1、考研数学（数学一）模拟试卷 280 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，曲线 y=xsin 1/x( )（A）有且仅有水平渐近线（B）有且仅有铅直渐近线（C）既有水平渐近线，也有铅直渐近线（D）既无水平渐近线，也无铅直渐近线2 当 x0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?( )（A）x 2（B） 1-cosx（C）（D）x-tanx3 设 f(x)在 x=0 处满足 f(0)=f(0)=f(n)(0)=0，f (n+1)(0)0，则( )（A）当 n 为偶数时，x=0 是 f(x)的极大值点（B）当 n 为偶数时
2、，x=0 是 f(x)的极小值点（C）当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极大值点（D）当 n 为奇数时，x=0 是 f(x)的极小值点4 f(x，y)=arctan(x/y)在(0，1)处的梯度为( )（A）i（B） -i（C） j（D）-j5 设 A 是 n 阶方阵，线性方程组 AX=0 有非零解，则线性非齐次方程组 ATX=b 对任何 b=(b1，b 2，b n)T( )（A）不可能有唯一解（B）必有无穷多解（C）无解（D）或有唯一解，或有无穷多解6 已知 a1=(-1，1，a,4) T，a 2=(-2，1，5，a) T，a 3=(a，2，10，1) T 是四阶方阵 A 的属于三个不
3、同特征值的特征向量，则 a 的取值为( ) （A）a5（B） a-4（C） a-3（D）a-3 且 a-47 设 X，Y 是两个随机变量，且 PX1，Y1=4/9,PX1=PY1=5/9 ，则Pmin(X，Y)1=( ) 8 设(X 1，X 2，X n)为取自正态总体 XN( ， T)的样本，则 2+2 的矩法估计量为二、填空题9 已知 f(x)是微分方程 xf(x)-f(x)= 满足 f(1)=0 的特解，则 02f(x)dx=_10 极限 =_11 设函数 f(x)=x+x2(-x) 的傅里叶级数为 ，则b3=_12 设 f(u，v)是二元可微函数 =_13 二次型 f(x1，x 2，x
4、3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的秩为_13 设随机变量 Xij(i，j=1，2，n；n2)独立同分布，E(X ij)=2，则行列式的数学期望 E(Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 15 设函数 Y=y(x)由方程 ylny-x+y=0 确定，判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性16 计算曲面积分 ，其中 S 是 ，z=1 及 z=2 所围的封闭曲面的外侧17 设函数 f(x)连续，且18 设 a0=1，a 1=7/2，a n+1=- ，n2 ，证明：当 x1 时，幂级数收敛，并求其和函数 S(x)19 设四维向量组 a1=
5、(1+a，1，1，1) T，a 2=(2，2+a，2，2) T，a 3=(3，3，3+a，3)T， a4=(4，4， 4，4+a) T，问 a 为何值时，a 1，a 2，a 3，a 4 线性相关?当a1，a 2，a 3，a 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出20 设矩阵 ，且A=-1又设 A 的伴随矩阵 A*有特征值0，属于 0 的特征向量为 a=(-1，-1，1) T，求 a，b，c 及 0 的值21 设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)=1/4，P(BA)=1/3 ，P(AB)=1/2 ，令求： ()二维随机变量(X，Y) 的概率分布； ()
6、X 与 Y 的相关系数 pXY； ()Z=X 2+Y2 的概率分布22 假设测量的随机误差 XN(0，10 2)，试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 a，并用泊松分布求出 a 的近似值(小数点后取两位有效数字)考研数学（数学一）模拟试卷 280 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 只有间断点 x=0， ，没有铅直渐近线又有水平渐近线 y=1应选(A)2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 5 【正确答案】 A【试题解析
7、】 因为 AX=0 有非零解，而 A 为 n 阶方阵，所以A=A T=0 因此 r(AT)n 于是线性非齐次方程组 ATX=b 在 r(ATb)=r(AT)时有无穷多解；在 r(ATb)r(A T)时无解故对任何 b，A TX=b 不可能有唯一解所以选(A) 6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 a1，a 2，a 3 是 A 的属于三个不同特征值的特征向量，所以它们必线性无关，由知，其秩为 3 时 a5故选(A)7 【正确答案】 C【试题解析】 Pmin(X，Y)1=PX1Y1=PX1+PY1-PX1，Y1=2/3应选(C)8 【正确答案】 D【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 -/8
8、【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 11 【正确答案】 2【试题解析】 12 【正确答案】 0【试题解析】 13 【正确答案】 2【试题解析】 由题设，f(x 1，x 2，x 3)=x12+x22+2x1x2+x22+x32-2x2x3+x12+x32+2x1x3 =212+222+232+21x2-22x3+2x1x3，则该二次型的矩阵为 ，由初等行变换可将 A 化为 则 r(A)=2，所以二次型的秩为 213 【试题解析】 由题设，根据行列式的定义和数学期望的性质，有三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 15 【正确答案】 对方程 ylny-x
9、+y=0，两边求导得 ylny+y-1+y=0，即 y=1/ 2+lny再求一次导得 y= 在点(1 ，1)处y= 故曲线 y=y(x)在点(1，1)附近是向上凸的16 【正确答案】 利用高斯公式 用柱坐标系，得17 【正确答案】 题设所给变上限定积分中含有参数 x，因此令 u=2x-t，则 du=-dt，18 【正确答案】 19 【正确答案】 对(a 1，a 2，a 3，a 4)作初等行变换，有 (a1，a 2，a 3，a 4)=若 a=0，则秩 r(a1，a 2，a 3，a 4)=1，a 1，a 2，a 3，a 4 线性相关可取极大线性无关组为 a1 且a2=2a1，a 3=3a1，a 4
10、=4a1由于 a0，继续作初等行变换有(a 1，a 2，a 3，a 4)所以，当 a=-10 时，r(a 1，a 2，a 3，a 4)=3，a 1，a 2，a 3，a 4 线性相关，可取极大线性无关组为 a2，a 3，a 4，且 a1=-a2-a3-a420 【正确答案】 由题设，A *a=0a，由公式 AA*=A E=-E ，则21 【正确答案】 () 由题设，(X，Y) 的可能取值为 (0，0)、(0 ，1)、(1，0)、(1，1)，22 【正确答案】 设 p 为每次测量误差的绝对值大于 196 的概率，则设 Y 为 100 次独立重复测量中事件X19 6出现的次数，则 Y 服从参数为n=100， p=0 05 的二项分布，所求概率 a=PY3=1-PY3=1-PY=0-PY=1-PY=2 由泊松定理知，Y 近似服从参数为 =np=100005=5 的泊松分布，
