1、考研数学（数学一）模拟试卷 303 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题正确的是( )（A）设 anbn(n=12，)，并设 收敛，则 亦收敛（B）设 anb n(n=1，2，)，并设 发散，则 亦发散（C）设 anb n(n=1，2，)，并设 发散，则 亦发散（D）设a n b n(n=1 ，2，)，并设 收敛，则 亦收敛2 当 x0 时，下列 3 个无穷小按后面一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是 ( )（A）， （B） ，（C） ， ， （D），3 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数(若下式中用到 f(x)，则设 f(x)存
2、在)，则以下 4个结论，不正确的是 ( )（A）f (x)必以 T 为周期（B） 必以 T 为周期（C） 必以 T 为周期（D） 必以 T 为周期4 设 D 是由曲线 y=x3 与直线 所围成的有界闭区域，则( )（A）（B）（C）（D）5 设 A 是 3 阶非零矩阵，满足 A2=0，若线性非齐次方程组 Ax=b 有解，则其线性无关解向量个数是 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个6 设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=0，其中 则( )（A）a= 一 1 时，必有 r(A)=1（B） a一 1 时，必有 r(A)=2（C） a=2 时，必有 r(A)=1（D）a2
3、 时，必有 r(A)=27 设随机变量 X，Y 满足 则Pmin(X，Y)0) ( )（A）（B）（C）（D）8 设随机变量 XU(0，2)，令 U=sinX，V=cosX，则( )（A）U 与 V 不相关（B） U 与 V 独立（C） U2 与 V2 不相关（D）U 2 与 V2 独立二、填空题9 设 u=x2eyz3，其中 z=z(x，y)由方程 x3+y3+z3 一 3xyz=0 所确定，则 du x=-1,y=0=_10 =_.11 微分方程 ydxxdy=x2ydy 的通解为_12 =_.13 直线 与 相交于一点，则a=_14 设随机变量 X 服从参数为(2，2)的 F 分布，给定
4、 0a1，若 PX)=005，则 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 yOz 平面上的曲线 ，绕 z 轴旋转一周与平面 z=1，z=4 围成一旋转体 ，设该物体的点密度 =r2，其中 r 为该点至旋转轴的距离，求该物体的质心的坐标16 设有向曲面 S：z=x 2+y2，x0，y0，z1，法向量与 z 轴正向夹角为钝角求第二型曲面积分17 设 f(x)为连续函数，且 且当 x0 时,与 bxk 为等价无穷小，其中常数 b0，k 为某正整数，求 k 与 b 的值及f(0)，证明 f(x)在 x=0 处可导并求 f(0)17 设18 证明存在一点 ，S n-1 S n，使得
5、19 证明级数 收敛20 设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(0)=2，且函数 满足求 z 的表达式21 设 A 是 3 阶矩阵，b=9，18，一 18T，方程组 Ax=b 有通解 k1-2，1，0T+k22，0，1 T+1，2，一 2T，其中 k1，k 2 是任意常数，求 A 及 A10022 (I)设*5 问 a，b 为何值时， 1， 2 能同时由 1,2,3 线性表出若能表出时，写出其表出式；() 设 问 a，b 为何值时，矩阵方程 AX=B；有解，有解时，求出其全部解22 设(X，Y)在区域 D=(x，y)x 2+y21，x0，y0)上服从均匀分布，令求23 (U， V)的概率分布；
