1、考研数学（数学一）模拟试卷 308 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 p(x)，g(x) ，f(x)均连续，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是微分方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解，C 1 与 C2 是两个任意常数，则这个方程对应的齐次方程的通解是 ( )（A）(C 1+C2)y1+(C1C2)y2 一(C 1+C2)y3（B） (C1C2)y1+(C2C1)y2+(C1 一 C2)y3（C） (C1+C2)y1+(1 一 C1)y2 一(1+C 2)y3（D）(C 1 一 C2)y1+(1 一 C1)y2+
2、C2y32 设 ，则 ( )（A）2（B） 4（C） 6（D）83 二重极限 ( )（A）不存在，但不是（B）为 （C）等于 0（D）等于 14 空间 n 个点 Pi(xi，y i，z i)，i=1 ，2，n；n4 矩阵 的秩记为 r，则 n 个点共面的充分必要条件是 ( )（A）r=1（B） r=2（C） r=3（D）1r35 设 ， 为 n 维单位列向量，P 是 n 阶可逆矩阵，则下列方程组中，只有零解的是 ( )（A）(E 一 T)x=0 （B） (TPP-1 一 T)x=0（C） (TP-1P 一 T)x=0 （D）(E+ T)x=06 设 D= 则( )（A）AB，CD（B） AD，
3、BC（C） AC ， BD（D）A，B，C，D 中没有相似矩阵7 某人抛掷硬币 3 次，已知其中有一次正面出现，则第二次出现正面的概率为( )（A）（B）（C）（D）8 设两个总体分别为 XN( 1， 12)和 yN( 2， 22)，先假设检验总体 X 的均值不小于总体 y 的均值，则检验假设为 ( )（A）H 0:12；H 1： 1 2（B） H0:1 2；H 1： 12（C） H0： 2；H 1： 1 2（D）H 0： 1 2；H 1： 12二、填空题9 设 z=z(x，y)是由方程 z+e2x=x2y 所确定，则 =_.10 设 y(x)是微分方程 y+(x+1)y+x2y=ex 的满足
4、 y(0)=0，3,y (0)=1 的解，并设存在且不为零，则正整数 k=_，该极限值=_11 设 ，则 f(2013)(0)=_12 微分方程 的通解为 y=_13 设 A 是二阶实对称阵，有特征值 1=4， 2=一 1， 1=一 2，1 T 是 A 对应于 1的特征向量，=3，1 T，则 A=_14 设随机变量 X 的分布律为 令 Y=X2，则 X 与 Y的协方差 cov(X，Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 L 为圆周 x2+y2=2 正向一周，计算曲线积分16 试确定常数 a 与 b，使得经变换 u=z+ay，v=x+by，可将 z 关于 x、y 的方
5、程化为 z 关于 u、v 的方程 并求出其解z=z(x+ay，x+by)17 设 a 为常数，讨论方程 ex=ax2 的实根个数18 设 讨论级数 的敛散性19 求平面 P 的方程，已知 P 与曲面 z=x2+y2 相切，并且经过直线 L：19 设 A 是 n 阶正定矩阵，x 是 n 维列向量，E 是 n 阶单位阵，记20 计算 PW；21 写出二次型 f=W的矩阵表达式，并讨论 f 的正定性21 设 A，B 是 n 阶矩阵22 A 是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=EA 是什么矩阵时，有 BE，使得AB=A；23 设 求所有的 B，使得 AB=A23 设二维随机变量(X，Y)在区域 D=
6、(x，y)0y1，yxy+1上服从均匀分布，令 Z=XY，求24 X 与 Y 的边缘概率密度函数并判断随机变量 X 与 y 的独立性；25 随机变量函数 Z 的概率密度函数；26 cov(X，Y)27 设总体 X 服从的分布为 总体的简单随机样本，其中 m 为未知参数，且取值为正整数，求参数 m 的矩估计和最大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 308 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 一般有下述结论：如果 y1，y 2， y3 是二阶线性非齐次方程的 3 个解，则当且仅当 a+b+c=1 时，它们的线性组合 ay1+b
7、y2+cy3 也是该方程的解如果进一步设 y1，y 2y3 是该方程的 3 个线性无关的解，并且 a，b，c 中含有 2 个任意常数，则当且仅当 a+b+c=1 时，它们的线性组合 ay1+by2+cy3 是该方程的通解设同，则当且仅当 a+b+c=0 时，它们的线性组合 ay1+by2+cy3 是该方程对应的齐次方程的解设同 ，则当且仅当 a+b+c=0，它们的线性组合 ay1+by2+cy3 是该方程对应的齐次方程的通解本题选项 C 满足上述条件 ，所以应选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 所以3 【正确答案】 C【试题解析】 令(x，y)(0，0)，由夹逼定理，有4 【正确答案】 D
