1、考研数学（数学一）模拟试卷 305 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在(a，b)内可导，下述结论正确的是 ( )（A）设 f(x)在(a，b)内只有 1 个零点，则 f(x)在(a，b)内没有零点（B）设 f(x)在(a，b)内至少有一个零点，则 f(x)在(a，b)内至少有 2 个零点（C）设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多有 1 个零点（D）设 f(x)在(a，b)内没有零点，则 f(x)在(a，b)内至多有 1 个零点2 设函数 则 f(x)的间断点( )（A）不存在（B）有一个（C）有两个（D）有
2、三个3 设 f(x)在区间(一，+)上连续且满足 则在(一，+)上，当 x0时，f(x) ( )（A）恒为正 （B）恒为负（C）与 x 同号 （D）与 x 异号4 设正项级数 收敛，正项级数 发散，则 必收敛 必发散 必收敛 必发散中结论正确的个数为 ( )（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个5 设 A，B，C ，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A，D 非零，B，C 可逆，且满足ABCD=0，若 r(A)+r(B)+r+r(D)=r，则 r 的取值范围是 ( )（A）r10 （B） 10r12（C） 12r16 （D）r166 下列二次型中，正定二次型是 ( )（A）f 1(x1
3、， x2，x 3，x 4)=(x1x 3)2+(x2x 3)2+(x3x 4)2+(x4x 1)2（B） f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2（C） f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1 一 x2)2+(x2+x3)2+(x3x 4)2+(x4+x1)2（D）f 4(x1， x2，x 3，x 4)=(x1x 2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)27 设随机变量 X 与 Y 为独立的同分布，且均服从参数为 1 的指数分布，记Z=min(X，Y) ，则 PZ1)是 ( )（A）（B） e2（C）（
4、D）1 一 e-28 设随机变量 X 与 y 满足等式 PY=aX+6=1，则 X 与 Y 的相关系数 w 为 ( )（A）1（B）一 1（C）（D）0二、填空题9 设 是 f(x)的以 2为周期的傅里叶级数，则 a100=_10 微分方程 满足初始条件 的特解是_11 =_.12 二元函数 f(x，y)=x y 在点(e，0)处的二阶(即 n=2)泰勒展开式( 不要求写余项)为_13 设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 AB=AB，其中则A+E=_ 14 设随机变量 XU(0，1)，YE(1) ，且 X 与 Y 相互独立，则 PYX)=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15
5、 求曲面 4z=3x2+3y2 一 2xy 上的点到平面 xyz=1 的最短距离16 设函数 u(x，y) 具有连续的一阶偏导数，l 为自点 O(0，0)沿曲线 y=sinx 至点A(，0) 的有向弧段，求平面第二型曲线积分17 设 x 与 y 均大于 0 且 xy证明:18 (I)设 F(y)为连续函数，证明 : ()设=(x，y，z)0xy，0yz，0z1)，f(x) 为连续函数证明 :18 设 f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数 f(x)有界，证明：19 级数 绝对收敛；20 存在20 设 A，B 均为 nn 矩阵， 为 n 维列向量，且21 当 n=4 时，求解线性方程组 Ax=
6、；22 证明：A=B 22 设 A 是 n 阶矩阵，A 的第 i 行、第 i 列的元素 aii=i.j，求23 r(A)；24 A 的特征值，特征向量，并问 A 能否相似于对角阵，若能，求出相似对角阵；若不能，则说明理由25 设抛掷硬币 3 次，记随机事件 A 为第 1 次出现正面，随机事件 B 为出现两次正面，令 求二维随机变挝(X，Y) 的概率分布25 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，总体 X 的概率密度为其中 为未知参数，试求26 的最大似然估计量 ；27 令 ，确定 C 的值，使得 T 为参数 的无偏估计量考研数学（数学一）模拟试卷 305 答案与解析一、选择
7、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由罗尔定理，用反证法即可得其他均可举出反例例如，f(x)=x 3一 x+6=(x+2)(x一 2x+3)只有唯一零点 x=一 2，但 f(x)=3x2 一 1 有两个零点，所以A 不成立此例也说明 B 不成立又例如 f(x)=2+sinx，在(一，+)内没有零点，但 f(x)=cosx 在(一，+)内有无穷多个零点2 【正确答案】 C【试题解析】 故 f(x)有两个间断点3 【正确答案】 C【试题解析】 令 x 一 t=u，作积分变量代换，得所以 又因 f(0)=0，f (0)=1，所以4 【正确答案】 A
8、【试题解析】 正项级数 收敛，所以 所以当 n 足够大时，有an2an， 必收敛的反例： 收敛， 发散，而 发散的反例： 收敛， 发散，而 收敛的反例： 发散，但收敛可见只有正确5 【正确答案】 B【试题解析】 因 A0，D0，故 r(A)1，r(D)1，r(A)+r(D)2，B 0，C0，故 r(B)=4，r(C)=4从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)10又由 ABCD=0，其中 B，C 可逆，得 r(AB)+r(CD)=r(A)+r(D)4从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)12故 10r126 【正确答案】 D【试题解析】 法一 A 存在 x1=1，1，1，1 T，
