1、考研数学（数学一）模拟试卷 306 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是 ( )（A）设存在 X0，在区间(X ，+) 内 f(x)有界，则，f (x)在(X ，+)内亦必有界（B）设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X ，+)内亦必有界（C）设存在 0，在区间 (0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界（D）设存在 0，在区间(0 ，) 内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界2 若级数 收敛，则下述结论不成立的是 ( )（A） 必收敛（B） 必收敛
2、（C） 必收敛（D） 必收敛3 设常数 则( )（A）当 0a 1 时，f(x)的最大值是（B）当 0a1 时，f(x) 的最大值是 f(0)（C）当 a1 时，f(x)的最小值是（D）当 a1 时，f(x)的最小值是、 f(0)4 设区域 其中常数 ab0D 1 是 D 在第一象限部分，f(x，y)在 D 上连续，等式 成立的一个充分条件是( )（A）f(一 x，一 y)=f(x，y)（B） f(一 x，一 y)=一 f(x，y)（C） f(一 x，y)=f(x，一 y)=一 f(x，y)（D）f(一 x， y)=f(x，一 y)=f(x，y)5 已知 1， 2， r(r3)是 Ax=0 的
3、基础解系则下列向量组也是 Ax=0 的基础解系的是 ( )（A） 1=一 2 一 3 一一 r， 2=1 一 3 一 4 一一 r， 3=1+2 一 4 一一r， r=1+2+ r-1（B） 1=一2+3+ r，2= 1+3+4+ r， 3=1+2+4+ r， r=1+2+ r-1（C） 1， 2， ， r 的一个等价向量组（D） 1， 2， r 的一个等秩向量组6 设 是 2 阶实矩阵，则下列条件不是 A 相似于对角阵的充分条件的是 ( )（A）adbc0（B） b，c 同号（C） b=c（D）b，c 异号7 设 X 服从正态分布 N(0， 2)，对于任意实数 ，则下列命题正确的是 ( )（
4、A）PX=PX（B） XN(0， 22)（C） X+N(， 2+2)（D）PX=1 一 PX一 )8 设随机变量(X，Y) 的联合概率密度为 f(x，y)，则下列给出的选项中 X 与 Y 不独立而一定不相关的是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题9 设 为曲线 y=y(x)在区间一 1x1 上的弧段，则平面第一型曲线积分 =_.10 设 u=u(x,y，z)具有二阶连续偏导数，且满足 又设 S 为曲面 x2+y2+z2=2az(a0)的外侧，则11 函数 u=3x2y 一 2yz+z3，v=4xy z3，点 P(1，一 1，1)u 在点 P 处沿 gradvp 方向的方向导数等于_12 设
5、 x0微分方程 的通解是 y=_13 设 其中 ai(i=1，2，3)为实数，则存在可逆阵 C，使得 CTAC=B，其中 C=_14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，若 X 与 Y 分别服从 则PX+Y1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 b 为常数，并设介于曲线 与它的斜渐近线之间的从 x=1 延伸到 x+的图形的面积为有限值，求 b 及该面积的值16 求 y+y一 2y=minex，1的通解17 求空间第二型曲线积分 其中 L 为球面x2+y2+z2=1 在第 1 象限部分的边界线，从球心看 L，L 为逆时针18 设 f(x)在a，b上具有二阶导数，且 f(x
6、)0，证明：19 将 展开成 x 的幂级数，并指明其成立范围，并求级数 的和20 设齐次线性方程组 有基础解系1=b11,b12,b13,b14T， 2=b21，b 22，b 23，b 24T，记 1=11,12,13,14T， 2=21,22,23,24T证明：向量组 1,2， 3， 4 线性无关20 设 A 是 n 阶矩阵， 是实数， 是 n 维非零向量21 若 A=，求 A2 的特征值、特征向量；22 若 A2=，问 是否必是 A 的特征向量，说明理由；23 若 A 可逆，且有 A3=，A 5=，证明 是 A 的特征向量,并指出其对应的特征值24 已知二维随机变量(X，Y)的联合密度函数
