性无关的充分必要条件是（A） 10 （B） 20 （C） 10 （D） 20 17 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 为 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A
7、 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关 18 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1 2， 2 3， 3 1 （B） 1 2， 2 3， 3 1（C） 12 2， 22 3， 32 1 （D） 12 2， 22 3， 32 1 19 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值1，1 的特征向量，向量 3满足 A3 2 3 (1)证明 1， 2，
8、3 线性无关； (2)令 P( 1， 2， 3)，求P1 AP20 设 ，其中 c1，c 2，c 3，C 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（A） 1， 2， 3 （B） 1， 2， 4 （C） 1， 3， 4 （D） 2， 3， 4 21 设 A，B，c 均为 n 阶矩阵若 ABC，且 B 可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 二、填空题22 设三阶方阵 A，B 满足 A2BABE，其中 E 为三阶单位矩阵，
9、若 A ，则B _23 设矩阵 ，矩阵 B 满足 ABA*2BA *E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则B_24 设 1， 2， 3)；均为 3 维列向量，记矩阵 A 1， 2， 3)，B( 1 2 3， 12 24 3， 13 29 3) 如果 A1，那么B _25 设矩阵 ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BAB2E ，则B _26 设 A，B 为 3 阶矩阵，且A33，B2，A 1 B2，则AB 1 _。27 设 A 为 3 阶矩阵，A3，A *为 A 的伴随矩阵，若交换 A 的第 1 行与第 2行得矩阵 B，则BA * _28 设 A(a ij)是三阶非零矩阵，
10、A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式若aijA ij0(i ， j1，2，3) ，则A _29 设 ，E 为 4 阶单位矩阵，且 B(EA) 1 (EA)，则(EB) 1 _30 设 为 3 维列向量， T 是 的转置。若 ，则T_31 已知向量组 1(1 ，2 ，1，1)， 2(2，0，t，0)， 3(0，4，5，2)的秩为 2，则 t_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。32 已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A1 BB 一 4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵(1)证明：矩阵 A2E 可逆；(2)若 ，求矩阵 A33 已知 ，且 A2ABE，其中 E
11、是 3 阶单位矩阵，求矩阵B34 设(2EC 1 B)ATC 1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵， AT 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，求 A35 设矩阵 ，矩阵 X 满足 A*XA 1 2X ，其中 A*是 A的伴随矩阵，求矩阵 X。36 已知矩阵 ，且矩阵 X 满足 AXABXBAXB BXA E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X。37 设 ，B 为 3 阶非零矩阵，且 AB0，则 t_38 设矩阵 ，则 A3 的秩为_ 39 已知 1(1 ，4，0，2) T， 2(2，7，1，3) T， 3(0，1，1，a)T， (3，10，b，4) T，问： (1)a，b 取何值时， 不能由 1
