[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷308及答案与解析.doc

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1、考研数学(数学一)模拟试卷 308 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设函数 p(x),g(x) ,f(x)均连续,y 1(x),y 2(x),y 3(x)是微分方程 y+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个线性无关的解,C 1 与 C2 是两个任意常数,则这个方程对应的齐次方程的通解是 ( )(A)(C 1+C2)y1+(C1C2)y2 一(C 1+C2)y3(B) (C1C2)y1+(C2C1)y2+(C1 一 C2)y3(C) (C1+C2)y1+(1 一 C1)y2 一(1+C 2)y3(D)(C 1 一 C2)y1+(1 一 C1)y2+

2、C2y32 设 ,则 ( )(A)2(B) 4(C) 6(D)83 二重极限 ( )(A)不存在,但不是(B)为 (C)等于 0(D)等于 14 空间 n 个点 Pi(xi,y i,z i),i=1 ,2,n;n4 矩阵 的秩记为 r,则 n 个点共面的充分必要条件是 ( )(A)r=1(B) r=2(C) r=3(D)1r35 设 , 为 n 维单位列向量,P 是 n 阶可逆矩阵,则下列方程组中,只有零解的是 ( )(A)(E 一 T)x=0 (B) (TPP-1 一 T)x=0(C) (TP-1P 一 T)x=0 (D)(E+ T)x=06 设 D= 则( )(A)AB,CD(B) AD,

3、BC(C) AC , BD(D)A,B,C,D 中没有相似矩阵7 某人抛掷硬币 3 次,已知其中有一次正面出现,则第二次出现正面的概率为( )(A)(B)(C)(D)8 设两个总体分别为 XN( 1, 12)和 yN( 2, 22),先假设检验总体 X 的均值不小于总体 y 的均值,则检验假设为 ( )(A)H 0:12;H 1: 1 2(B) H0:1 2;H 1: 12(C) H0: 2;H 1: 1 2(D)H 0: 1 2;H 1: 12二、填空题9 设 z=z(x,y)是由方程 z+e2x=x2y 所确定,则 =_.10 设 y(x)是微分方程 y+(x+1)y+x2y=ex 的满足

4、 y(0)=0,3,y (0)=1 的解,并设存在且不为零,则正整数 k=_,该极限值=_11 设 ,则 f(2013)(0)=_12 微分方程 的通解为 y=_13 设 A 是二阶实对称阵,有特征值 1=4, 2=一 1, 1=一 2,1 T 是 A 对应于 1的特征向量,=3,1 T,则 A=_14 设随机变量 X 的分布律为 令 Y=X2,则 X 与 Y的协方差 cov(X,Y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 L 为圆周 x2+y2=2 正向一周,计算曲线积分16 试确定常数 a 与 b,使得经变换 u=z+ay,v=x+by,可将 z 关于 x、y 的方

5、程化为 z 关于 u、v 的方程 并求出其解z=z(x+ay,x+by)17 设 a 为常数,讨论方程 ex=ax2 的实根个数18 设 讨论级数 的敛散性19 求平面 P 的方程,已知 P 与曲面 z=x2+y2 相切,并且经过直线 L:19 设 A 是 n 阶正定矩阵,x 是 n 维列向量,E 是 n 阶单位阵,记20 计算 PW;21 写出二次型 f=W的矩阵表达式,并讨论 f 的正定性21 设 A,B 是 n 阶矩阵22 A 是什么矩阵时,若 AB=A,必有 B=EA 是什么矩阵时,有 BE,使得AB=A;23 设 求所有的 B,使得 AB=A23 设二维随机变量(X,Y)在区域 D=