7、为问 X，Y 是否相互独立，是否相关?24 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，当 kXk+1 时，Y=k(k=0，1，)25 求 Y 的分布律；26 设 Y1，Y 2,，Y n 为来自总体 Y 的一个简单随机样本。求参数 的最大似然估计考研数学（数学一）模拟试卷 306 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 C 的证明因为在(0，) 内 f(x)有界，所以存在 M0，当 0x时，f (x)M对于区间(0，) 内的任意 x，另取同定的 x0(0，)，有f(x)=f(x) f(x)+f(x 0)f(x) 一 f(x0)+f(
8、x 0)=f ()(x 一x0)+f(x 0)M+f(x 0)所以 f(x)在区间(0，)内有界A 的反例：f(x)=x， f(x)=1在区间(1，+)内 f(x)有界但 f(x)在(1,+) 内无界B 的反例：在区间(1，+)内 f(x)有界，在(1，+)内 f(x)无界D 的反例： 在区间(0 ，1)内，f(x)有界在(0，1)内 f(x)无界2 【正确答案】 C【试题解析】 C 的反例 收敛，但 收敛故C 不正确而 A，B，D 是正确的因为 收敛，所以 从而于是a n2 a n2=a n2，所以 A 绝对收敛又因所以 绝对收敛又因 an+12)，所以绝对收敛3 【正确答案】 C【试题解析
9、】 f (x)=ax2 一 1，f (x)=2ax当 0a1 时， 为闭区间内部的唯一驻点，又因 f(x)0，故 为最小值也是最小值在两端点处，f(0)=0 现在要比较 与 0 的大小可见，当 时 为最大值，当 时，故 f(0)=0 为最大值所以 A、B 都不正确当 a1 时驻点不在闭区间 的内部，故在 (x)是严格单州减少的，所以 为最小值，选C4 【正确答案】 D【试题解析】 当 C 成立时，f(x，y)关于 x 和 y 都是奇函数积分应为零不选C因题中未说 类似于 C，可知也不选 A、B 当 D 成立时，f(x，y)关于 x 和 y 分别都足偶函数将 D 在各个象限中的部分分别记为D1，
10、D 2D 3 与 D4，于是故选 D5 【正确答案】 B【试题解析】 1=2+3+ r 2=1+3+ r 3=1+2+4+ r,r=1+2+r-1 是 Ax=0 的基础解系因由解的性质知，A i=A(1+2+ i-1+i+1+ r)=0，故 i 均是 Ax=0 的解向量向量个数为 r=n 一 r(A)，与原基础解系向量个数一样多因由1， 2， r 线性无关及 r3，有故1， 2， r 线性无关，则是 Ax=0 的基础解系，故应选 B另外对 A，当 r=3时， 1=一 2 一 3， 2=1 一 3， 3=1+2因 1 一 1+3=一 2 一 3 一( 1 一 3)+1+2=0， 1， 2， 3
11、线性相关，故 A 中 1， 2， r，不是 Ax=0 的基础解系对 C，与 1， 2， r 等价的向量组，向量组个数可以超过 r 个(即与1， 2， r，等价的向量组可能线性相关)对 D，与 1， 2， r 等秩向量组可能不是 Ax=0 的解向量，且个数也可以超过 r，故 A，CD 均不成寺6 【正确答案】 D【试题解析】 对 C，当 b=c 时，A 是实对称阵AA，故 C 是充分条件由 A的特征值，看什么条件下 A 相似于对角阵对 A，当 ad一 bc0 时，由(*)，(a+d) 2 一 4(ad 一 bc)0A 有两个不同的特征值A A 故A 是充分条件对 B，当 b，c 同正或同负时，由
12、 (*)式可知，(a 一 d)2+4bc 0A 有两个不同的特征值AA故 B 是充分条件对 D，当 b，c 异号时，由(*)式知，因 bc0，当(a 一 d)2+4bc=0 时，会有二重特征值例：b=一 1，c=1，异号，有1=2=0，但 r(QEA)=1，线性无关的特征向量只有一个， ，故 D 不是充分条件，故应选 D7 【正确答案】 D【试题解析】 X 服从正态分布 N(0， 2)，则所以选项 A 错误，另一方面 故选项 D 正确选项 B 中，若 =0，则不成立；选项 C 中，随机变量 X 作了平移变化，变换后的随机变量 X+N(， 2)8 【正确答案】 B【试题解析】 可以验证选项 A，
13、D 中 X 与 Y 相互独立，且不相关选项 C 中 X与 Y 的边缘概率密度分别为所以 f(x，y)f x(x).fy(y)，即 X 与 Y 不相互独立故 X 与 Y不是不相关选项 B 中 X 与 Y 的边缘概率密度分别为所以 f(x，y)fx(x).fy(y)，即 X 与 Y 不相互独立而 coy(X，Y)=E(XY)一 EX.EY=0，故 X 与 Y不相关二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 因为 的偶函数，所以 为 x 的奇函数，所以所以 如上所填。10 【正确答案】 【试题解析】 由高斯公式，以 表示 S 所围的球域，有11 【正确答案】 【试题解析】 gradvP=(一 4，4，