12、， 2， 3 线性表示? (2)a，b 取何值时， 可由口 1， 2， 3 线性表示? 并写出此表达式40 已知向量组 与向量组具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表示，求 a，b 的值41 确定常数 a，使向量组 1(1 ，1，a)， 2(1，a ，1)， 3 一(a，1，1)可由向量组 1(1 ，1，a)。 2(2，a，4) ， 2(2，a ，a)线性表示，但向量组1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示42 设向量组 1(1 ，0， 1)T， 2(0，1，1) T， 3 (1，3，5) T 不能由向量组1(1 ，1，1) T， 2(1， 2，3) T， 3(3，
13、4，a) T 线性表示 (1) 求 a 的值 (2)将1， 2， 3 用 1， 2， 3 线性表示43 设向量组 1(1 ，1， 1，3) T， 2(1，一 3，5，1) T， 3(3，2，1，p2)T， 4(2，6，10，p) T， (1)户为何值时，该向量组线陛无关 ?并在此时将向量(4，1，6 ，10) T 用 1， 2， 3， 4 线性表出； (2)p 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 分析 本题
14、实质上是考查四阶行列式的计算问题，可利用行列式的性质进行计算，得到 f(x)后，即可确定其根的个数 详解 因为由此可知 f(x)0 的根的个数为 2，故应选(B) 评注 由于数学二只要求考查线性代数初步，相对内容较少，行列式的计算问题基本上每年出一题，因此利用行列式的定义、性质和按行或列展开定理进行计算应熟练掌握【知识模块】 行列式2 【正确答案】 B【试题解析】 分析 四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断 AB 是否满秩即可详解 因为 AB 为 m 阶方阵，且r(AB)minr(
15、A)，r(B)minm，n)，当 mn 时，由上式可知，r(AB)nm，即 AB 不是满秩的，故有行列式AB0故应选(B)评注 本题不知矩阵 AB 的具体元素，因此直接应用行列式的有关计算方法进行求解是困难的对于此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用：1矩阵的秩(判断行列式是否为零)；2行(列) 向量组的线性相关性；3方程组解的判定；4特征值和相似矩阵的性质等进行计算【知识模块】 行列式3 【正确答案】 D【试题解析】 分析 本题考查初等矩阵的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而 Q 即为这两个初等矩阵的乘积 详解 由题设，有 ，于是，故应选(D)【知识
16、模块】 矩 阵4 【正确答案】 C【试题解析】 分析 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可 详解 由题设，存在初等矩阵 E12(交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得)，使得 E12AB，于是 B*(E 12A)*A *E12*A *E 12.E 121 A *E12， 即 A *E12B *， 故应选(C) 评注 注意伴随矩阵的运算性质：AA *A *AA E，当 A 可逆时，A*AA 1 ，(AB) *B *A*【知识模块】 矩 阵5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可得，而，则有 CPAP 1 故应选(B)【
17、知识模块】 矩 阵6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 QP 于是即(A)正确【知识模块】 矩 阵7 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件有 P2AP1E 得 AP 21 EP11 P 2P11 故应选(D)【知识模块】 矩 阵8 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件有 QP ，因此故应选(B)【知识模块】 矩 阵9 【正确答案】 B【试题解析】 分析 利用伴随矩阵的定义讨论即可若加强条件，则可令 A 可逆 详解 1 采用加强条件的技巧，设 A 可逆，则由 AA*A *AA E，知 A*AA 1 ， 于是(kA) *kA(kA)1 k n k n1 AA 1 k n1 A* 故应选(
18、B) 题设 k0，1 ，n3 ，主要是为了做到四个选项只有一个是正确的 详解 2 由 A*的定义，设 A(a ij)nn，其元素 aij 的代数余子式记作 Aij，则矩阵 kA(ka ij)nn，若其元素的代数余子式记作 ij(i，j1，2，n)，由行列式性质有 ijk n1 Aij(i，j1，2，n) 从而(kA)*k n1 A* 评注 涉及与 A*有关的题目，一般利用 A*的定义和公式AA*AE【知识模块】 矩 阵10 【正确答案】 B【试题解析】 利用伴随矩阵的公式，有。应选(B) 【知识模块】 矩 阵11 【正确答案】 C【试题解析】 分析 利用逆矩阵的定义或特征值进行讨论 详解 1
