1、考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B、A+B、A -1+B-1 均为 n 阶可逆方阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A-B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -12 设 n 维行向量 = ，矩阵 A=I-T，B=I+2 T，其中 I 为 n 阶单位矩阵，则 AB=（A）0（B） -I（C） I（D）I+ T3 设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，则成立（A）ACB=E（B） CBA=E（C） BAC=E（D）BCA=E4 设 n 阶方阵 A 的伴随
2、矩阵为 A*，且A=a0 ，则 A*=（A）a（B）（C） an-1（D）a n5 设 则成立（A）AP 1P3=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B6 设三阶矩阵 A= ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1则必有（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+2b07 已知矩阵 A 相似于矩阵 B= ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于（A）2（B） 3（C） 4（D）58 设矩阵 A=(aij)33 满足 A*=AT，若 a11，a 12，a 13 为三个相等的正数，则 a11 等于二、填空题9 设
3、 A= ， B=P-1AP，其中 P 为 3 阶可逆矩阵，则 B2004-2A4=_.10 设 A=(aij)33 是实正交矩阵，且 a11=1。b=(1 ，0， 0)T，则线性方程组 Ax=b 的解是_11 已知 1， 2 均为 2 维向量，矩阵 A=21+2， 1-2，= 1， 2，若行列式A=6，则B =_.12 设 4 阶方阵 A=， 2， 3， 4，B=， 2， 3， 4，其中 ， ， 2， 3， 4 都是4 维列向量，且A=4， B=1 ，则A+B=_ 13 设 =(1， 2，3) ，= ，矩阵 A=T，则 An(n=2，3，)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4、14 设 B 是元素全为 1 的行阶方阵(n2)，证明：(E-B) -1=E-15 设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A2=E，B 2=E，A+B=0，证明：A+B=016 设 A 为 n 阶方阵且 AAT=E，A0求A+E17 设 矩阵 B 满足 AB=A+2B，求 B18 设 AP=PB，其中 求 A 及 A519 设 4 阶方阵 A 满足 A(E-1B)TCT=E，化简上述关系式并求 A20 设 n 阶非零实方阵 A 的伴随矩阵为 A*，且 A*=AT证明A0 21 将 n 阶可逆方阵 A 的第 i 行与第 j 行对换后的矩阵记作 B，(1) 证明：B 可逆；(2)求 AB-122 设矩
5、阵 A 的伴随矩阵 矩阵 B 满足 ABA-1=BA-1+3E，求B23 设 (1)求 A*(n=2，3，)；(2)若方阵 B 满足 A2+AB-A=E，求 B24 设实方阵 A=(aij)44 满足：(1)a ij=Aij(i，j=1，2， 3，4，其中 Aij 为 aij 的代数余子式)；(2)a 110，求A25 设 A*为 3 阶方阵 A 的伴随矩阵，A= ，求(3A) -1-2A*的值26 设 3 阶矩阵 A 可逆，且 A-1= A*为 A 的伴随矩阵，求(A *)-1.27 设 是 n 维非零列向量，矩阵 A=E-T证明：(1)A 2=A 的充要条件是T=1；(2)当 T=1 时，
6、A 不可逆28 已知矩阵 A=(aij)33 的第 1 行元素分别为 a11=1， a12=2，a 13=-1又知(A *)T=，其中 A*为 A 的伴随矩阵求矩阵 A29 已知三阶方阵 A 的行列式A2，矩阵 B= ，其中 Aij 为 A 的(i，j)元素的代数余子式(i，j=1 ，2，3)，求 AB30 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足(A *)-1BA*=BA*+8A，其中 A*为 A 的伴随矩阵，求矩阵 B考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因(A -1+B-1)EA(A+B)-
7、1B=(E+B-1A)(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E，故(A -1+B-1)-1=A(A+B)-1B【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 T=( )2+( )2= ，AB=(I- T)(I+2T)=I+2T-T-2T(T)=I+T-T=I，故(C)正确【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【试题解析】 当同阶方阵 P、Q 满足 PQ=E 时，有 QP=E故 E=ABC=A(BC)=(BC)A=BCA【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*=AE 两端取行列式，得AA *= A n-1， A *=A n-1=an-1【知识模块
8、】 矩阵5 【正确答案】 C【试题解析】 B 可看作 A 作下列初等行变换得到的：先将 A 的第 1 行加到第 3 行对应初等矩阵为 P2，再将所得矩阵的 1、2 两行互换一一对应初等矩阵为 P1，于是由初等变换与初等矩阵的关系，得 B=P1P2A【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知 0=A *=A 2， 0=A =(a+2b)(a-b) 2， a=-2b或 a=b，若 a=b，则 A*=O，与 r(A*)=1 矛盾，故必有 ab 且 a+2b=0【知识模块】 矩阵7 【正确答案】 C【试题解析】 由条件知存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B， P-1(A-2E)P=P
