1、考研数学（数学一）模拟试卷 277 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)=xtanxe sinx，则 f(x)是( )（A）偶函数（B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数2 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 ，则 =( )（A）存在且等于零（B）存在但不一定为零（C）一定不存在（D）不一定存在3 下列各式中正确的是( ) 4 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形的面积可表示为 ( )5 齐次方程组 的系数矩阵为 A，若存在三阶矩阵 B0，使得AB=0，则( )（A）=-2 且B=0（B） =-2 且B
2、0（C） =1 且B =0（D）=1 且B06 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0（B） AB0 的充分必要条件是 A0 或 B0（C） AB=0 且 r(A)=n，则 B=0（D）若 AB0，则A0 或B07 设 A、B 为两随机事件，且 B A，则下列结论中肯定正确的是( )（A）P(A+B)=P(A)（B） P(AB)=P(A)（C） P(BA)=P(B)（D）P(B-A)=P(B)=-P(a)8 设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 FX(x)，F Y(y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( )（A
3、）F Z(z)=maxFX(z)，F Y(z)（B） FZ(z)： rainFX(z)，F Y(z) （C） FZ(z)=1_1-FX(z)1-FY(z)（D）F Z(z)=FY(z)二、填空题9 设函数 ，在(-，+) 内连续，则 c=_10 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_11 设 f(x)是连续函数，则 =_12 级数 的收敛域为_13 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_14 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=E(X2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)，g(x) 满足 f
4、(x)=g(x)，g (x)=2ex-f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求16 如果 0 /2 ，证明17 求微分方程 y+2y-3y=e-3x 的通解18 设半径为 R 的球面的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问当 R 为何值时，球面在定球面内部的那部分的面积最大19 高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 z=h(t)- ，已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为 09，问高度为 130 的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是厘米，时间单位为小时)?20 设 a1，a 2，a t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：
5、，+a 1，+a 2，+a t 线性无关21 正定矩阵，() 求 a；()求当X= 时 XTAX 的最大值22 设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0x1，y=x 内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 D(Z)23 设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi=Xi- ，i=1，2，n求：()Y i 的方差 DYi，i=1 ，2，n；()Y 1 与Yn 的协方差 cov(Y1，Y n)考研数学（数学一）模拟试卷 277 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案
6、】 B【试题解析】 令 xn=2n+ /4(n=1，2，3，)，则因此 f(x)是无界函数，故应选(B)2 【正确答案】 D【试题解析】 本题可采取举反例的方法一一排除干扰项3 【正确答案】 A【试题解析】 故应选(A)4 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1 ，x=2，当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，故选(C) 5 【正确答案】 C【试题解析】 由已知 AB=0 且 B0，则 Ax=0 有非零解，从而A=0 ，即由此可排除(A)、(B)又由于 B 也是三阶矩阵且 AB=0，假设 B
7、0，则 B-1 存在，则 A=0，矛盾，所以 B=0综上，选(C)6 【正确答案】 C【试题解析】 取 ，显然 AB=0，故(A)(B)都不对，取 ，但A =0 且B=0，故(D)不对，由 AB=0 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)=n，所以 r(B)=0，于是 B=0，所以选(C)7 【正确答案】 A【试题解析】 由 B A，得 A+B=A，所以有 P(A+B)=P(A)，故应选(A)8 【正确答案】 C【试题解析】 F Z(z)=P(zz)=Pmin(X，Y)z=1-Pmin(X，Y)z =1-P(Xz，Yz)=1-P(Xz)P(Yz) =1-1-P(Xz)1-P(Yz)=1-1-
8、F X(z)1-FY(z)，选(C)二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 函数 f(x)连续，则需满足 ，即 c2+1=2/c，解得c=110 【正确答案】 2/x【试题解析】 由于 xy+y=0 (XY)=0，积分有 xy=C，所以微分方程 xy+y=0 的通解是 y=C/x由初始条件 y(1)=2 可得 C=2，所以特解为 y=2/x11 【正确答案】 0【试题解析】 用洛必达法则原式12 【正确答案】 (0，4)【试题解析】 由于 所以由正项级数的根值判别法，当 p(x)1 时，即 0x4 ，幂级数 绝对收敛；当 p(x)1 时，即x-22，幂级数 发散，因此幂级数的收敛区间为(0
9、，4)当 x=0 时，级数 发散，当 x=4 时，发散，故级数的收敛域为(0，4)13 【正确答案】 0【试题解析】 由题设，4 阶方阵 A 的秩为 2，因此 A 的所有 3 阶子式均为 0，从而所有元素的代数余子式均为 0，即 A*=0，故 r(A*)=014 【正确答案】 e -1/2【试题解析】 因为随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(x)=D(x)=1， 则E(X2)=D(x2)+(E(x)2=1+1=2根据泊松分布的概率公式可得 PX=E(X 2)=PX=2=e-1/2!=e-1/2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由 f(x)=g
10、(x)，g (x)=2ex-f(x)，得 f(x)=2ex-f(x)，16 【正确答案】 设 f(x)=tanx，则 f(x)在区间 ，a上连续，在(，a) 内可导，且f(x)=1/cos2x，因 f(x)在区间，a 上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知， 又因COSX 在区间 (0，/2)内单调减少，故17 【正确答案】 这是常系数的二阶线性非齐次方程，特征方程 r2+2r-3=(r-1)(r+3)=0 的两根为 r1=1，r 2=-3；由右边 eax，a=-3=r 2 为单特征根，故非齐次方程有特解Y=xae -3x，代入方程可得 a=- 1/4 因而所求通解为 y=c1ex
11、+c2e-3x-(x/4)e-3x18 【正确答案】 () 由对称性，不妨设球面的球心是(0，0，a)， 于是 的方程是x2+y2+(z-a)2=R2 先求与球面 x2+y2+z2=a2 的交线代入上式得 的方程 x2+y2=R2-(R4/4a2) 它在 xOy 平面上的投影曲线 相应地在 xOy 平面上围成区域 Dxy ()球面在定球面内部的那部分面积 S(R)=将的方程 两边分别对 x，Y 求导得19 【正确答案】 t 时刻雪堆体积20 【正确答案】 设 ，a 1，a 2，a t 线性相关，令 +1a1+2a2+ tat=0， 因为a1，a 2，a t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是
12、 AX=0 的解， 因此A(+1a1+2a2+ tat)=(A)，因为 A0，所以 =0， 因此 ，a 1，a 2，a t 线性无关，令 k+k1(+a1)+k2(+a2)+kt(+at)=0， 即(k+k 1+kt)+k1a1+ktat=0， ，a 1，a 2，a t 线性无关，+a 1，+a 2，+a t 线性无关21 【正确答案】 () 因为方程组有非零解，所以即 a=-1 或 a=0 或 a=3，因为 A 是正定矩阵，所以 aii 0(i=1，2,3)，所以 a=3；()当 a=3 时，由 E-A=得 A 的特征值为 1、4、10，因为 A 为实对称矩阵，【试题解析】 本题应先求出特征值，由题设三阶矩阵要有三个线性无关的特征向量，重特征值对应的线性无关特征向量的个数必须等于特征值的重数，相应的特征矩阵的秩 r(E-A)=n-特征值的重数，由此导出参数应满足的条件22 【正确答案】 (X，Y) 的联合密度为 f(x，y)= 且 SD=1，S D 是区域 D 的面积，因此 f(x， y)= fX(x)=23 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X n 相互独立，且都服从分布 N(0，1)，EX i=0，DX i=1，i=1，2，n()X1，X 2，X n 相互独立，而独立的两个随机变量协方差等于零.于是有
