1、考研数学（数学一）模拟试卷 300 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 定积分（A）（B）（C）（D）2 设 则 f(x)在( 一，+)内（A）没有零点（B）只有一个零点（C）恰有两个零点（D）恰有三个零点3 设 L 为从 0(0，0)沿曲线 到点 A(1，1) 的曲线，则曲线积分,2y)dy=（A）（B） e 一 1（C）（D）e+1 4 下列级数中属于条件收敛的是（A）（B）（C）（D）5 a=一 5 是齐次方程组 有非零解的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件6 设 n 维列向量 矩阵 A=E
2、一 4T，其中 E 是 n 阶单位矩阵，若 n 维列向量 =(1，1，1) T，则向量 A 的长度为（A）（B）（C） n（D）n 27 对任意正整数 m，n，随机变量 X 都满足 PXm+nXm=PXn，记PX0（C） P0，b0，则一定有（A）X 与 Y 不相关（B） X2 与 Y2 不相关（C） X+Y 与 XY 不相关（D）X 2+Y2 与 X2 一 Y2 不相关二、填空题9 质量为 M，长为 l 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 C 的引力 其中 k 为引力常数,现将质点 C 在杆的延长线上从距离近端 rn，处
3、移至无穷远时，则引力作的功为_10 微分方程 的通解为_11 设 当 r0 时有连续的二阶偏导数且满足则 u=u(r)满足的常微分方程是 _12 设有曲面 S=x2+y2=a2(0zn)，则 =_。13 设 ，B 是 3 阶非零矩阵，满足 BA=0，则矩阵 B=_14 在以原点为圆心的单位圆内面平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则任意俩的弦其长度大于 1 的概率为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)连续，且满足 求 f(x)16 (I)已知由参数方程 确定了可导函数 y=f(x)，求证：x=0 是y=f(x)的极大值点17 设
4、 F(c，y)在(x 0，y 0)某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y 0)=Fx(x0，y 0)=0，F y(x0，y 0)0，F xx(x0，y 0)0 的某邻域确定的隐函数 y=y(x)，它有连续的二阶导，且 y(x0)=y0 求证 y(x)以 x=x0 为极小值点17 设有一容器由平面 z=0，z=1 及介于它们之间的曲面 S 所同成过 z 轴上 点(0，0， z)(0z1)作垂直于 z 轴的平面与该立体相截得水平截面 D(z)，它是半径的圆面若以每秒 vn 体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的18 写出注水过程中 t 时刻水面高度 z=z(t)与相应的水体积
5、=V(t)之间的关系式，并求出水面高度 z 与时间 t 的函数关系；19 求水表面上升速度最大时的水面高度；20 求灌满容器所需时间21 将三重积分的累次积分 表为定积分21 设函数 Fn(x)= 其中 n=1，2，3，为任意自然数，f(x)为0，+)上正值连续函数求证：22 Fn(x)在(0 ，+)存在唯一零点 x0；23 收敛：24 24 已知 4 元齐次线性方程组 的解全是 4 元方程(ii)x 1+x2+x3=0 的解，25 求 的值；26 求齐次方程组(i) 的解；27 求齐次方程(ii)的解27 已知三元二次型 xTAx 的平方项系数均为 ，设 =(1，2，一 1)T 且满足A=2
6、28 求该二次型表达式；29 求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换；30 若 A+kE 正定，求 k 的取值30 设甲袋中有 9 个白球，1 个黑球；乙袋中有 10 个白球每次从甲、乙两袋中各随机地取一球交换放入另一袋中，试求：31 这样的交换进行了 3 次，黑球仍在甲袋中的概率 p3；32 这样的交换进行了 n 次，黑球仍在甲袋中的概率 pn；33 设总体 X 的概率密度为 其中 a，b(b0)都是未知参数又 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，试求 a 与 b 的最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 300 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个
7、选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 先配方后分段积分，即作平移变换，令 t=x 一 1 得 其中，因此,故选 B.2 【正确答案】 C【试题解析】 求 f(x)，分析其单调性区间由于因此 x=一 1 是 f(x)的最小值点，且又 由连续函数的介值定理，在(一，一 1)与(一 1，+)内必存在 f(x)的零点又因 f(x)在(一 ，一 1)与 (一 1， +)均单调，所以在每个区间上也只能有有一个零点因此， f(x)在(一， +)恰有两个零点故应选 C3 【正确答案】 C【试题解析】 【分析一】先求原函数，再求积分值故应选C【分析二】将积分表成积分存全平面与路径无
