1、考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷 2 及答案与解析一、填空题1 矩阵 A= 的非零特征值是 _2 =_.3 =_.4 =_.5 =_.6 =_.7 方程 =0 的实根是_8 行列式 的第 4 行元素的余子式之和的值为_9 方程 =0 的全部根是_10 =_.11 设 A= ，则秩(AB)=_12 设 A= ， BO，满足 BA=O，则 t=_13 设 A= ，矩阵 B 满足 A2-AB=2B+4E则 B=_14 设 n(n3)阶方阵 A= 的秩为 n-1则 a=_15 设 A= 的伴随矩阵为 A*，且 A*BA=2BA-8E则矩阵 B=_16 设 A= ，n2 为正整数则 A*-2An-1=
2、_17 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则 A 的伴随矩阵 A*的秩为_18 设 n 阶方阵 A、B 的行列式分别为A=2，B=-3，A *为 A 的伴随矩阵，则行列式2A *B-1=_.19 设 A= ，则(A-2E) -1=_.20 =_.21 设 其中 ai0，b i0(i=1，2，n)，则秩(A)=_.22 设 A、B 为 3 阶方阵 且 A-1BA=6A+BA，则矩阵B=_.23 设矩阵 A 满足 A2+A-4E=O，其中 E 为单位矩阵，则 (A-E)-1=_.24 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 A=E-T，B=E+ T，其中 A 的
3、逆矩阵为 B，则 a=_.25 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知AB=2A+B，B= 则(A-E) -1=_.26 设 3 阶方阵 A 按列分块为 A=1， 2， 3。已知秩(A)=3，则 3 阶方阵B=1+22+321+(2-a)2+33，3 1+32的秩=_.27 设矩阵 A1= ，则 B 的伴随矩阵B*=_.二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 设有行列式 已知 1 703，3 159，975，10 959 都能被 13 整除，不计算行列式 D，证明 D 能被 13 整除29 计算下列 n 阶行列式：30 证明：(1)D n= (2)Dn=xn+a1x
4、n-1+an-1x+an考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷 2 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 4【知识模块】 行列式2 【正确答案】 a 5-a3b2【知识模块】 行列式3 【正确答案】 x 4【知识模块】 行列式4 【正确答案】 1-x 2-y2-z2【知识模块】 行列式5 【正确答案】 1-a+a 2-a3+a4-a5【试题解析】 先把第 2、3、4、5 行都加到第 1 行，再按第 1 行展开，得 D5=1-aD1，一般地有 Dn=1-aDn-1(n2)，并应用此递推公式.【知识模块】 行列式6 【正确答案】 -360【试题解析】 从第 j 列提出公因子 j(j=2，3，4， 5)
5、，再将第 j 列的(-1)倍加到第1 列得上三角行列式，D=5!(-3)=-360.【知识模块】 行列式7 【正确答案】 t=6【试题解析】 将第 2、3 列都加到第 1 列，并提出第 1 列的公因子，得 D=(t-6)(t2+3).【知识模块】 行列式8 【正确答案】 -28【试题解析】 可以直接计算亦可利用行列式按第 4 行展开的方法，得所求值等于下列行列式(它的前 4 行与给定行列式的前 4 行完全相同)的值：【知识模块】 行列式9 【正确答案】 1，2，3【试题解析】 利用范德蒙行列式的结果，得D=(2-1)(3-1)(x-1)(3-2)(x-2)(x-3).【知识模块】 行列式10
6、【正确答案】 -10【知识模块】 行列式11 【正确答案】 2【试题解析】 因 B 为满秩方阵，故秩(AB)=秩(A)=2【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 -3【试题解析】 由 BA=O 及 BO， A=0， t=-3【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 【试题解析】 B=(A+2E) -1(A2-4E)=(A+2E)-1(A+2E)(A-2E)=A-2E=【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 【试题解析】 r(A)=n-1 ， A=1+(n-1)a(1-a) n-1=0， 或 a=1，而当 a=1 时有 r(A)=1n-1，故必有 a= .【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 【试题解析
7、】 两端右乘 A-1，得 A*B=2B-8A-1，两端左乘 A 并利用 AA*=A E=-2E，得 -2B=2AB-8E， AB+B=4E， (A+E)B=4E， B=4(A+E)-1= .【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 O【试题解析】 A 2=2A，故 An-2An-1=An-2(A2-2A)=O【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 0【试题解析】 r(A 11)=2 A 中 3 阶子式、即每个元素的余子式均为零 A*=O故r(A*)=0【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 【试题解析】 2A *B-1=2 nA *B -1=2 nA nB -1= .【知识模块】 矩阵19 【正确答案
8、】 【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 【试题解析】 可利用分块对角阵求逆法，得【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 1【试题解析】 将 A 的第 1 行的 倍加到第 i 行(i=2，3，n)所得矩阵仅有第 1 行非零， 秩(A)=1或由 A=，其中 =(a1，a 2，a n)T=(b 1，b 2，b n)，及 AO，得 1r(A)=r()r()=1， r(A)=1【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 【试题解析】 用 A-1 右乘题给等式两端，再用 A 左乘两端，得 B=6A-AB (E-A)B=6A B=6(E-A)-1A【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 (A+2E)【试题解析】 O
9、=A 2+A-4E=(A-E)(A+2E)+2E-4E=(A-E)(A+2E)-2E， (A-E)(A-E)-1= (A+2E)【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 -1【试题解析】 T=2a2，E=AB=(E- T)(E+ T)=E+ T-T- (T)T=E+( -1-2a)T， -1-2a=0， a=-1【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 【试题解析】 AB-B-2A=O，(A-E)B-2(A-E)-2E=O，(A-E)(B-2E)=2E，(A-E) (B-2E)=E， (A-E)-1= (B-2E)=【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 【试题解析】 B= 1， 2， 3 ，因 A 为
10、满秩方阵，故 r(B)=【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 【试题解析】 B *=BB -1=A 1A 2-1【知识模块】 矩阵二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 【正确答案】 将第 1 列的 1000 倍、第 2 列的 100 倍、第 3 列的 10 倍都加到第4 列，则所得行列式的第 4 列各元素有公因子 13【知识模块】 行列式29 【正确答案】 (1)(x-1)(x-2)(x-n+1)把第 1 行的(-1)倍加到第 i 行(i=2，3n)，则得上三角行列式 (2)(-1) n-1(x-1)n-2先将第 2 行的(-1) 倍加到第 i行(i=3n)，再按第 1 列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n-1 列都加到第 1 列则得上三角行列式【知识模块】 行列式30 【正确答案】 (1)先按第 1 行展开并将(1，2) 元素的余子式按第 1 列展开，得递推关系式 Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2 Dn=aDn-1=b(Dn-1-aDn-2) Dn-aDn-1=bn-2(Dn-aDn-1)=bn，对称地存 Dn-bDn-1=an解方程组 (ab)亦可用数学归纳法证明(2)先把第 2 列的 x 倍加到第 1 列，再把第 3 列的 x2 倍加到第 1 列，最后把第 n 列的 xn-1 倍加到第 1 列，然后按第 1 列展开【知识模块】 行列式
