1、考研数学（数学一）模拟试卷 292 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 考虑一元函数 f(x)有下列四条性质： f(x)在a ，b连续；f(x)在a ，b 可积；f(x)在a，b 可导； f(x)在a，b 存在原函数若用 “PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则（A）（B） （C） （D）2 设 则 F(x)在0，2上（A）有界，不可积（B）可积，有间断点（C）连续，有不可导点（D）可导3 设在全平面上有 ，则下列条件中能保证 f(x1，y 1)2，y 2)的是（A）x 12，y 12（B） x12，y 1y2（C） x1x2，y 12（D）x 1x
2、2，y 1y24 设 在点 x=0 处二阶导数存在，则常数 a，b，c 分别是（A）a= 一 2，b=2，c=1（B） a=2，b=一 2，c=1（C） a=一 2，b=1，c=2（D）a=2 ，b=1，c=一 25 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也是 Ax=0基础解系的是（A） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1（B） 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4+1（C） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1（D） 1， 2， 3， 4 的等价向量组6 已知 P-1AP=B，若 A=，0，则（A）B 的特征值为 ，对应的特征
3、向量是 P（B） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P（C） B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-1（D）B 的特征值为 ，对应的特征向量是 P-17 盒中盛有 10 个分币，其中含有 0 个，1 个，2 个，10 个铜币是等可能的现向盒中放入一个铜币，然后随机从盒中取出一个分币，则这个分币为铜币的概率是（A）（B）（C）（D）8 在区间(一 1，1) 上任意投一质点，以 X 表示该质点的坐标设该质点落在 (一1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则（A）X 与X相关，且相关系数 =1（B） X 与X相关，但0(x(0，1),23 设 ，则存在唯一的的 (0，1)，使得
4、f()=M24 已知 A=(1,2,3,4)是 4 阶矩阵， 1,2,3,4 是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是(1 ，2，2，1) T+k(1，一 2，4，0) T，又 B=(3， 2， 1， 一 4)，求方程组Bx=12 的通解,25 若任一 n 维非零列向量都是 n 阶矩阵 A 的特征向量，证明 A 是数量矩阵(即A=hE，E 是 n 阶单位矩阵)26 有三封不同的信随机投入编号为 1，2，3，4 的四个信箱中，以 X 表示有信的最小信箱号码，以 Y 表示无信的最大信箱号码，求 X，Y 的联合概率分布26 设随机变量 X 的概率密度函数为 对 X 进行两次独立观察，其结果分别记
5、为 X1，X 2，令27 确定常数 A，并计算概率 PX1228 求二维随机变量(Y 1，Y 2)的联合概率分布考研数学（数学一）模拟试卷 292 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】由基本定理，我们应知道：f(x)在a，b 可导因此，应选 C【分析二】f(x)在a，b可积与 f(X)在a，b 存在原函数之间无确定关系，因而 ， ，即 A，B 不正确可以有函数 F(X)，它的导函数 F(x)=f(x)在a，b不连续埘此f(x)，它在a，b存在原函数，在 a，b 不连续因此 f(x)在a ，b存在原函数f(x)在a，
6、 b连续，即，D 不正确因此选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】先求出分段函数 f(x)的变限积分当 0x1 时，当 1即易验证 F(x)存0 ，2上连续当 x1 时显然 F(x)可导，且F(x)在点 x=1 处不可导故应选 C【分析二】不必求出 F(x)这里 f(x)在0，2上有界，除 x=1 外连续，x=1是 f(x)的跳跃间断点由可积性的充分条件f(x) 在0 ，2上可积，再由基本定理F(x)在0，2上连续故 A，B 不对进一步考察 F(x)的可导性当 x1 时 F(x)=f(x)，又 x=1 是 f(x)的跳跃间断点，则 F(x)在点 x=1 处不可导故应选 C3 【正确
7、答案】 C【试题解析】 固定时 f(x，y)对 x 单调下降； 固定时f(x，y)对 y 单调上升，于是当 x1x2 时 f(x1，y 1)2，y 1)；又当 y12 时 f(x2，y 1)2，y 2)，因此，当 x1x2，y 12 时 f(x1，y 1)2，y 2)故选 C4 【正确答案】 A【试题解析】 【分析一】本题主要考查分段函数在分界点处具有高阶导数时应满足的条件为了处理更一般的问题，我们考虑分段函数 其中f1(x)和 f2(x)分别在较大的区间(x 0，+)和(一 ，x 0)+)(0 是一个常数)中具有任意阶导数，则 f(x)在分界点 x=x0 具有 k 阶导数的充分必要条件是 f
