1、考研数学（数学一）模拟试卷 297 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)是由方程 y2+xy+x2 一 x=0 确定的满足 y(1)=一 1 的连续函数，则=_.（A）一 2（B） 3（C） 1（D）22 以 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x 为线性尤关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（A）y +y+3y+5y=0（B） y一 y+3y+5y=0（C） y+y一 3y+5y=0（D）y 一 y一 3y+5y=03 设流体的流速 v=(x2+y2)j+(z 一 1)k， 为锥面 ，取下侧，则流体穿过曲面的体
2、积流量是（A）（B）（C）（D）4 下列三个命题设 的收敛域为(一 R，R) ，则 的收敛域为(一R，R) ； 没幂级数 条件收敛，则它的收敛半径 R=1；设幂级数的收敛半径分别为 R1，R 2，则 的收敛半径R=min(R1，R 2)中正确的个数是（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个5 设 A 是 mn 矩阵，则下列 4 个命题 若 r(A)=m，则非齐次线性方程组 Ax=b 必有解；若 r(A)=m，则齐次方程组 Ax=0 只有零解； 若 r(A)=n，则非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解； 若 r(A)=n，则齐次方程组 Ax=0 只有零解中正确的是（A） （B） （C
3、） （D） 6 下列矩阵中两两相似的是（A）A 3，A 4（B） A1，A 2（C） A1，A 3（D）A 2，A 37 设 X，Y 为随机变量 ，则 Pnlin(X，Y)0=（A）（B）（C）（D）8 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，且 X2(n=1，2，)服从参数为 的泊松分布，X 2=(n=1，2，)服从期望值为 的指数分布，则随机变量序列X1，X 2，X n一定满足（A）切比雪夫大数定律（B）伯努利大数定律（C）辛钦大数定律（D）中心极限定理二、填空题9 设曲线厂的极坐标方程为 r=e，则 F 在点 处的法线的直角坐标方程是_10 设 y(x)是 y+y=0 的解且 x0
4、时 y(x)是 x2 的等价无穷小，则 y(x)=_11 设 是由曲面 x2+y2 一 z2=0 与平面 z=2 围成的空间区域，则的值是_.12 设 则 =_.13 已知矩阵 只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵 A 的特征向量是_.14 没随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0， 2)已知X1，X 2，X m 与 X1，Y 2，Y n(n4)是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，统计量服从自由度为 n 的 t 分布，则当 时，k=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在(0，+)内二阶可导，在0，+)有连续的导数，且 f(x)0(x0)
5、，求证：F(x)= 在(0，+) 是凹函数15 设 f(x)在0，2内二阶连续可导，且 f(1)=0，证明：16 17 18 求曲面 x2+(y 一 1)2=1 介于 xOy 平面与曲面 (x2+y2)之间的部分的面积18 设曲线 (正整数 n1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为 I(n)，证明：19 20 21 21 设 u=u(x，y)在全平面有连续偏导数，22 作极坐标变换 x=rcos,r=rsin，求 的关系式；23 若 ，求证：u(x，y)=u(0，0)为常数；24 若 (x2+y2R20)，求证：25 已知矩阵 有三个线性无关的特征向量，求 a 的值，并求An25 已知矩阵26
6、 求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为埘角矩阵；27 若 A+kE 正定，求 k 的取值28 设随机变量(X，Y) 服从区域 D 上的均匀分布，D=(x，y)0x2，0y2，令U=(X+Y)2，试求 EU 与 DU28 设总体 X 服从对数正态分布，其概率密度为其中 为未知参数，且 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的一个简单随机样本。29 求参数 的最大似然估计量 ；30 验证 是 的无偏估计量考研数学（数学一）模拟试卷 297 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+
7、x2 一 x=0 确定的满足 y(1)=一 1 的连续函数存r=1 邻域必有连续的导数，将方程对 x 求导得2yy+y+xy+2x 一 1=0，解出 于是 y(1)=0选 C【分析二】由隐函数存在定理知，由方程 y2+xy+x2 一 x=0 确定的满足 y(1)=一 1 的隐函数二次连续可导且2yy +xy+y+2x 一 1=0，(*) 在(*)式中令 x=1，y(1)= 一 1，可得 y(1)=0将(*)式再对 x 求导一次，得 2yy+2y12+y+xy+y+2=0，(*)在(*)式中令 x=1，y(1)=一 1，y (1)=0 可得一 y(1)+2=0 y(1)=2利刚洛必达法则和 y(