14、一 3)，单位化为所以所求方向导数12 【正确答案】 其中 C 是任意常数【试题解析】 由 有 于是有13 【正确答案】 【试题解析】 法一 A 是实对称阵，其对应的二次型为=a1x12+(a1+a2)x22+(a1+a2 一 a3)x32+2a1x1x2+2a1x1x3+2(a1+a2)x2x3=a1(x1+x2+x3)2+a2(x2+x3)2+a3x32；令即 即 得 f=a1y12+a22y22+a3y32)，其中 法二 用 左乘 A，得再用右乘 A1，得得即 CTAC=B，其中14 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 与 Y 相互独立，X 与 Y 分别服从令随机变量函数 Z=X+
15、Y，则 ，由分布律可得三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 先求 的斜渐近线介于曲线 与它的渐近线 y=x-1 之间从 x=1 延伸到 x+之间的面积为如果 b一 1 时，那么无论 b一 1 还是 b一 1，则 均与 A 为有限值矛盾，故 b=一 1，此时16 【正确答案】 将 y+y2y=mine x，1的右边写成分段表达式：分别解之，对于 y+y2y=e x，特征方程为 r2+r2=(r+2)(r 一 1)，对应的齐次微分方程的通解为 Y=C1e-2x+C2ex令非齐次微分方程的一个特解为 y1*=Axex，由待定系数法可求得 故相应非齐次微分方程的通解为对
16、于 y+y2y=1，容易求得为使所得到的解在 x=O 处连续且一阶导数连续，则C1，C 2，C 3，C 4 之间应满足 解得从而得原方程的通解为17 【正确答案】 法一 参数式法将 L 分成 3 段，在 xOy 平面上的一段记为 L1，参数式为 x=cost，y=sint，z=0，从 到 t=0于是其他两段计算类似，于是法二 用斯托克斯公式取曲面 S：x 2+y2+z2=1，x0 ，y0，z0，法向量指向原点于是 取计算之S 在 xOy 平面上的投影为Dxy=(x,y) x2+y21x0，y0) 于是其他两个类似，从而18 【正确答案】 先证左边，令 有其中 由于 f(x)0，所以 f(x)严
17、格单调增加，从而 是 (x)0，所以当 xa 时(x)0，有 (B)0，左边证毕再证右边令有其中a x由于 f(x)0，所以 f()f (x)，从而 (x)0于是当 xa 时，(x)0故 (B)0证毕19 【正确答案】 将后者展开，有从而当 x=1 时，右边级数收敛，左边函数连续，所以上式成立范围可扩大到 x=1，即上式成立范围为一 1x1把 x=1 代入上式左、右两边，得 从而20 【正确答案】 由题设条件： 1， 2 线性无关， r(1,2)=2， 1,2 线性无关，且1， 2 是方程组的解满足 iTi=0(i=1，2；j=1 ， 2) (*)法一 用线性无关定义证设有数 k1，k 2，k
18、 3，k 4，使得 k11+k22+k31+k42=0，(*)两边左乘 iT(i=1，2)，且利用(*)式得 (*)(*)式的系数矩阵为由，r(A)=r(A TA)及 1， 2 线性无关，有 方程组(*)只有零解，从而得 k1=k2=0将 k1，k 2 代入(*)式，因 1， 2 线性无关，得 k3=k4=0，从而得证 1,2， 1， 2 线性无关法二 r 1， 2， 1,2=r(1， 2， 1， 2T1,2， 1， 2)=r(1,2)T(1,2)+r(1,2)T(1,2)=r(1,2)+r(1,2)=2+2=4，故 1,2， 1,2 线性无关21 【正确答案】 由题设条件 A=两边左乘 A，
19、得 A2=A=2，故 A2 有特征值 2，对应的特征向量为 22 【正确答案】 不一定是 A 的特征向量，例如 故任意非零向量都是 A2 的特征向量，故 是 A2 的特征向量，但不是 A 的特征向量，因23 【正确答案】 A 3=， (*)A5=2(*)(*)式左乘 A3，得 A 6=A3=2；(*)式左乘 A，得 A 6=A故有 A=2，又因 A 可逆，故 A5 可逆，其对应的特征值0从而有 得证 也是 A 的特征向量，且对应特征值为24 【正确答案】 当 0x1 时， 则当一 1y0 时,当 0y1 时, 因为 p(x， y)PX(x).PY(y)，则 XY 不相互独立且coy(X，Y)=E(XY) 一 EX.EY=0则 X和 Y 不相关25 【正确答案】 当 kXk+1 时，Y=k(k=0 ，1， ),则 PY=k=PkXk+1=e k一 e(k-1)(k=0，1)26 【正确答案】 设 y1，y 2，y n 为一组样本值，于是样本似然函数为两边同时取对数得令 解得 的最大似然估计值为所以 的最大似然估计量为