19、由 A30 得 EEA 3 (EA)(EAA 2)， EEA 3(EA)(EA A 2) 所以 EA，EA 均可逆故选(C) 详解 2 由 A30 知， A 的任意特征值 必满足30，即 0 为 A 的 n 重特征值，于是 1 为 EA 和 EA 的 n 重特征值，即 EA 和 EA 都没有零特征值所以 EA，EA 均可逆故选(C) 【知识模块】 矩 阵12 【正确答案】 A【试题解析】 详解 因向量组 I 能由向量组线性表示，所以 r(I)r() ，即 r(1， 2， ， r)r(1， 2， s)s， 若向量组 I 线性无关，则r(1， 2， ， r)r，所以 r5故应选(A) 评注 这是线
20、性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案【知识模块】 向 量13 【正确答案】 A【试题解析】 分析 向量组的线性相关性可通过向量组的秩来确定，若向量组的秩等于向量组中向量的个数，则向量组线性无关本题向量组中的向量含有常数，也可取特殊的值排除错误选项 详解 1 由题设知 1， 2， 3， 1 线性无关，且存在 k1，k 2，k 3 使 1k 11k 21k 33， 于是通过初等列变换有 (1， 2， 3， k1 2)( 1， 2， 3，kk 12kk 22kk 33 2)( 1， 2， 3， 2)， 因此 r( 1， 2， 3，k 1 2)r( 1， 2， 3， 2)4， 故1
21、， 2， 3，k 1 2 线性无关 详解 2 取 k0，由条件知向量组 1， 2， 3 线性：无关， 1， 2， 3， 1 线性相关，所以应排除(B)、(C) 取 k1，因 可由1， 2， 3 线性表示， 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3， 1 2 线性无关，因而可排除(D) 故应选(A) 【知识模块】 向 量14 【正确答案】 D【试题解析】 分析 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I： 1， 2， r，可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则当 rs 时，向量组 I 必线性相关或其逆否命题：若向量组 I： 1， 2， r，可由向量组： 1， 2
22、， s 线性表示，且向量组 I 线性无关，则必有 rs可见正确选项为(D)本题也可通过举反例用排除法找到答案 详解 用排除法：如，则 10. 1 0.2，但 1， 2 线性无关，排除(A)； ，则 1， 2 可由 1 线性表示，但 1 线性无关，排除(B) ； ， 1 可由 1， 2 线性表示，但 1线性无关，排除(C) 故应选 (D)评注 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项如果在平时学习时，有意识地对教材上的已有定理分析其在前提条件有所变化的情况下，相应结论的可能变化，并找出适当的例子进行说明，对解答此类选择题将
23、是十分有益的【知识模块】 向 量15 【正确答案】 A【试题解析】 分析A ， B 的行(列)向量组是否线性相关，可从 A，B 是否行(或列)满秩或 Ax0(Bx0)是否有非零解进行分析讨论详解 设 A 为 mn 矩阵，B 为 ns 矩阵，则由 AB0 知，r(A)r(B)n 又 A，B 为非零矩阵，必有 r(A)0，r(B) 0可见 r(A)n，r(B)n，即 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故应选(A)评注 AB0 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1AB0r(A)r(B)n；2AB0B 的每列均为 Ax0 的解【知识模块】 向 量16 【正确答案】 B
24、【试题解析】 分析 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可详解 1 令 k 11k 2A(1 2)0，则 k 11 k211k 2220， (k 1k 21)1 k2220由于 1， 2 线性无关，于是有 当 20 时，显然有 k10，k 20，此时 1，A( 1 2)线性无关；反过来，若 1，A( 1 2)线性无关，则必然有 20(否则， 1 与 A(1 2) 11 线性相关)，故应选(B)详解 2由于 1,A(1 2) 111 22 1， 2 ，可见 1，A( 1 2)线性无关的充要条件是 20故应选(B)评注 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念【知