8、1(x)和 f2(x)有相同的泰勒公式：f 1(x)=f2(x)=a0+a1(x 一 x0)+a2(x 一 x0)2+ak(xx0)k+a(x 一 x0)k)注意，在 f(x)的定义中，分界点 x0 也可以属于 f1(x)所在区间，结论是完全一样的把上述一般结论用于本题，取 x0=0，k=2 ，f 1(x)=ax2+bx+c，f 2(x)=cos2x+2sinx，因 所以a，b，c 应分别是 a=一 2，b=2 ，c=1，这表明结论 A 正确【分析二】首先要求f(x)在 x=0 连续，即要求 即cos2x+2sinx x=0=ax2+bx+c x=0 得 c=1这表明 C，D 不正确当 c=1
9、 时，f(x)可写成 其次要求 f(0)，即 f-(0)=f+(0)，当 c=1 时即(cos2x+2sinx)- x=n=(ax2+bx+c)+ x=a=b，即 b=2于是 B 不正确因此只能是 A正确5 【正确答案】 A【试题解析】 等价向量组不能保证向量个数相同，因而不能保证线性无关，例如向量组 1， 2,3， 4， 1+2 与向量组 1， 2,3， 4 呀 4 等价，但前者线性相关，因而不能是基础解系。故 D 不正确。B,C 均线性相关，因此不能是基础解系，故B 与 C 也不正确注意到：( 1+2)一( 2 一 3)一( 3 一 4)一( 4+1)=0，( 1+2)一(2+3)+(3
10、一 4)+(4 1)=0，唯有 A， 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 是Ax=0 的解，义由( 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1)=(1， 2,3， 4)且 =20，知 1+2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一1 线性无关，且向量个数与 1， 2,3， 4 相同所以 A 也是 Ax=0 的基础解系故选 A6 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征值，故可排除B、D由 P-1AP=BP -1A=BP-1P -1A=BP-1，于是有 B(P-1)=P-1()=(P-1)故应选 C7 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一
11、】用全概率公式设盒中有 i 个铜币的事件为Ai(i=1，2，11)，B 为取到铜币的事件，则故应选 D【分析二】将该题看成有 11 个盒子，各盒中均有 11 个分币，其中依次有 1，2，11 个铜币现任取一盒，再从该盒中任取一个分币，则共有 121 个分币，每个分币被等可能地取到，而其中铜币的个数为 1+2+11=66，用古典概型，有 所以选 D8 【正确答案】 C【试题解析】 依题设，X 在一 1，1上服从均匀分布，其概率密度为由于故 cov(X，X)=0 ，从而=0，X 与 X不相关于是可排除 A 与 B对于任意实数 a(0又 PX 所以 X 与X不独立，故应选 C二、填空题9 【正确答案
12、】 6【试题解析】 确定 n0 使得下面的极限存在且不为 0，即其中因此，n=610 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】先求 y(x)，冉求 y(1)为求 y(x)先求 y(x)将已知等式两边同除x，并令x0，由连续性知 ，于是取极限得这是可分离变量的微分方程，分离变量得 积分得再由【分析二】将已知等式改写成(因为 记则其中 而且 (x)(x0),由 y 与微分 dy 的关系知，函数 y(x)在任意点 x 处的微分为 其余解法同【分析一】11 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】两边分别对 x，y 求偏导数得由a+b，可得 因此【分析二】两边求全微分得 1.(bdzcdy)+2.(cd
13、x 一 adz)+3.(ady一 bdx)=0，即(b 1a2)dz=(b3c2)dx+(c1一 a3)dy于是【分析三】将 (bzcy,cxaz 一 ay 一 bx)=0 记为 G(x，y,z)=0，代公式得12 【正确答案】 【试题解析】 直接计算是不方便的，这是二重积分 的累次积分，其中 它是由 即(x 一 1)2+y2=1(y0)与 x 轴围成的区域，如图所示现改用极坐标变换，D 的极坐标表示于是13 【正确答案】 18【试题解析】 因为(A *)*=A n-2A，又A= i=6，所以(A *)*=6A，从而(A *)*的特征值为 6，12，18，显然其最大特征值为 1814 【正确答
14、案】 【试题解析】 由题设 X，Y 独立，则有 Z=XYN(0 ，2 2)，于是故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 直接计算不易实现，先作恒等变形即分部积分，有现不必求出只需对它用适当放大缩小法，利用 即知 又 因此16 【正确答案】 方法 1。即证f(x，y)=f(0，0)( )由于 f(x，y)一 f(0，0)=f(x，y)一 f(0，y)+f(0 ，一 y)一 f(0，0)因此方法 2。偏导数实质上是一元函数的导数，在全平面上，即 给定 y，作为 x 的一元函数 f(x，y)对 x 的导数 于是 f(x，y)=(y)(y) 是 可导函数 (当 y 给定