6、(x,y)0y1,yxy+1上服从均匀分布,令 Z=XY,求24 X 与 Y 的边缘概率密度函数并判断随机变量 X 与 y 的独立性;25 随机变量函数 Z 的概率密度函数;26 cov(X,Y)27 设总体 X 服从的分布为 总体的简单随机样本,其中 m 为未知参数,且取值为正整数,求参数 m 的矩估计和最大似然估计量考研数学(数学一)模拟试卷 308 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 一般有下述结论:如果 y1,y 2, y3 是二阶线性非齐次方程的 3 个解,则当且仅当 a+b+c=1 时,它们的线性组合 ay1+b

7、y2+cy3 也是该方程的解如果进一步设 y1,y 2y3 是该方程的 3 个线性无关的解,并且 a,b,c 中含有 2 个任意常数,则当且仅当 a+b+c=1 时,它们的线性组合 ay1+by2+cy3 是该方程的通解设同,则当且仅当 a+b+c=0 时,它们的线性组合 ay1+by2+cy3 是该方程对应的齐次方程的解设同 ,则当且仅当 a+b+c=0,它们的线性组合 ay1+by2+cy3 是该方程对应的齐次方程的通解本题选项 C 满足上述条件 ,所以应选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 所以3 【正确答案】 C【试题解析】 令(x,y)(0,0),由夹逼定理,有4 【正确答案】 D

8、【试题解析】 先举例说明为什么不选 A、B、C例子如下:取点 P1(1,1,1),P2(2,2,2),P 3(3,3,3),P 4(4,4,4)此 4 点在一条直线上,显然共面矩阵的秩为 2,所以不选 A、C又如 P1(1,0,0),P 2(0,1,0),P3(0,0,1), 共面( 共面方程 x+y+z=1),矩阵 的秩为 3,不选 A、B以下证明 D 是正确的证明如下:设这 n 个点共面,则其中任取 4 个点,例如 P1,P 2,P 3 与 P4 也必共面于是其中最后一个行列式为零来自于三点式平面方程所以 1r3反之,设 1r3,则 A 中任取一个 4 阶矩阵,其对应的行列必为零,因此任意

9、 4 点必共面,所以这n 个点必共面证毕5 【正确答案】 D【试题解析】 法一 因 Ax=(E 一 T)x=0,当 x=0 时,有 (E 一 T)= 一(T)=0(其中 T=1),故排除 A因 Bx=(TPP-1 一 T)x=0,当 x=P0 时,有 (TP-1 一 T)P=(TP)=(T)=0故排除 B因 Cx=(TP-1P 一 T)x=0,取x=P-10,有 (TP-1) 一 (TP-1)=0,故排除 C由排除法,故应选 D法二由题设条件,对任意的 n 维单位列向量 , ,任意的 n 阶可逆阵 P,方程组均只有零解,若取特殊的 ,P,使方程组有非零解,则该选项即可排除如对 A 取=1,0,

10、0 T,则 有非零解对 B 取 =1,0,0T,P=E ;对 C 取 =1,0,0 T,P=E即可排除 B,C,故应选 D法二 对矩阵 D=E+T,有 D2=(E+T)2=E+2T+TT(其中 T=1)=E+3T=3(E+T)2E=3D2E,D 23D=D(D 3E)=-2E 故 D 可逆,且 故方程组 Dx=(E+T)x=0 只有零解,故应选 D法四 或设 =b1,b 2,b nT,故(E+T)x=0 只有零解,故应选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 观察矩阵 A,B,C,D 知,有 r(A)=r(B)=r?=R(D)=1,故A,B,C,D 均有特征值 =0,且因 r(OEA)=r(OE

11、 一 B)=r(OEC)=r(OED)=1,均对应有两个线性无关特征向量(=0 至少是二重特征值 ),另一个特征值为由于 A,B ,C,D 均可相似对角化,且 A 的特征值与 D 的特征值相同,B 与 C 特征值相同,故,故应选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 设事件 A 为其中有一次正面出现, B 为第二次出现正面,用 H,T分别表示抛硬币出现正面和反面,于是A=HTT,THT,TTH ,HHT,HTH ,THH,HHH在事件 A 发生的情况下 B发生的可能为HTH,HHT,THH,HHH,所以已知其中有一次正面出现,则第二次出现正面的概率为8 【正确答案】 A【试题解析】 检验总体 X

