1、考研数学（数学一）模拟试卷 282 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导2 设 g(x)=0xf(u)du，其中 f(x)= ，则 g(x)在区间(0，2)内( )（A）无界（B）递减（C）不连续（D）连续3 设直线 L： 及平面 ：4x-2y+x-6=0 ，则直线 L( )（A）平行于平面 （B）在平面 上（C）垂直于平面 （D）与平面 斜交4 设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A
2、）f(x 0，y)在 y=y0 处导数为零（B） f(x0，y)在 y=y0 处导数大于零（C） f(x0，y)在 y=y0 处导数小于零（D）f(x 0，y)在 y=y0 处导数不存在5 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=0， 3=1，则下列结论不正确的是 ( )（A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值-1，1 对应的特征值向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量6 设矩阵 ，则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似7 设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 12)，随机变量
3、y 服从正态分布 N(2， 22)，且 PX- 1， 12PY- 21，则必有( )（A） 1 2（B） 1 2（C） 1 2（D） 1 28 对于任意两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( ) （A）D(XY)=D(X)D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 和 Y 独立（D）X 和 Y 不独立二、填空题9 =_10 设曲线 f(x)=x在点(1， 1)处的切线与 x 轴的交点为 (n，0)，则=_11 设 f(x，y， z)=ezyz2，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则f_(0，1，-1)=_12 微分方程
4、满足 y x=1=1 的特解为 y=_13 设 R3 中的向量 在基 a1=(1，-2，1) T，a 2=(0，1，1) T，a 3=(3，2，1) T 下的坐标为(x 1， x2，x 3)T，它在基 1， 2， 3 下的坐标为(y 1，y 2，y 3)T，且 y1=x1-x2-x3，y 2=-x1+x2， y3=x1+2x3，则由基 1、 2、 3 到基 a1、a 2、a 3 的过渡矩阵 P=_14 在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 N(a，02 2)，若以 表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使 P -a01095，n 的最小值应小于自然数_三
5、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限 ，其中 n 是给定的自然数16 计算17 计算 ， 是球面 x2+y2+z2=4 与抛物面 x2+y2=3z 所围形成18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且，f +(a)0，证明：存在 (a，b)，使得 f(a)019 设 z=f(u，v，x)，u=(x，y)，v=(y)，求复合函数 z=f(x，y)，(y)，x)的偏导数20 设齐次线性方程组 ，其中 a0，b0，n2 ，试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解? 在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解21 设
6、二次型 f=x12+x22+x32+2ax1x2+2x2x3+2x1x3 经正交变换 x=Py 化成f=y 22+2y32，P 是三阶正交矩阵，试求常数 a、 22 一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为 F(x，y)=()X 和 Y 是否独立? ()求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 a23 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克，若用最大载重为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于 09777(2)=0
7、977，其中(x)是标准正态分布函数)考研数学（数学一）模拟试卷 282 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 即 f(x)在 x=0 处不可导，故选 (C)2 【正确答案】 D【试题解析】 由题设，当 0x1 时，f(x)=1/2(x 2+1)，则从而 g(x)在点 x=1 也是连续的综上，g(x)在区间 (0，2)内连续，选(D)3 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s=1，3，22，-1，-10=-28，14，-7，因为 sn ，所以直线 L 与平面 垂直，正确答案为(C)4 【正确答案】 A【试题解
8、析】 可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处取得极小值，则有 fx(x0，y 0)=0， fy(x0，y 0)=0， 于是 f(x0，y)在 y=y0 处导数为零，选(A)5 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=-1， 2=0， 3=1 得A =0 ，则 r(A)3，即 A 不可逆，(A)正确；又 1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C) 不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定
9、有此性质，选(C)6 【正确答案】 B【试题解析】 ，则 A=C+3E，由E-C=0 得 C 的特征值为 1=-3。 1=-3， 2=3=0，则 A 的特征值为 0，3，3，B 的特征值为 1，1，0，显然 A 与 B 不相似，A 与 B 的正、负惯性指数均为 2，0，即 A 与 B 合同故应选(B)7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2=EX-E(x)+Y-E(y)2 =EX-E(x)2+EY-E(y)2+2E(X-E(x)(Y-E(y)=D(x)+D(y)+2E(XY)-E(x)E(y)=D(x)+D(y)故应选(B
10、) 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由题设，10 【正确答案】 e -1【试题解析】 由题设 f(x)=xn，则 f(x)=nxn-1，因而 f(1)=n， 则点(1 ，1)处的切线方程为 y-1=n(x-1)，该切线与 x 轴的交点为因此11 【正确答案】 1【试题解析】 设 F(x，y， z)=x+y+z+xyz，则又 fx=exyz2+exy*2z*zx，故 fx(0，1，-1)=112 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 (a 1，a 2，a 3)=(1， 2， 3)P，(a 1， a2，a 3)T=P(x1，x 2，x 3)T 又 y1=x1-x2
11、-x3， y2=-x1+x2，y 3=x1+2x314 【正确答案】 最小值应不小于 16【试题解析】 由题设，X n 为样本均值，对其作线性变换，即令 则由中心极限定理知 ZN(0，1)，因此其中 为标准正态分布，即有 ，从而 因此 n的最小值应不小于 16三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 凡积分域是由抛物面与其它曲面所围成之形体，一般用柱坐标计算为宜在柱坐标系下，球面与抛物面的交线为 故18 【正确答案】 因为 ，所以存在 0，当 0x-a 时，有 。于是存在 c(a，b) ，使得 f(c)f(a)=0；由微分中值
12、定理，存在 1(，c)， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 (1， 2) (a，b)，使得19 【正确答案】 由复合函数求导法，得20 【正确答案】 由题设，方程组的系数矩阵为 A=则A=当 ab 且 a+(n-1)b0，即a(1-n)b 时，方程组仅有零解当 a=b 时，对 A 可作初等行变换化为阶梯形则不难求得原方程组的基础解系为因此方程组的全部解是x=k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k 2，k n-1 为任意常数当 a=(1-n)b 时，同样对 A 作初等行变换化为阶梯形 则可得此时基础解系为，从而原方程组的全部解是 k，其中 k 为任意常数2
13、1 【正确答案】 变换前后二次型的矩阵分别为二次型可以写成 f=xTAx 和 f=yTBy，由于PTAP=B，P 为正交矩阵，故 p-1AP=B，因此E-A=E-B ，即3-33+(2-a2-2)+(a-)2=3-32+2，比较系数得 a=022 【正确答案】 由题设条件知 X 和 Y 的分布函数分别为()由上式知 F(x，Y)=F X(x)FY(y)，故 X 和 Y 相互独立，(II)a=PX01，Y01=PX01PY01 =(1-Px01)(1-PY01)=1-FX(01)1-F Y(01)=e -0.123 【正确答案】 由题设，设 Xi(i=1，2，n)是装运的第 i 箱的重量(单位：千克)，n 是所求箱数，由已知条件 X1，X 2，X n 是独立同分布的随机变量，设 n 箱的总重量为 Tn，则 Tn=X1+X2+Xn又由题设，E(X i)=50，D(X i)=25，i：1， 2，n，从而 E(Tn)=n50=50n ，D(T n)=25n(单位皆为千克)，由中心极限定理，知 Tn 近似服从参数为 50n，25n 的正态分布，即 N(50n，25n)，由条件