8、1)=一 1，y (1)=0， y(1)=2 可得 选 C【分析三】如同【分析二】求出 y(1)=0，y (2)=2 后，用泰勒公式得即 y(x)+1=(x 一1)2+o(x 一 1)2)于是 选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 线性无关特解 y1=excos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x 对应于特征根1=1+2i， 2=12i 与 3=一 1，由此可得特征方程是 (1 一 2i)( 一 1+2i)(+1)=03 一 2+3+5=0由此即知以 y1=exeos2x，y 2=exsin2x 与 y3=e-x 为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 y一 y+3y+5y=
9、0应选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 该流体穿过的体积流量是方法 1。用高斯公式，不封闭，添加辅助面 1：z=1(x 2+y21)，法向量朝上， 与 1 围成区域 ，取外侧注意 1 与zOx 平面垂直 又在 1 上 在 上用高斯公式 这里， 关于 zDx 平面对称，2y 对 y 为奇函数，故应选 B方法 2。直接汁算，并对第二类面积分利用对称性关于 zOx 平面对称，x 2+y2 对 y 为偶函数又在 xOy 平面上的投影区域 Dxy：x 2+y21故应选 B方法 3。直接投影到 xOy 平面上代公式由的方程 又在 xOy 平面的投影区域 Dxy：x 2+y21 这里由于 Dxy 关于
10、x 轴对称 对 y 为奇函数，所以 故应选 B4 【正确答案】 B【试题解析】 此类选择题必须逐一判断关于命题：对幂级数 ，逐项积分保持收敛区间不变，但收敛域可能起变化如 的收敛域为(一 1，1)，但的收敛域是一 1，1)关于命题 ：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确记该幂级数的收敛半径为 R若 R1，由于 绝对收敛 绝对收敛，与已知矛盾若 R 发散发散，也与已知矛盾因此，R=1关于命题：当 R1R2 时，JR=min(R1，R 2)，于是要考察 R1=R2 的情形设有级数易求得它们的收敛半径均为 R1=R2=1但的收敛半径为 R=2因此命题不正确综上所述，应选 B5 【正确答案】 B
11、【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若 r(A)=m，说明 A 的行向量组线性尤关，那么它的延伸组必线性无关所以必有 从而 ，故线性方程组Ax=b 必有解，正确下面只需判断或 正确即可若 r(A)=n，说明 A 的列向量组线性尢关，亦即 Ax=0 只有零解，所以正确，故应选 B当 r(A)=m 时，必有 nm,如果=m=n,则 Ax=0 只有零解，而 m6 【正确答案】 C【试题解析】 判断相似应当用相似的必婴条件作第一轮判别相似的必要条件是：特征值一样，秩相等，A 3,A4 虽特征值一样，但秩不相等，所以不相似A 1 与A2 或 A2 与 A3 虽秩相等但特征值不一样，因此不相似用排除法
12、知应选 C实际上，A 1，A 3 的特征值都足 3，0，0，且 r(OEA1)=1，r(0EA 3)=1，则 nr(OEA1)=3 一 1=2，n 一 r(OEA3)=3 一 1=2，说明齐次方程组 (OEA1)x=0 与(OEA3)x=0 都有两个线性无关的解，即对应于 =0，矩阵 A1 和 A3 都有 2 个线性无关的特征向量，所以矩阵 A1 和 A3 都与对角矩阵 相似从而 A1 与A3 相似7 【正确答案】 D【试题解析】 设 ，则 于是故应选 D8 【正确答案】 A【试题解析】 X 1，X 2，X n不是同分布，因此不能满足辛钦大数定律、伯努利大数定律和中心极限定理，用排除法可知应选
13、 A进一步分析，EX2n=DX2n=，EX 2n-1=，DX 2n-1=2，因此对任何 n=1，2，都有 DXn2，即X1，X 2，X n相互独立，期望、方差都存在且对所有 n，DX n2+，符合切比雪人大数定律成立，的条件，应选 A二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 F 的参数方程是 点 的直角坐标是F 在此点的切线的斜率为法线的斜率为 1，因此 F 在点 处的法线方程为 10 【正确答案】 2(1 一 cosx)【试题解析】 令 P=y，则得 P+P=0，它的特征方程是 2+1=0，f 是通解为yP=C 1cosx+C2sinx，再积分一次，即得原方程的通解是 y=C1sinxC2c
14、osx+C3下面要定出常数 C1，C 2，C 3方法 1。由泰勒公式及 y(x)一 x2(x0)y(0)=0， y(0)=0，y (0)=2 方法 2。C 1=0，C 2=2，C3=2因此 y(x)=2(1 一 cosx)11 【正确答案】 【试题解析】 【分析一】选用球坐标，则 的球坐标表示：【分析二】选用柱坐标变换，且选择先对 r 积分的顺序由于 0z2，D(z)：002 ，0rz，12 【正确答案】 【试题解析】 简单的放大、缩小法小能解决问题，再看 x0 是否是某函数在某区间的一个积分和 这是在0，1 上的一个积分和(将区间0 ，1n 等分)，因此13 【正确答案】 k(一 1，1，1