25、识模块】 向 量17 【正确答案】 A【试题解析】 详解 1 记 B( 1， 2， s)，则 (A1，A 2，A s)AB所以，若向量组 1， 2， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s ，向量组A1，A 2，A s 也线性相关，故应选(A) 详解 2 作为解题技巧，本题也可这样考虑：取 A0，则可排除(B)，(D)；取 AE，又可排除(C) ，故应选(A)【知识模块】 向 量18 【正确答案】 A【试题解析】 详解 1 直接可看出(A) 中的 3 个向量有关系 ( 1 2)( 2 3)( 3 1)， 即(A) 中的 3 个向量线性相关，故应选(A)详解 2 用定义进行判定
26、：令 x 1(1 2)x 2(2 3)x 3(3 2)0， 得 (x1x 3)1(x 1x 2)2 (x 2x 3)30因 1， 2， 3 线性无关，所以 又，故上述齐次线性方程组有非零解，即1 2， 2 3， 3 1 线性相关类似可得(B) ， (C)，(D)中的向量组都是线性无关的【知识模块】 向 量19 【正确答案】 (1)令 x 11x 22x 330 因为 A11 1， A 2 2， A3 2 3， 用 A 左乘得 x 11x 22x 330 得 2x 11x 320 因为 1， 2 分别为 A 的不同特征值对应的特征值向量，所以线性无关，于是x1x 30代入得 x2 口 220，又
27、 20，故 x20即有 1， 2， 3 线性无关(2)由 APA( 1， 2， 3)(A 1，A 2，A 3)( 1， 2， 2 3)由(1)知 P 可逆，故 P1 AP【试题解析】 分析 一个向量组的线性无关性常用定义证明，而且根据本题的条件容易想到用 A 左乘等式两边【知识模块】 向 量20 【正确答案】 C【试题解析】 详解 显然，秩( 1， 3， 4)秩 2，所以向量组1， 3， 4 线性相关，故应选(C) 评注 本题也可由 1， 3， 40 得向量组 1， 3， 4 线性相关【知识模块】 向 量21 【正确答案】 B【试题解析】 详解 设 A( 1， 2， n)，C (1， 2， s
28、)，由 ABC，则有( 1， 2， s) ( 1， 2， s)，可知 jb 1j1b 2j2b njn，(j1，2，n)即矩阵 C 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示，又因 B 为可逆矩阵，于是矩阵 A 的列向量组也可由矩阵 C 的列向量组线性：表示，即矩阵 c 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价故选(B)【知识模块】 向 量二、填空题22 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 先化简分解出矩阵 B，再取行列式即可详解 由 A2BA BE 知， (A 2E)B A E， 即 (AE)(AE)BAE，易知矩阵 AE 可逆，于是有 (AE)BE再两边取行列式，得 AEB1，因为AE，
29、所以 。评注 本题综合考查了矩阵运算与行列式的计算方法，此类问题一般都应先化简再计算【知识模块】 行列式23 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 先用公式 A*AAE 进行化简 详解 等式两边同时有乘A，得 ABA *A2BA *AA而A3。于是有 3AB6BA ， 即 (3A 6E)BA，两边取行列式，有 3A 一 6EBA3，而3A 6E27，故所求行列式为 评注 注意本题没有必要先由(3A6E)BA 求出B 再计算其行列式，而可直接利用方阵相乘的行列式公式：若 A，B 为 n 阶方阵，则ABAB【知识模块】 行列式24 【正确答案】 应填 2【试题解析】 分析 将 B 写成用 A
30、有乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可 由题设，有 B( 1 2 3， 12 24 3， 13 29 3)( 1， 2， 3) 于是有 B A。 122 详解2 用行列式性质对列向量组化简计算得B 1 2 3， 12 24 3， 13 29 3 1 2 3， 233， 25 3 1 2 3， 23 3，2 32 1， 2， 32。 评注 1 本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示一般地，若 1a 111a 122a 1nn， 2 a211a 222a 2nn， ma m11a m22a mnn，则有 1， 2， m