8、【试题解析】 先举例说明为什么不选 A、B、C例子如下：取点 P1(1，1，1)，P2(2，2，2)，P 3(3，3，3)，P 4(4，4，4)此 4 点在一条直线上，显然共面矩阵的秩为 2，所以不选 A、C又如 P1(1，0，0)，P 2(0，1，0)，P3(0，0，1)， 共面( 共面方程 x+y+z=1)，矩阵 的秩为 3，不选 A、B以下证明 D 是正确的证明如下：设这 n 个点共面，则其中任取 4 个点，例如 P1，P 2，P 3 与 P4 也必共面于是其中最后一个行列式为零来自于三点式平面方程所以 1r3反之，设 1r3，则 A 中任取一个 4 阶矩阵，其对应的行列必为零，因此任意
9、 4 点必共面，所以这n 个点必共面证毕5 【正确答案】 D【试题解析】 法一 因 Ax=(E 一 T)x=0，当 x=0 时，有 (E 一 T)= 一(T)=0(其中 T=1)，故排除 A因 Bx=(TPP-1 一 T)x=0，当 x=P0 时，有 (TP-1 一 T)P=(TP)=(T)=0故排除 B因 Cx=(TP-1P 一 T)x=0，取x=P-10，有 (TP-1) 一 (TP-1)=0，故排除 C由排除法，故应选 D法二由题设条件，对任意的 n 维单位列向量 ， ，任意的 n 阶可逆阵 P，方程组均只有零解，若取特殊的 ，P，使方程组有非零解，则该选项即可排除如对 A 取=1，0，
10、0 T，则 有非零解对 B 取 =1，0，0T，P=E ；对 C 取 =1，0，0 T，P=E即可排除 B，C，故应选 D法二 对矩阵 D=E+T，有 D2=(E+T)2=E+2T+TT(其中 T=1)=E+3T=3(E+T)2E=3D2E，D 23D=D(D 3E)=-2E 故 D 可逆，且 故方程组 Dx=(E+T)x=0 只有零解，故应选 D法四 或设 =b1，b 2，b nT，故(E+T)x=0 只有零解，故应选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 观察矩阵 A，B，C，D 知，有 r(A)=r(B)=r?=R(D)=1，故A，B，C，D 均有特征值 =0，且因 r(OEA)=r(OE
11、 一 B)=r(OEC)=r(OED)=1，均对应有两个线性无关特征向量(=0 至少是二重特征值 )，另一个特征值为由于 A，B ，C，D 均可相似对角化，且 A 的特征值与 D 的特征值相同，B 与 C 特征值相同，故，故应选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 设事件 A 为其中有一次正面出现， B 为第二次出现正面，用 H，T分别表示抛硬币出现正面和反面，于是A=HTT，THT，TTH ，HHT，HTH ，THH，HHH在事件 A 发生的情况下 B发生的可能为HTH，HHT，THH，HHH，所以已知其中有一次正面出现，则第二次出现正面的概率为8 【正确答案】 A【试题解析】 检验总体 X
12、 的均值不小于总体 Y 的均值的事件为 12原假设中必须有等号，所以检验假设为 H0： 12；H 1： 1 2二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 x+e2x=x2y 两边对 x 求偏导数，得将 z+e2z=x2y 两边对 y 求偏导数，得又10 【正确答案】 【试题解析】 由 y(0)=0 知，所求极限为 型 由初始条件 y(0)=1，若 k=1，则上述极限为 0，不符，故 k2但 y(0)=ex 一(x+1)y x 2yx=0=0，若 k=2，则上式极限为 0不符故 k3 但 y(0)=(ex 一(x+1)y 一 x2y)x=0=ex 一 y(x+1)y 一 2xy 一 x2yx=
13、0=0.若 k=3,则上式极限为 0，不符，故 k4 但 y(4)(0)=ex 一 y一 y一(x+1)y 一 2y 一 4xy一 x2yx=0=1。故知当 k=4 时原式11 【正确答案】 一 22013(2013!)【试题解析】 (2x)3n+1，由泰勒级数展开式的唯一性知，f (2013)(0)=(2013!)(一 1)67122013=一 22013(2013!)12 【正确答案】 【试题解析】 此为欧拉方程命 x=et，于是所以原方程化为按 y 对 t 的二阶常系数线性非齐次方程的解法解之，得通解13 【正确答案】 7，一 6T【试题解析】 A 是实对称阵，不同特征值对应的特征向量正
14、交， 1=4 对应的特征向量为 1=一 2，1 T，则对应 2=一 1 的特征向量可取 2=1，2 T法一 将 由1， 2 表示设 =x11+x22 解得(x 1，x 2)=一 1，1，故 =一1+2 法二 由特征值，特征向量反求出 A，取 则14 【正确答案】 【试题解析】 二维随机变量(X，Y)的可能取值为(一 1，0)，(一 1，1)，(0 ，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) ，于是 PX=一 1，Y=0)=0；PX=1，Y=0=0， PX=1，Y=1)=PX=1，X 2=1)=PX=1= 于是二维随机变量(X，Y) 的联合分布律为 由协方差公式可得 cov(X，Y)=E(XY)