12、 的均值不小于总体 Y 的均值的事件为 12原假设中必须有等号,所以检验假设为 H0: 12;H 1: 1 2二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 由 x+e2x=x2y 两边对 x 求偏导数,得将 z+e2z=x2y 两边对 y 求偏导数,得又10 【正确答案】 【试题解析】 由 y(0)=0 知,所求极限为 型 由初始条件 y(0)=1,若 k=1,则上述极限为 0,不符,故 k2但 y(0)=ex 一(x+1)y x 2yx=0=0,若 k=2,则上式极限为 0不符故 k3 但 y(0)=(ex 一(x+1)y 一 x2y)x=0=ex 一 y(x+1)y 一 2xy 一 x2yx=

13、0=0.若 k=3,则上式极限为 0,不符,故 k4 但 y(4)(0)=ex 一 y一 y一(x+1)y 一 2y 一 4xy一 x2yx=0=1。故知当 k=4 时原式11 【正确答案】 一 22013(2013!)【试题解析】 (2x)3n+1,由泰勒级数展开式的唯一性知,f (2013)(0)=(2013!)(一 1)67122013=一 22013(2013!)12 【正确答案】 【试题解析】 此为欧拉方程命 x=et,于是所以原方程化为按 y 对 t 的二阶常系数线性非齐次方程的解法解之,得通解13 【正确答案】 7,一 6T【试题解析】 A 是实对称阵,不同特征值对应的特征向量正

14、交, 1=4 对应的特征向量为 1=一 2,1 T,则对应 2=一 1 的特征向量可取 2=1,2 T法一 将 由1, 2 表示设 =x11+x22 解得(x 1,x 2)=一 1,1,故 =一1+2 法二 由特征值,特征向量反求出 A,取 则14 【正确答案】 【试题解析】 二维随机变量(X,Y)的可能取值为(一 1,0),(一 1,1),(0 ,0),(0,1),(1,0),(1,1) ,于是 PX=一 1,Y=0)=0;PX=1,Y=0=0, PX=1,Y=1)=PX=1,X 2=1)=PX=1= 于是二维随机变量(X,Y) 的联合分布律为 由协方差公式可得 cov(X,Y)=E(XY)

15、一 EX.EY,其中 所以三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 画出圆周 x2+y2=2 及曲线 y=x3,如图所示,它们交于两点 A(1,1) 与 C(一 1,一 1) 其中 下面用两种方法计算 I2与 I3法一 加减弧段格林公式法,添直线段 并以 D1 与 D2 分别表示圆 x2+y22被直线段 分割成的上、下两半圆域,有故法二 参数法,L 的参数式为故16 【正确答案】 z 与 x, y 的脉络关系如图所示 于是代入所给方程,得按题意,应取 14a+3a2=0, 1 一 4b+3b2=0即 (13a)(1 一 a)=0, (1 一 3b)(1b)=0组合配

16、对若取第 1 对时 的系数为 0,与题目要求不符同理取第 4 对时 的系数亦为 0只在取 或, 时,有从而知 其中 (v)为 v 的任意的可微函数于是 z=(v)dv+(u)=(v)+(u),其中 (u)为 u 的任意的可微函数,(v)为 (v)的一个原函数取时,得 取 时,得由于 与 的任意性,所以两组解其实是一样的17 【正确答案】 当 a0 时,显然无实根以下讨论当 a0 时的情形由题意知x=0 显然不是原方程的根设 ,则 当 x0 时,f(x)0;当 0x2 时,f (x)0;当 x2 时,f (x)0所以当 a0 时,f(x)在区间(一,0)上有唯一实零点又在区间(0,+)上, 所以