31、1， 2， 3) 。评注 2 作为做题技巧，可令 ，于是B2【知识模块】 行列式25 【正确答案】 应填 2【试题解析】 详解 由 BAB2E 得 B(AE)2E，两边取行列式，有 B AE4，而 AE 2，于是B2【知识模块】 行列式26 【正确答案】 应填 3【试题解析】 分析 本题考查矩阵的运算、行列式的性质 详解 由于AB 1 1(ABE)B 1 (ABAA 1 )B1 A(B A 1 )B1 A.A 1 B.B 1 3.2.2B 1 3 因此应填 3 评注 也可以由A.A 1 BEABAB 1 .B得A B 1 3【知识模块】 行列式27 【正确答案】 应填27【试题解析】 详解 因
32、为 BE 12A，A.A *AE，故 B A*E 12A.A*E 12AEA 3E 123 3.(1)27 故应填27【知识模块】 行列式28 【正确答案】 应填1【试题解析】 分析 根据已知条件易联想到利用重要公式 AA*AE 详解 由 aijA ij0，有 Aij一 aij(i，j 1，2，3)，得 A*A T，于是 AA*AA TAE， 两边取行列式得 A 2A 3，解得 A 1或A0 当A0 时，由 AATAE0，有 A0，与已知矛盾，所以A1 评注 也可以如下证明 A0：由 A 为非零矩阵，不妨设a110于是，根据行列式的按行展开定理得 Aa 11A11a 12A12a 13A13(
33、a 112a 122a 132)0【知识模块】 行列式29 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 已知矩阵等式求逆，总是应先从已知等式分解出左端含有待求逆的矩阵作为因子，而右端为单位矩阵的情形，这样相应的逆矩阵即可直接写出详解 由 B(EA) 1 (EA)，有 (EA)B EA，即 ABAB E 2E (E A)(E B)2E ，也即 (EA).(EB)E，故【知识模块】 矩 阵30 【正确答案】 应填 3。【试题解析】 分析 本题的关键是矩阵 T 的秩为 1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行(或任一非零行)，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成详解 由，于是评注 一般
34、地，若 n 阶矩阵 A 的秩为 1，则必有 b1、b 2 bn【知识模块】 矩 阵31 【正确答案】 应填 3【试题解析】 分析 向量组的秩小于向量的个数时，可用行列式为 0 或初等行变换来讨论详解 1 由于 r(1， 2， 3)2，则矩阵 的任一个三阶子阵的行列式的值为零，即 解得 t3详解 2r(1， 2， 3)2t25，即t3 评注 反求参数，一般均可联想到某行列式为零，但初等行变换对于具体的向量组始终是一个有力的工具【知识模块】 向 量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。32 【正确答案】 (1)由 2A1 BB4E，知 AB2B4A0从而(A2E)(B4E)8E，或(A
35、2E). (B4E)E故 A2E 可逆，且 (A 2E)1 (B4E) (2) 由(1)知 A2E8(B4E) 1 ，而故【试题解析】 分析 将给定矩阵等式化简整理为(A2E).CE，则可得到(1)的证明再由(1)得 A2E 8(B4E) 1 评注 在已知一矩阵等式的情况下，讨论某矩阵的可逆性、求逆矩阵或求某个矩阵，一般均应将已知等式化简为逆矩阵的定义形式进行分析【知识模块】 矩 阵33 【正确答案】 因A0，在 A2ABE 两边左乘 A1 ，得 ABA 1 ， 即 BAA 1 又由 从而【试题解析】 分析 利用 A 的可逆性将原矩阵方程化简，再求 B评注 解矩阵方程是考研的常见题型，一般利用
36、某些矩阵的可逆性先将已知方程化简，再求解【知识模块】 矩 阵34 【正确答案】 由题设得 C(2EC 1 B)ATE，即 (2CB)ATE 由于 2CB，2CB10，故 2CB 可逆于是 AE(2CB) 1 T (2cB) T1【试题解析】 将已知矩阵化简，再利用逆矩阵的性质求 A【知识模块】 矩 阵35 【正确答案】 矩阵等式两边同时左乘 A，得 AA *XAA 1 2AX，利用公式AA*AE，上式可化为 AXE2AX，即 (AE2A)XE，从而有 X( AE 2A)1 由于 ，故。【试题解析】 分析 若先计算出方程中的 A*及 A1 ，然后再解矩阵方程求 X，则计算过程会十分复杂为了避免求