8、关。取特殊路径即如图所示的折线，有故应选 C4 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一】A，B，C 不是条件收敛由其中 收敛， 发散A 发散其中 均收敛B 绝对收敛由 C 绝对收敛因此应选 D【分析二】直接证明 D 条件收敛 单调下降趋于零(n)交错级数 一收敛又而 发散 发散D 条件收敛故应选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 n 个方程 n 个未知数的齐次方程组 Ax=0 有非零解 A=0 又可见 a=一 5 能保证A =0，但A=0 并不必须 a=一 5因而 a=一 5 是充分条件并非必要条件故应选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 利用向量内积可计算出向量的长度由于又 ATA=(E
9、 一 4T)T(E 一 4T)=(E 一 4T)=(E 一 4T)=E 一 8T+16(T)T=E 一 8T+8T=E，而所以 故应选 B注意7 【正确答案】 D【试题解析】 离散型随机变繁中的几何分布与连续型随机变量中的指数分布都满足题设条件若 X 服从几何分布，则 p=PX -，且 08 【正确答案】 A【试题解析】 从题设条件可得 EX=EY=0，EXY=a 一 a 一 a+a=0，cov(X，Y)=EXYEXEY=0，=0，即 X 与 Y 不相关，故应选 A进一步分析，X 2 与 Y2 的联合概率分布应为EX2=4a+2b，EY 2=6aEX2Y2=4a对于选项 B： X2 与 Y2
10、不相关 EX2Y2=EX2EY2 ,6a(4a+2b)=4a ,6a+3b=1与 6a+2b=1且 b0 相矛盾，故选项 B 不成立对于选项 C 和 D：X+Y 与 XY 不相关cov(X+Y， XY)=0 DX=DY EX2=EY2 ,4a+2b=6a a=bX 2+Y2 与 X2一 Y2 不相关 v(X2+Y2，X 2 一 Y2)=0 DX2=DY2 2a(4a+2b)=6a.2b a=b若令a=015 ，b=005，ab，则 X+Y 与 X 一 Y，相关且 X2+Y2 与 X2 一 Y2 也相关，故选项 C 与 D 均不成立二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 以 AB 为 x 轴，
11、近端点为原点，正 x 轴指向标为 x,则杆 C 的引力，于是，C 从 r0 移至无穷远时，引力作的功10 【正确答案】 其中 C 味任意常数。【试题解析】 将原方程改写成 以 y 为因变量，这是伯努利方程，两边乘 x-2 得 以 为未知函数，这是一阶线性的，两边再乘得 于是通解为其中 C 为 常数11 【正确答案】 【试题解析】 由复合函数求导法，建立 u 对 x，y 的偏导数与 u 对 r 的导数间的关系，把题设方程转化为 u(r)的常微分方程u(x,y) 是 u(r)与 的复合，注意 由对称性将它们相加得因此 u=u(r)满足的常微分方程是12 【正确答案】 【试题解析】 用 S 的方程简
12、化被积表达式，并注意 S 关于 yz 平面，zx 平面均对称，被积函数对 x，y 均为偶函数，于是 其中S1=Sx0，y0 ，投影到 yz 平面上，13 【正确答案】 其中 k1，k 2，k 3 不全为 0【试题解析】 由 BA=0 知 r(B)+r(A)3又由 B0知 r(B)1显然 A 中有 2 阶子式非 0，知 r(A)2故必有 r(A)=2，r(B)=1由 (a1)2=0，得a=1因 ATBT=0，所以齐次线性方程组 ATx=0 的解就是 B 的行向量，又由可知 ATx=0 的通解为 k(一 1，1，1) T故其中 k1，k 2，k 3 不全为 014 【正确答案】 【试题解析】 如图
13、弦 AB 与 x 轴垂直，没其交点为 x，依题意该交点存横轴 x 上的位置是等可能的这是一个几何型概率问题设事件 C 表示“弦 AB 的长度AB大于 1”，依题意 C 的样本点集合为 C=x=AB=，样本空间 =x：x ，则根据几何概率定义可得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，转化为被积函数不含参变量的情形令 s=x 一 t 得即 现把它转化成微分方程问题式两边求导得 又式中令 x= 得 f()=0在对求导得 f(x)+f(x)=2在 中令 x= 得 f()=0于是问题转化为求解初值问题 其中 y
14、=f(x)这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解 y*=2，于是通解为 y=C1cosx+C2sinx+2由 解得 C1=2，C 2=0因此 y=f(x)=2cosx+216 【正确答案】 由 x=arctant 知 由 y=ln(1 一 t2)一 siny 知 为求 需先求 由参数方程得于是其中 0 是充分小的数因此x=0 是 y=f(x)的极大值点17 【正确答案】 由隐函数求导法知 y(x)满足 令 x=x0，相应地y=y0 得 y(x0)=0将上式再对 x 求导，并注意 y=y(x)即得再令 x=x0 相应地 y=y0，y (x0)=0，得 因此 x=x0 是 y=y(x)的极小值点1