9、-1AP-2E=B-2E，即 A-2E 与 B-2E 相似，故有 r(A-2E)=r(B-2E)= =3，同理知 r(A-E)=r(B-E)=1，故 r(A-2E)+r(A-E)=3+1=4【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 A【试题解析】 由已知的 A*=AT，即 ，得aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为A中元素 aij 的代数余子式于是由行列式按行展开法则得A= a1jA1j= a1i2=3a1120，再由 A*=AT 两端取行列式，得A=A 2， A=1，故得 3a112=1， a11= .【知识模块】 矩阵二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由于 A2= ，2A
10、 2= ，A 4=(A2)2=E，A 2004=(A4)501=E501=E，故 B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=E-2A2=【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 【试题解析】 由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 A=，又 A-1=AT，故方程组 Ax=b 的解为 x=A-1b=ATb=【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 -2【试题解析】 A=2 1+2， 1-2=1， 2 ，两端取行列式，得A=B(-3)，困A=6，得B=-2【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 40【试题解析】 A+B=+，2 2，2 3，2 4=8+， 2， 3， 4=8( ， 2， 3
11、， 4+， 2， 3， 4)=8(4+1)=40【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 3 n-1【试题解析】 A n=(T)(T)( T)(T)=T(T)( T)=T3n-1=3n-1T=3n-1，或用数学归纳法【知识模块】 矩阵三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 由(E-B)(E-B)-1=E- B，其中 B2=nB.【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 由条件得A 2=1，B 2=1 A=1，B=1，又A=-B AB=-1 ，故A+B=A+EB=AB 2+A2B=A(B+A)B =AB+AB=-A+B A+B =0.【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 A
12、+E= A+AA T=A(E+A T)=A (E+A T)T =AE+A=AA+E (1-A)A+E =0，又 1-A0 A+E=0【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 B=(A-2E) -1A=【知识模块】 矩阵18 【正确答案】 P 可逆 A=PBP-1= A5=(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)=PB5P-1=PBP-1=A.【知识模块】 矩阵19 【正确答案】 A(C-B) T=E，A=(C-B) T-1= .【知识模块】 矩阵20 【正确答案】 AA T=AA*=AE ，若A0，则得 AAT=O，其(i，i) 元素为aik2=0= aij=0(i，k=1 ，2，n) A=O，
13、这与 AO 矛盾。【知识模块】 矩阵21 【正确答案】 (1)B =- A0 B 可逆(2)将 n 阶单位矩阵对换第 i 行与 j行后所得的初等阵记为 Eij，则 B=EijA，故 AB-1=A(EijA)-1=AA-1Eij-1=Eij-1=Eij【知识模块】 矩阵22 【正确答案】 由A *=A n-1，有A 3=8得A=2 用 A 右乘题设等式两端，用 A*左乘两端并利用 A*A=AE=2E ，得 2B=A*B+6E B=6(2E-A*)-1=【知识模块】 矩阵23 【正确答案】 (1)A 2=4E A2m=(A2)m=4mE，A 2m+1=A2mA=4mA(m=1，2，)(2)A-1=
14、 A，AB=E+A-A 2，两端左乘 A-1，得 B=A-1+E-A= A+E-A=E- A=【知识模块】 矩阵24 【正确答案】 a ij=Aij(i， j=1，2，3，4) AT=A* A T= A *，即A= A 3， A (1- A T)=0， A取值范围为 0，1，-1，又A= a1jA1j= a1j20 A=1【知识模块】 矩阵25 【正确答案】 D= A-1-2AA -1= A-1-A-1= A-1=( )3A -1= .【知识模块】 矩阵26 【正确答案】 (A *)-1= A=A -1(A -1)-1= 或利用(A *)-1=(A)【知识模块】 矩阵27 【正确答案】 (1)
15、A 2=A (E-T)(E-T)=E-T E-2T+(T)T=E-T (T-1)T=0(注意 T0) T=1(2)当 T=1 时A 2=A，若 A 可逆，用 A-1 左乘A2=A 两端，得 A=E，代入 A 的定义式，得 T=O，这与 TO 矛盾【知识模块】 矩阵28 【正确答案】 由(A *)T=(Aij)知 A11=-7，A 12=5，A 13=4， A=a 11A11+a12A12+a13A13=-1，又 AA*=AE=-E， A=-(A*)-1= .【知识模块】 矩阵29 【正确答案】 矩阵 B 可看成是由 A*互换 1、3 两列所得到的，故有 B=A*AB=AA*【知识模块】 矩阵30 【正确答案】 (A *)-1= A=A，给题设方程两端右乘(A *)-1=A，得AB=B+8A2， (A-E)B=8A2， B=8(A-E)-1A2=【知识模块】 矩阵