17、当 时,f(x)在区间(0,+) 上无实零点;当 时,f(x)在(0,+)上有唯一实零点;当 时,f(2)0,且 f(x)在(0,+) 上有 2 个实零点综上所述,当 a0 时,f(x)=0 无实根;当 时,仅当 x0 时,f(x)=0 有唯一实根;当 时,f(x)=0 仅有两个实根,一正一负;当 时,f(x)=0 恰有三个实根,一负两正18 【正确答案】 当 0x1 时,x(1x)sin 2nx0,所以 un0, 为正项级数又因 sin2nxx2n,所以 又因当n时, 收敛,所以 收敛19 【正确答案】 经过直线 的平面柬方程为 6y+z+1+(z 一 5yz 一 3)=0【注】 ,即 x+

18、(65)y+(1 一 )z+13=0它与曲面 z=x2+y2 相切,设切点为 M(x0,y 0,z 0)于是该曲面在点 M 处的法向量为 n=2x0,2y 0,一 1从而此外,点 M(x0,y0,z 0)还应满足z0=x02+y02,(*) 及 x 0+(65)y0+(1 一 )z0+13=0(*)将(*)、(*) 、(*)联立,解得 =2,(x 0,y 0,z 0)=(1,一 2,5),或 于是得两个平面方程:2x 一 4yz 一 5=0 或 8x+2yz 一 17=020 【正确答案】 21 【正确答案】 因 故 f 的矩阵表达式为:=(一 1)nA x TA-1x=(一1)nxTAA -

19、1x=(一 1)nxTA*x由 A 是正定矩阵知,A0,且 A 的特征值i0(i=1,2,n)A *的特征值为 故 A*也是正定矩阵,故当 n=2k 时, f=(一 1)2kxTA*x=xTA*x 是正定二次型;当 n=2k+1 时,f=( 一 1)2k+1xTA*x=一 xTA*x 是负定二次型22 【正确答案】 当 A 是可逆阵时,若 AB=A,两边左乘 A-1,必有 B=E;当 A 不可逆时有 BE,使得 AB=A因 A 不可逆时 Ax=0 有非零解,设Ai=0(i=1,2 ,n),合并得 A1, 2, n=0令 1, 2, n=B 一 E,则 A(B 一 E)=0,得 AB=A,其中

20、BE0,BE23 【正确答案】 有解 取 则其中 k,l 是不同时为零的任意常数令 得(k,l 是任意常数,因 A(B 一 E)=0,故有AB=A)24 【正确答案】 (X,Y) 在区域 D 上服从均匀分布,其联合概率密度函数为若区域 D 表示为 D=(x,y)0x1,0yx(x,y) 1x2,x 一 1y1则 X 的边缘概率密度函数为若区域 D 表示为D=(x,y) 0y1 ,y32y+1),则 Y 的边缘概率密度函数为所以 f(x,y)f x(x).fY(y)即 X 与 Y 不相互独立25 【正确答案】 将 D=(x,y)0y1,yxy+1转化为 yOz 平面的区域D=(y,z) 0y1,

21、yz+yy+1=(y,z) 0y1,0z1于是由卷积公式可得随机变量函数 Z 的概率密度函数为26 【正确答案】 由协方差定义可得 cov(X,Y)=E(XY) 一 EX.EY事实上,所以【试题解析】 本题考查了多维随机变量概率分布和数字特征的问题27 【正确答案】 矩估计总体分布律含有一个未知参数 m,于是 A1=1,其中, 解得参数 m 的矩估计量为 最大似然估计量记集合 V=1,2,m),设x1,x 2,x n 为样本值,当 x1V 时,样本似然函数为 两边取对数得 ln L(m,2)= 一 nlnm,而 则 L(m)是关于参数 m 的单调递减函数,于是参数 m 的最大似然估计量为【试题解析】 本题考查的是离散型变量的点估计

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