9、使得 f1(x1)=0，f 1 不正定B 存在x2=1，一 1，1，一 1T，使得 f2(x2)=0，f 2 不正定C 存在 x3=1，1，一 1，一 1 T，使得 f3(x3)=0，f 3 不正定由排除法知，应选 D法二 或对D，f 4(x1，x 2，x 3，x 4)一(x 1 一 x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2，其中故 x=C-1y 是可逆线性变换，则由 知，f 4 是正定二次型法三 f 1(x1，x 2，x 3，x 4)一(x 1一 x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2=(x1 一 x2，x 2+x3，x 3+x4，x 4+x1)
10、=xTDTx=XTAx其中 A=DTD，D 是可逆阵故知 A=DTD 是正定阵，f 4 是正定二次型法四写出各二次型的对应矩阵，用顺序主子式是否都大于零来判别，请读者自行计算7 【正确答案】 B【试题解析】 设 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1， 2 的指数分布，令Z=min(X，Y)，则 Z 参数为 1+2 的指数分布(读者可自行完成证明)由题意可知ZE(2)，则 PZ1=e-28 【正确答案】 C【试题解析】 本题利用相关系数的性质求解由条件 PY=aX+b=1，得Y=aX+b，于是 cov(X，Y)=cov(X ，aX+b)=acov(X ，X)=aDX；DY=D(aX+b)=
11、a2DX，所以二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 所以 a100=010 【正确答案】 x=y 2+y【试题解析】 将 x 看成未知函数，写成 即 此为 x 对 y 的一阶线性方程，又因 y=10，由公式得将x=2，y=1 代入，得 C=1故得解 x=y2+y11 【正确答案】 【试题解析】 而所以原式12 【正确答案】 【试题解析】 f(e，0)=1， fx(x，y)=yx y-1，f x(e，0)=0，f y(x，y)=x ylnx，f y(e，0)=1， fxx(x，y)=y(y 一 1)xy-2，f xx(e，0)=0，f xy(x，y)=x y-1+yxy-1lnx，f xy
12、(e，0)=e -1，f yy(x，y)=x y(lnx)2，f yy(e，0)=1代入 n=2，点(e，0)处展开的泰勒公式为略去 R3，得如上所填13 【正确答案】 【试题解析】 由题设，AB=AB，(A+E)B A+EE，(A+E)(EB)=E，则14 【正确答案】 e -1【试题解析】 所以联合概率密度为 故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设曲面上的点的坐标为(z，y，z)，其到平面 zy 一 z=1 的距离为 在约束条件 3x2+3y2 一 2xy 一 4z=0 下，求 d2 的最小值为此令解之得唯一解 ，此点到平面的距离为最小，且16 【正确答
13、案】 原式=I 1+I2，其中故原式=4+17 【正确答案】 不妨认为 yx0(因若 xy0，则变换所给式子左边的 x 与y，由行列式的性质知，左式不变)，则 由柯西公式，存在 (x，y)使上式 记 f(u)=eu 一 ueu，有 f(0)=1，f (u)=一ueu0(当 u0)，所以当 u0 时，f(u)1，从而知 e一 e1于是得证18 【正确答案】 (I)交换积分次序，有() 令由(I)有19 【正确答案】 其中f (x)M，所以 绝对收敛20 【正确答案】 由于级数绝对收敛，所以 存在，从而 存在，即存在21 【正确答案】 n=4 时，将 Ax=的增广矩阵作初等行变换由阶梯形矩阵解得故
14、 Ax=有唯一解22 【正确答案】 法一 由(I)知从而得证A= B 法二 由法一，知法三 用归纳法证A= B 或A B=023 【正确答案】 法一(I)由题设条件知24 【正确答案】 由 A 的特征多项式故 A 有特征值当 1=2= n-1=0 时，方程组(E 一 A)x=0 就是方程组 Ax=0，其同解方程组是 x1+2x2+nxn=0，解得对应的线性无关特征向量为1=一 2，1，0，0 T， 2=一 3，0，1，0，0 T， n-1=一n，0，0，1 T当 时，( nEA)x=0，对系数矩阵作初等行变换，得方程组的同解方程组为 得对应的特征向量为 n=1，2，n T从而知 A 有 n 个
15、线性无关特征向量，A A，取则 法二 (I)由题设条件 中第 i 行元素是第 1 行的 i 倍故有其中 =1，2，n T0故 r(A)=1()因 A2=(T)(T)=(T)T=(T)A= ，故知 A 的特征值为 0，当 =0时，对应的特征向量满足 Ax=Tx=0，因 T 在方程Tx=0 两边左乘 T得 T(Tx)=(T)Tx=0。得 Tx=0当 Tx=0 时，两边左乘，得 Tx=0，故方程组为 Tx=0 与 Tx=0 是同解方程组只需解方程组Tx=0，解得线性无关的特征向量为 1=一 2，1，0，0 T， 2=一3，0，1，0，0 T， n-1=一 n,0，0 T又 故 A有一个非零特征值 当
16、 时，由( nEA)X=(TET)x=0。由观察知，x= 时，有( TE一 T)=(T)=(T)=(T)=(T)=0，故=1， 2， ，n T=n 是对应 的特征向量即 A 有 n 个线性无关的特征向量，A 能相似于对角阵(下同方法一)25 【正确答案】 将(X，Y)的概率分布转化为随机事件的概率根据题意可以确定以下随机事件的概率， 又二维随机变量(X，Y) 的可能取值为(0，0) ，(0，1)，(10)，(1，1)，于是于是(X，Y) 的联合分布律为26 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 为样本值，当 xi0(i=1 ，2，n) 时，似然函数为 两边同时取对数得 令解得 的最大似然估计值为 所以 的最大似然估计量为 27 【正确答案】 若 T 为参数 的无偏估计量，即 ET=事实上，解得 C=1【试题解析】 本题考查的是未知参数的最大似然估计和无偏性的验证