15、) T，k0 为任意常数【试题解析】 “特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵 A 只有一个线性尤关的特征向量，故特征值 0 必是 3 重根，且秩 r(0EA)=2由 i=aii 知 30=4+(一2)+1，得特征值 =1(3 重)又 因为秩r(EA)=2，因此有 a=一 2此时(EA)x=0 的基础解系是(一 1，1，1) T故 A 的特征向量为 k(一 1，1，1) T，k0 为任意常数14 【正确答案】 2【试题解析】 用 t 分布的典型模式来确定 k 的值由于又 且相互独立，故由于 U 与 V 相互独立，根据 t 分布的典型模式知由题设知，三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16、骤。15 【正确答案】 由题设条件可求得下证 F(x)0(x0)由，有 g(x)=x2f(x)+2xf(x)一 2xf(x)一 2f(x)+2f(x)=x2f(x)，由于 f(x)0(x0)g (x)0(x0)又 g(x)在0，+)连续g(x)在0，+)单调增加g(x)g(0)=0(x0)F (x)0(x0)因此 F(x)在(0，+)是凹函数16 【正确答案】 这里用二阶导数来表示定积分值，一个自然的想法是用分部积分法按要证的结论(也为了利用条件 f(1)=0)，先将0，2上的积分表成0，1上的积分与1 ，2 上的积分之和17 【正确答案】 用题(I)的结论，有18 【正确答案】 【分析与求解
17、一】 记这部分曲面为，它关于 Yz 平面对称，第一卦限部分曲面方程 于是的面积S 为 先求曲面微元表达式：再求投影区域 Dyz 由消去 x 得 z=y，这是 Dyz 的一条边界，另外的边界线是柱面 x2+(y一 1)2=1 与 yz 平面的交线，即 y=2 以及 y 轴，于是 Dxy：0zy ，0y2 最后可求【分析与求解二】 柱面 x2+(y 一 1)2=1 的准线是 xOy 平面上的圆周C：x 2+(y 一 1)2=1，按柱面介于坐标面与它的上方曲面之问部分的面积公式，有在 C 上，x 2+y2=2y，于是 曲线 C 的参数方程：x=costy=1+sint ，t0，2 ，又 因此19 【
18、正确答案】 (1)如图，由题设有从而 令 则 x=t2n，于是20 【正确答案】 对题(I)中的 l(n)表达式，令 t=sin，则有方法 1。将式作如下变形 方法2。将式作如下变形将，两式相加得 由连续函数定积分的比较性质可得21 【正确答案】 由 及式 为求此级数的和，考察 ，则有 取因此22 【正确答案】 由复合函数求导法23 【正确答案】 由题(I) 又 u(rcos，rsin 对 r 在0，+) 上连续 ，有 u(x，y)=u(rcos，rsin)=u(rcos ，rsin)Ir=0=u(0 ，0)24 【正确答案】 由题(I)，有 对 r 从 R 到 r 积分得注意，u(Rcos，
19、Rsin)对 在0，2 上连续，故有界又 从而 因此25 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式可知矩阵 A 的特征值是1，1，2因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 A 可化为相似对角矩阵对应重根 1=2=1，应该有 2 个线性无关的特征向量于是 r(1.EA)=32=1，即 r(EA)=1又 故 a=1,由(E-A)x=0,即得基础解系 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，0) T由(2EA)x=0，即 得基础解系 3=(2，一 1，3) T那么令P=(1,2,3)，有 P-1AP=A= 从而 A=PAP-1于是 An=PnP-126 【正确答案】 因为 AT=A，则(AP) T
20、(AP)=PTATAP=PTA2P，又故问题化为：求可逆矩阵 P，使 PTA2P 为对角矩阵构造矩阵为 A2 的二次型 xTA2x=x12+x22+5x32+20x42+20x3x4，经配方xTA2x=x12+x22+5(x3+2x4)2，那么，令 即则二次型化为标准形 xTA2x=y12+y22+5y32，于是，二次型合同故27 【正确答案】 由 EAI=(A21)( 一 5)，知矩阵 A 的特征值为：1，5，0，一 1，进而可知 A+kE 的特征值为 k+1，k+5，k，k 一 1于是由 A+kE 正定可知，k128 【正确答案】 求一个随机变量 U 的数字特征，可以先求出 U 的概率密度
21、，再计算 EU 与 DU【解法一】令 V=X+Y，先求 V 的分布函数 F(v)与密度函数 f(v)其中，D 1 与 D2 如图所示于是故又因此【解法二】直接应用随机变量函数的期望公式：若(X，y)f(x ，y)，则有具体到本题【解法三】就本题具体条件可以判断该二维均匀分布随机变量(X，Y)的两个分量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间0 ，2 上均匀分布，因此有EU2=E(X+Y)4=EX4+4EX3Y+6EX2Y2+4EXY3+EY4由于 X 与 Y 独立，因此 X3 与 Y，X 2 与 Y2，X 与 Y3 也分别独立，其乘积的期望等于期望的乘积EU 2=EX4+4EX3EY+6EX2EY2+4EXEY3+EY429 【正确答案】 记样本的似然函数为 L()，对于总体 X 的样本值x1，x 2，x n，其似然函数当 xi0时(i=1，2，n)，对 L()取对数并对 求导数，得令(1nL) =0，得驻点不难验证 就足 L()的最大值点，因此 的最大似然估计量为30 【正确答案】 首先求 lnX 的分布由于被积函数 f(s)恰是正态分布 N(，1)的密度，因此随机变量 lnX 服从正态分布 N(，1)，即故 是 的无偏估计量