15、8 【正确答案】 由截面已知的立体体积公式可得 t 时刻容器中水面高度 z(t)与体积V(t)之间的关系是 其中 s(z)是水面 D(z)的面积，即 S(z)=z2+(1一 z)2现由 及 z(0)=0，求 z(t)将上式两边对 t 求导，由复合函数求导法得 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得(*)两边积分并注意 z(0)=0，得(*)19 【正确答案】 求 z 取何值时 取最大值已求得(*)式即因此，求 取最大值时 z 的取值归结为求 f(z)=z2+(1一 z)2 在0，1上的最小值点由f(z)在 在0，1上取最小值故 时水表面上升速度最大20 【正确答案】 归结求容器的体积，即 因
16、此灌满容器所需时间为 或由于灌满容器所需时间也就是 z=1 时所对应的时间 t，于是在(*) 中令 z=1 得 ，即21 【正确答案】 【分析与求解一】将 J 表成 ，确定积分区域 ，然后选择适当的积分顺序，将它化为定积分将 J 看成是三重积分的先一后二的累次积分，于是 其中因此， 是由半球面与半平面 z=l 所围成两面的交线是 即 在 xy 平面上的投影区域是 x2+y21，z=0，即 Dxy.现改为先二后一(z)的积分顺序， 的不等式表示为 ，截面区域 D(z)：x 2+y22一 z2，面积 S(z)=(2 一 z2)因此【分析与求解二】将 J 看成是三重积分的先二后一的累次积分，确定二重
17、积分的积分区域，然后逐次对二重积分交换积分次序，化为定积分其中 这里 x 视为常量，在 yz 平面上如图所示在 Dxy 上改为先 y 后 z 的积分顺序于是 其中现在 DxY 上改为先 X 后 z 的积分次序：于是 其中【分析与求解三】将 J 表成三重积分 之后，问题变成如何计算这个三重积分(化为定积分) ， 如前所述除 r 先二后一的积分顺序外，因 为旋转体，也可选择柱坐标变换(x=rcos，y=rsin ，z=z)，并选择先 r， 后 z 的积分顺序化为定积分 的柱坐标表示： 于是22 【正确答案】 F n(x)在0，+) 内可导(也就必然连续) ，又jF n(x)在 存在零点，记为xn，
18、则 Fn(xn)=0又 F n(x)在0，+)单凋上升F n(x)在(0，+)有唯一零点，就是这个 xn23 【正确答案】 在前面的证明中已得估计式 因 收敛，由比较原理知， 收敛又 In(1+xn)一 xn(n) 收敛24 【正确答案】 方法 1。 前面已导出又方法 2。 直接由同样得25 【正确答案】 因为方程组(i)的解全是(ii) 的解，所以 同解那么(i)和(iii)的系数矩阵 有相同的秩如 a=0，则 r(A)=1，而 r(B)=2，所以下设 n0由于因为 a 和 a 一 1 不能同时为0，故秩 r(A)=3又 当时，r(B)=3 ，此时(i)与(iii)同解26 【正确答案】 由
19、于 基础解系为 ，则通解是 k，其中 k 为任意实数27 【正确答案】 由于 x1+x2+x3=0 的基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一1，0，1，0) T， 3=(0，0，0，1)T，则通解是 k11+k22+k33，其中 k1，k 2，k 3 是任意实数28 【正确答案】 据已知条件，有 即解出 a12=2，a 13=2，a 23=一 2，所以 xTAx=4x1x2+4x2x34x2x329 【正确答案】 由 得矩阵 A 的特征值为 2，2，一 4由(2E A)X=0，得 =2 的特征向量 1=(1，1，0)T， 2=(1，0，1) T；由(一 4EA)X=0，得 =一
20、 4 的特征向量 3=(一1，1，1) T将 1， 2 正交化令 1=1，则 2=2 一再对 1， 2， 3 单位化，有那么令 有xTAx=yTAy=2y12+2y22 一 4y3230 【正确答案】 因为 A+kE 的特征值为后+2 ，k+2，k 一 4，所以当 k4 时，矩阵A+kE 正定31 【正确答案】 不管黑球在甲袋中还是在乙袋中，每次试验只有两种结果：取到黑球和取不到黑球，取到黑球的概率是 01，且各次试验相互独立三次取球交换可以看成 i 次独立试验，而黑球仍在甲袋中的概率，是 3 次取球中黑球被取到 0次或 2 次的概率，因此所求概率为 p3=C30(01) 0(09) 3+C32(01)209=0756 32 【正确答案】 根据(I)的分析，当交换了 n 次以后，黑球仍在甲袋中的事件是黑球被抓到了偶数次，也就是二项分布中所有含 01 的偶次幂项的和，故所求概率为33 【正确答案】 设 X1,X2，X n 为样本 X1,X2， ，X n 的观测值，则似然函数L(x1，x 2， ，x n；a ，b)垒 L(a，b)为由于 nb0，故 lnL(a，b)与L(a，b) 关于 a 是增函数，但是又因只有 a1，x 2，x n)时，L(a,b)才不等于零，故a 取的最大值为 min(x1，x 2，x n)再根据方程于是(a,b)的最大似然估计量分别为