15、时它是 x 的常数函数)将上式两端关于y 求偏导数与导数，有 因此 f(x，y)恒为常数17 【正确答案】 由所给条件即证 由 u2+v2=C将 代入上式 此方程组的系数行列式 若 C=0u=0，v=0；若为常数同理可证：v(x，y)为常数18 【正确答案】 由题没 S+的方程，J 可简化成要将曲面私分 J 化为三重积分，可用高斯公式由于 S+不是封闭曲面，故要添加辅助面 取法向量 n 向下 S+与 S1+所围的区域记为 ，它的边界取外侧，于是存 上用高斯公式得其中 S1+上的曲面积分为零，因为 S1+与 yz 平面及 zx 平面均垂直，又在 S1+上 z=019 【正确答案】 求曲面积分 J
16、 转化为求题(1)中的三重积分。怎样计算这个三重积分： 因为 足半椭球体，不宜选用球坐标变换与柱坐标变换我们用先二(先对 x，y 积分)后一(后对 z 积分)的积分顺序求由于 z0， c与 z 轴垂直的平面截 得区域 D(z)为又这个椭圆的两个半轴分别为 面积是于是 可以用同样方法计算 但是，由坐标的轮换对称性，有 J1=J2=J320 【正确答案】 故21 【正确答案】 f(x)首先要在 x=0 连续，因 故只能有 A=1上式右端幂级数在 x=0 取值为 1此时因为幂级数在收敛区间内任意阶可导f(x)在(一，+)任意阶可导记 则于是22 【正确答案】 由假设条件及罗尔定理知 ，f (A)=0
17、,由 f(x)在（0,1）23 【正确答案】 方法 l。要证：f (x)一 M 在(0，1) 零点 f(x)一 Mx在(0，1)零点作辅助函数 F(x)=f(x)一 MxF(x)在0，1连续，在(0，1)可导，F(0)=f(0)=0再找 F(x)在(0，1)的一个零点由 F(A)=f(A)一 Ma=M(1 一 a)0，F(1)=f(1)一M=一 M ，使得 F()=0在 上对 F(x)用罗尔定理 (0，) (0，1)，使得 F()=0，即 f()=M方法 2。作辅助函数 F(x)=f(x)一 Mx，由 F(x)在0 ，1连续，在(0，1)可导，且 F(0)=0，F(A)=M(1 一 a)0，F
18、(1)=一 M ，使得 由费马定理F ()=0，即 f()=M方法 3。先证 M 是 f(x)的某一中间值由 =Mf (A)=0，又由拉格朗口中值定理， ，使得亦即 f(A)()由连续函数中间值定理，使得 f()=M最后证唯一性由 f(x)(x)在(0，1) 唯一的 (0，1)，f ()=M24 【正确答案】 由方程组 Ax= 的解的结构，可知 r(A)=r(1,2,3,4)=3，且1+22+23+4=， 1 一 22+43=0因为 B=(3， 2， 1， 一 4)=(3,2,1， 1+22+23)，且 1,2,3 线性相关，而知秩 r(B)=2 由知(0，一 1，1，0) T 是方程组 Bx
19、=1-2 的一个解又由可知(4，一 2，1，0)T， (2，一 4， 0，1) T 是 Bx=0 的两个线性无关的解故 Bx=1-2 的通解是：(0，一1，1，0) T+k1(4，一 2，1，0) T+k2(2，一 4，0，1) T25 【正确答案】 因为任一个 n 维非零列向量均是 A 的特征向量，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 必与对角矩阵相似现取 n 个单位向量i=(0， ，0 ，1，0，0) T，(i=1，2，n)为 A 的特征向量，其特征值分别为1， 2， n，那么令 P=(E1，E 2， n)=E，有如果 12，则A(1+2)=1E1+2E2因为每个凡维向量都是 A
20、 的特征向量，又应有 A(1+2)=(1+2)，于是( 1)1+(2 一 )2=0由于 1， 2 一 不全为 0，与 1， 2 线性无关相矛盾，所以必有 12同理可知 12= n=k，故 A=kE26 【正确答案】 ,3 封信投入 4 个信箱，共有 43=64 种投法根据 X，Y 的含义，显然有 PX=1，Y=1=PX=2，Y=2=PX=3，Y=3=PX=4，Y=4=0，PX=3，Y=1=0，PX=4，Y=1=PX=4，Y=2=0，PX=2 ， Y=1=P=1 号信箱无信，2，3，4 号信箱均有信= ;PX=3，Y=2=P1，2 号空，3，4 号有信= ;PX=4 ，Y=3=P4 号有信， 1
21、，2，3 号均空 = PX=3，Y=4=P3 号有信，其他均空= ;PX=2，Y=3=P2 ， 4 号有信，1，3 号空= ;PX=1，Y=2=P1，3，4 有信，2 号空 = ;PX=1，Y=3=P1，4 号有信，2，3 号空+P1，2，4 号有信，3 号空 同理可以计算出把以上各数填入表中(如上表)，表中的箭头表示我们的计算顺序【试题解析】 X，Y 的取值均为 1，2，3，4，k 利用古典概型求联合分布，也可以先分别求出 X 的分布与 Y 的分布，即边缘分布，再求联合分布我们采取直接求联合分布27 【正确答案】 由 。即显然，X 1 与X2 独立且与分同分布，因而有 PX121=PX1228 【正确答案】 由于 Y1，Y 2 均为离散型随机变量，且都可取值 1，0，则由题设可得其联合概分分布 PY1=1，Y 2=1=PX11，X 21PY1=1，Y 2=0=PY1=0，Y 2=1=PX11.PX21= PY1=0，Y 2=0=PX11，X 21= 于是(Y1，Y 2)的联合概率分布见右表，其中