37、 A*和 A1 ，可利用公式 A*AAA *AE，在等式两边同时左乘矩阵 A 进行化简 评注 涉及伴随矩阵 A*的计算或证明问题，一般都应注意联想到公式： A *AAA *AE【知识模块】 矩 阵36 【正确答案】 由题设关系式，有 AX(AB)BX(BA)E 。即 (AB)X(AB)E由于行列式AB 0，所以矩阵 AB 可逆，而 (AB)1 故 x(AB) 1 2【试题解析】 本题是解矩阵方程的问题，其一般步骤是先化简，再计算【知识模块】 矩 阵37 【正确答案】 应填3【试题解析】 详解 由 AB0 推知 r(A)r(B)3，而 r(B)0，于是 r(A)2，故有 ，从而可得 t3 评注
38、本题也可由 B 为 3 阶非零矩阵，且 AB0，知线性方程组 Ax0 存在非零解，故【知识模块】 矩 阵38 【正确答案】 应填 1【试题解析】 依矩阵乘法直接计算得 ，故 r(A3)1【知识模块】 矩 阵39 【正确答案】 因为所以(1)当 b2 时，线性方程组( 1， 2， 3)x 无解，此时 不能由 1， 2， 3 线性表示；(2)当 b2，a1 时，线性方程组( 1， 2， 3)x 有唯一解：x(x 1， x2，x 3)T(1，2，0) T， 于是 可唯一表示为 12 2； 当b2，a1 时，线性方程组( 1， 2， 3)x 有无穷多个解： x(x 1，x 2，x 3)T k(2，1，
39、 1)T(1，2，0) T (k 为任意常数) 这时 可由 1， 2， 3 线性表示为 (2k 1) 1(k2) 2k 3 (k 为任意常数)【试题解析】 分析 本题实质上是含参数方程 x11x 22x 33 是否有解的判定问题 评注 一向量是否可由一组向量线性表示与对应的线性方程组是否有解是等同的，因而本题是考查方程组的求解化矩阵为阶梯形时，应注意只能用行变换在化为阶梯形后，对参数 a、6 的讨论不要重复也不要遗漏，即应分来讨论【知识模块】 向 量40 【正确答案】 详解 1 因为 1 和 2 线性无关， 33 12 2，所以向量组1， 2， 3 线性相关，且秩为 2， 1， 2 是它的一个
40、极大线性无关组 由于向量组1， 2， 3 与 1， 2， 3 具有相同的秩，故 1， 2， 3 线性相关，从而行列式，由此解得 a3b 又 3 可由 1， 2， 3 线性表示，从而可由 1， 2 线性表示，于是向量组 1， 2， 3 线性相关，因此有，解得 2b100 于是得 a15，b5 详解 2 因 3 可由 1， 2， 3 线性表示，故线性方程组有解对增广矩阵施以初等行变换：由非齐次线性方程组有解的条件知， ，得 b5 又因为 1 和2 线性无关， 33 12 2，所以向量组 1， 2， 3 的秩为 2，而题设1， 2， 3，与 1， 2， 3 同秩，从而有 由此解得 a15 【试题解析
41、】 向量组 1， 2， 3 不含任何参数，其秩可直接计算出来为 2，从而向量组 1， 2， 3 的秩也可确定为 2即 1， 2， 3 线性相关，可导出其行列式为0，得到一个方程；为了求出两个参数，还需要一个方程，根据 3 可由 1， 2， 3线性表示，而 1， 2， 3 的秩为 2，因此 3 与 1， 2， 3 中的某两个向量线性相关，又可得一方程最终可解出两个参数当然，本题也可直接根据 3 可由1， 2， 3 线性表示，即对应的线性方程组有解，利用有解的判定求参数【知识模块】 向 量41 【正确答案】 对矩阵 作初等行变换，有当 a2时， ，显然 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，因此
42、a2； 当 a4 时， ，显然 2， 3 均不能由 1， 2， 3 线性表示，因此 a4 而当 a2 且 a4 时，r( 1， 2， 3)3，此时向量组 1， 2， 3 可由向量组 1， 2， 3 线性表示又，由题设，向量组 1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示，必有 a10 或 2aa 20，即 a1 或 a2 综上所述，满足题设条件的只能是 a1【试题解析】 分析 向量组 1， 2， 3 可由向量组 1， 2， 3 线性表示，相当于方程组： ix 11，x 22，x 33，i1，2，3 均有解，问题转化为 r(1， 2， 3)r( 1， 2， 3)，i1，2，3 是否均成立?这通过初等变换化阶梯形讨论即可而向量组 1， 2， 3 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示，相当于至少有一个向量(j1，2，3)不能由 1， 2， 3 线性表示，即至少有一方程组 ix 11，x 22，x 33，j1，2，3，无解 评注 1 向量组 1， 2， 3 不