6、24 U 与 V 的相关系数25 设 X1，X n1 与 Y1，,Y n2 为分别来自总体 N(1， 2)和 N(2， 2)的简单随机样本，样本方差分别为 ，令 Z=aS12+bS22，其中 a 与 b 为常数，若统计量 Z 为 2 的无偏估计量，求 a 与 b 满足的条件，并在此条件下，当 a 与 b 取何值时，统计量为最有效考研数学（数学一）模拟试卷 303 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 发散，从而 亦发散因若后者收敛，则 绝对收敛，又由a nb n，(n=12，)，故 为正项级数，且 发散，由比较判别法知，
7、发散，故应选 B其他 A， C，D 均可举出反例如下：A 的反例: 收敛, 但 发散C 的反例发散, anb n，但 却收敛D 的反例见C 的反例2 【正确答案】 D【试题解析】 所以当 x0 时,所以当 x0 时, 对于 ，用佩亚诺余项泰勒展式展开最方便所以当x0 时， 综合之，从低到高排列应是 ，选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 B 的反例：f(x)=sin 2x，以 为周期，但不是周期函数，B 不正确，选 B事实上，设 f(x)有周期 T，则 有周期 T 的充要条件是证明如下：令 有可见 F(x+T)F(x)的充要条件是证毕以下说明 A，C，D 均正确由 f(x+T)=f(x)及
8、f(x)可导，有f(x+T)=f(x)所以 f(x)有周期 T，A 正确C 中的被积函数是 t 的周期函数，由以上证明, 以 T 为周期的充要条件是 而该积分中的被积函数 f(t)一 f(一 t)是 t 的奇函数，成立，所以 C 正确D 中令有所以 F(x)以 T 为周期，D 正确4 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，作曲线 y=一 x3，连同 x 轴与 y 轴，将 D 分成 4 块按逆时针方向，这 4 块分别记为 D1，D 2，D 3 与 D4由奇偶性，故应选 D5 【正确答案】 C【试题解析】 A 是 33 矩阵，A 2=A.A=0，故 r(A)+r(A)=2r(A)3，得 r(A)
9、 ，又AO，r(A)1从而知 r(A)=1齐次方程组 Ax=0 的基础解系中线性无关解向量的个数为 n 一 1=31=2故非齐次线性方程组 Ax=b 的线性无关解向最的个数是 3个故应选 C【注】设 Ax=b 有通解为 k11+k22+，则 ,+1，+ 2 就是 Ax=b的 3 个线无关解向量6 【正确答案】 C【试题解析】 A 是非零矩阵，r(A)0AB=0,(A)0 r(B)3,(A)0故 r(B)2当 a=一 1 时 r(B)=1r(A)=1 或 2。A 不成立当 a一 1 时，必有 a=2，r(B)=2r(A)=1，B 不成立当 a2 时，必有 a=一 1r(B)=1r(A)=1 或
10、2D 不成立由排除法，故应选C或当 a=2 时 r(B)=2r(A)=1，故应选 C7 【正确答案】 D【试题解析】 即 又即得因为8 【正确答案】 A【试题解析】 XU(0，2) ，于是 X 的概率密度函数为于是cov(U，V)=E(UV) 一 EU.EV=0所以随机变量 U，V 不相关，不相互独立PU 2+V2=1=P(sin X)2+(cosX)2=1=1，于是 U2 与 V2 不是不相关，且 U2 与 V2不独立二、填空题9 【正确答案】 一 5dx 一 2dy【试题解析】 由 x3+y3+z3 一 3xyz=0 有 3x2dx+3y2dy+3z2dz 一 3yzdx 一 3xzdy
11、一3xydz=0，再由 x=一 1，y=10，可得 z=1 将这些代入上述做分式中，得 dz=一dxdy 又因 du=2xeyz3dx+x2eyz3dy+3x2eyz2dz 将 x=一 1，y=0，z=1 及 dz=一dx 一 dy 代入，得 du=一 2dx+dy+3dz=一 5dx 一 2dy10 【正确答案】 【试题解析】 交换积分次序：11 【正确答案】 【试题解析】 法一 将方程改写为 此为全微分方程，即通解 法二 改写为 此为以 x 为未知函数的伯努利方程按伯努利方程解法，得如上12 【正确答案】 e -1【试题解析】 13 【正确答案】 0【试题解析】 将直线的标准方程(点向式方