15、一 EX.EY，其中 所以三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 画出圆周 x2+y2=2 及曲线 y=x3，如图所示，它们交于两点 A(1，1) 与 C(一 1，一 1) 其中 下面用两种方法计算 I2与 I3法一 加减弧段格林公式法，添直线段 并以 D1 与 D2 分别表示圆 x2+y22被直线段 分割成的上、下两半圆域，有故法二 参数法，L 的参数式为故16 【正确答案】 z 与 x， y 的脉络关系如图所示 于是代入所给方程，得按题意，应取 14a+3a2=0， 1 一 4b+3b2=0即 (13a)(1 一 a)=0， (1 一 3b)(1b)=0组合配
16、对若取第 1 对时 的系数为 0，与题目要求不符同理取第 4 对时 的系数亦为 0只在取 或， 时，有从而知 其中 (v)为 v 的任意的可微函数于是 z=(v)dv+(u)=(v)+(u)，其中 (u)为 u 的任意的可微函数，(v)为 (v)的一个原函数取时，得 取 时，得由于 与 的任意性，所以两组解其实是一样的17 【正确答案】 当 a0 时，显然无实根以下讨论当 a0 时的情形由题意知x=0 显然不是原方程的根设 ，则 当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f (x)0；当 x2 时，f (x)0所以当 a0 时，f(x)在区间(一，0)上有唯一实零点又在区间(0，+)上， 所以
17、当 时，f(x)在区间(0，+) 上无实零点；当 时，f(x)在(0，+)上有唯一实零点；当 时，f(2)0，且 f(x)在(0，+) 上有 2 个实零点综上所述，当 a0 时，f(x)=0 无实根；当 时，仅当 x0 时，f(x)=0 有唯一实根；当 时，f(x)=0 仅有两个实根，一正一负；当 时，f(x)=0 恰有三个实根，一负两正18 【正确答案】 当 0x1 时，x(1x)sin 2nx0，所以 un0， 为正项级数又因 sin2nxx2n，所以 又因当n时, 收敛，所以 收敛19 【正确答案】 经过直线 的平面柬方程为 6y+z+1+(z 一 5yz 一 3)=0【注】 ，即 x+
18、(65)y+(1 一 )z+13=0它与曲面 z=x2+y2 相切，设切点为 M(x0，y 0，z 0)于是该曲面在点 M 处的法向量为 n=2x0，2y 0，一 1从而此外，点 M(x0,y0，z 0)还应满足z0=x02+y02，(*) 及 x 0+(65)y0+(1 一 )z0+13=0(*)将(*)、(*) 、(*)联立，解得 =2，(x 0，y 0，z 0)=(1，一 2，5)，或 于是得两个平面方程：2x 一 4yz 一 5=0 或 8x+2yz 一 17=020 【正确答案】 21 【正确答案】 因 故 f 的矩阵表达式为：=(一 1)nA x TA-1x=(一1)nxTAA -
19、1x=(一 1)nxTA*x由 A 是正定矩阵知，A0，且 A 的特征值i0(i=1，2，n)A *的特征值为 故 A*也是正定矩阵，故当 n=2k 时， f=(一 1)2kxTA*x=xTA*x 是正定二次型；当 n=2k+1 时，f=( 一 1)2k+1xTA*x=一 xTA*x 是负定二次型22 【正确答案】 当 A 是可逆阵时，若 AB=A，两边左乘 A-1，必有 B=E；当 A 不可逆时有 BE，使得 AB=A因 A 不可逆时 Ax=0 有非零解，设Ai=0(i=1，2 ，n)，合并得 A1， 2， n=0令 1， 2， n=B 一 E，则 A(B 一 E)=0，得 AB=A，其中
20、BE0，BE23 【正确答案】 有解 取 则其中 k，l 是不同时为零的任意常数令 得(k，l 是任意常数，因 A(B 一 E)=0，故有AB=A)24 【正确答案】 (X，Y) 在区域 D 上服从均匀分布，其联合概率密度函数为若区域 D 表示为 D=(x,y)0x1，0yx(x，y) 1x2,x 一 1y1则 X 的边缘概率密度函数为若区域 D 表示为D=(x，y) 0y1 ，y32y+1)，则 Y 的边缘概率密度函数为所以 f(x，y)f x(x).fY(y)即 X 与 Y 不相互独立25 【正确答案】 将 D=(x，y)0y1，yxy+1转化为 yOz 平面的区域D=(y，z) 0y1，
21、yz+yy+1=(y，z) 0y1，0z1于是由卷积公式可得随机变量函数 Z 的概率密度函数为26 【正确答案】 由协方差定义可得 cov(X，Y)=E(XY) 一 EX.EY事实上，所以【试题解析】 本题考查了多维随机变量概率分布和数字特征的问题27 【正确答案】 矩估计总体分布律含有一个未知参数 m，于是 A1=1，其中， 解得参数 m 的矩估计量为 最大似然估计量记集合 V=1，2，m)，设x1，x 2，x n 为样本值，当 x1V 时，样本似然函数为 两边取对数得 ln L(m，2)= 一 nlnm，而 则 L(m)是关于参数 m 的单调递减函数，于是参数 m 的最大似然估计量为【试题解析】 本题考查的是离散型变量的点估计