12、程)改为交面式方程，L1 和 L2 相交于一点 四平面交于一点 方程组 有唯一解 对Ab作初等行变换，得故 a=0 时，两直线交于一点14 【正确答案】 095【试题解析】 因为 XF(2，2)，则 即三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由于 及点密度关于中心轴(z 轴)对称，所以质心在 z 轴上，质心坐标为 C(0，0，z)，其中 对于 用柱面坐标，先 r、 后 z，于是类似地，所以 质心坐标16 【正确答案】 方法一 投影法：S 在 yOz 平面上的有向投影为D1=(y，z) y 2z1)，法向量向前；S 在 xOy 平面上的有向投影为D2=(x，y) 0
13、z 2+y21， z0，y0)，法向量向下所以方法二 先化成第一型曲面积分再计算有向曲面S：z=z 2+y2(x0，y0，z1)，它的与 z 轴正向夹角为钝角的法向量 n=2x，2y，一1)， 从而又因 S 在 xoy 平面上的投影区域D=(x，y) 0x 2+y21，x0，y0，于是17 【正确答案】 由题设条件有(*)在(*) 式中取 k=3，由(*)式，有按题设条件，有 故 再由(*)式可知 且 故 f(0)存在且18 【正确答案】 考虑 由拉格朗日中值定理，有 f(B)一 f(A)=f()(b 一 a)(ab)令 a=Sn-1，b=S n 代入得 证毕19 【正确答案】 级数 为正项级
14、数，其部分和有上界，所以该级数收敛20 【正确答案】 于是原方程化为(1 一 u2)f(u)+2f(u)=u，其中 初始条件为 f(0)=2解上述方程，得再由初始条件 f(0)=2，求出 C=1所以于是21 【正确答案】 法一由题设条件知，对应齐次方程的基础解系是 1=一 2，1，0T,2=2，0，1 T,即 1， 2 是 A 的对应于 =0 的两个线性无关的特征向量，又=1，2，-2 T 是 Ax=b 的特解，即有 知 3=1，2，一2T= 是 A 的对应于 =9 的特征向量，取可逆阵 P=1， 2， 3，则得 P-1AP=A，A=PAP -1，其中因故(1)或(2)A 100=(PAP-1
15、)100=PA100P-1 法二 由方程组的通解直接求出系数矩阵 A33因对应齐次方程组 Ax=0 有通解为k11+k22=-k1-2，1，0 T+k22，0，1 T，故，r(A)=1可设方程组为ax1+bx2+cx3=0，将 1， 2 代入，则有 得 c=一 2a，b=2a ，故方程组为a(x1+2x2 一 2x3)=0对应的非齐次方程组为 将特解=1，2，-2 T 代入得 k1=1，k 2=2，k 3=一 2故得对应矩阵 再求 A100(见法一(1)或因 A 1=0， 故 A 1001=0；A 2=0， 故 A1002=0A=9 故A100=9100故 A 1001， 2，=0，0，9 1
16、0022 【正确答案】 (1)对增广矩阵AB作初等行变换，得A3，b 任意， 1， 2 均可由 1,2,3 线性表出，且表出法唯一 A1=1 的解为 x1=一3，x 2=2，x 3=0，即 1=一 31+22A 2=2 的解为即 其中 a3，b 足任意常数a=3，b=1 有无穷多解 1， 2 均可由 1,2,3 线性表出且表出法无穷多A 1=1，有解 k11， 2，1 T+-2，0，1 T 其中 k1 是任意常数A 2=2，有解是 k21，一 2，1 T+1，0，0 T，其中 k2 是仟意常数()由(I) 知。当 a3，b 任意时，AX=B 有唯一解，且 当 a=3，b=1 时，AX=B 有无
17、穷多解，且得 其中 k1，k 2 是任意常数【试题解析】 (I) 1， 2 可同时由 1,2,3 线性表出，则a1x1+a2x2+a3x3=i，i=1，2，方程都有解()方程 AX=B，将 AX=B 以列分块，设 X=1， 2B= 1， 2即 A1， 2=1， 2有解 ;A1=1 且 A2=2 有解23 【正确答案】 二维随机变量(U，V)的可能取值为(0，0)(01)(1 0),(1，1)丁是 于是(U，V)的联合分布律为24 【正确答案】 于是所以 U 与 V 的相关系数为25 【正确答案】 若 Z=aS22+bS22 为 2 的无偏估计量，则 EZ=E(aS22+bS22)=aES22+bES22=(a+b)2=2解得 a+b=1令 b=1 一 a，则 Z=aS12+(1 一 a)S22 为 2 的无偏估计量，其中 0a 1，于是 DZ=DaS12+(1a)S22=a2DS12+(1 一 a)2DS22令解得 另一方面，所以当 时，统计量 Z 的方差最小，即为最有效
