1、考研数学（数学一）模拟试卷 324 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X，Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F(x)，则 Z=maxX，Y的分布函数为（A）F 2(x)（B） F(x)F(y)（C） 1-1-F(x)2（D）1-F(x)1-F(y)2 下列矩阵中不能相似对角化的是（A）（B）（C）（D）3 4 5 设 z=f(x，y)在点(0，0)可偏导，且 fx(0，0)=a， fy(0，0)=b，下列结论正确的是( )6 7 (2001 年试题，二) 设 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D
2、）不合同且不相似8 二、填空题9 设随机变量 X 的概率密度为 求随机变量 Y=eX 的概率密度 fY(y)=_10 11 设 当 r0 时有连续的二阶偏导数且满足则 u=u(r)满足的常微分方程是 _12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 求空间第二型曲线积分 其中 L 为球面x2+y2+z2=1 在第 1 象限部分的边界线，从球心看 L，L 为逆时针20 21 (2002 年试题，五) 计算二重积分 其中 D=(x，y)10x1，0y122 23 设 ，E 为 3 阶单位矩阵 ()求方程组 Ax=0 的一个基础解系；() 求满足 A
3、B=E 的所有矩阵 B考研数学（数学一）模拟试卷 324 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 综合2 【正确答案】 C【试题解析】 有 n 个线性尤关的特征向量记 C 项的矩阵为 C，由可知矩阵 C 的特征值为 =1(三重根)，而 那么 nr(EC)=3 一 2=1说明齐次线性方程组(EC)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 =1 只有一个线性无关的特征向量，所以 C 不能对角化故选 C.3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x，y)= f(x，y)在(
4、0，0)处可偏导，但(x，y) 不存在，且 f(x，y)在(0，0)处不连续，不选(A) ，(B)； 因为 z=f(x，y)可偏导不一定可微，所以不选(C)，应选(D) 6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 首先要明确合同与相似的定义：两个实对称阵相似 它们特征值全一样；两个实对称阵合同 它们特征值符号全一样由此，计算 A 的特征值由AE=0，则有 可算得1=4， 2=3=4=0，对应于 1=4，A 有相应的特征向量 1；对应于 =0，由则 r(A 一 0.E)=1 从而它有4 一 1=3 个线性无关特征向量，记为 2,3,4，令 P=(1,2,3,4)，必有 P
5、-1AP=B ，因而 A 与 B 相似，同时由前述已知，可用施密特正交化 P 为正交阵 ，使得 ，综上知 A 与 B 合同且相似，选 A注意相似和合同的区别：实对称矩阵合同时，它们不一定相似，但相似时一定合同如： 它们的特征值不同，故 A 与 B 不相似，但它们的正惯性指数均为 2，负惯性指数均为 0，故而它们合同【知识模块】 二次型8 【正确答案】 A【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 1/y 2【知识模块】 综合10 【正确答案】 x-y+z=0【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 由复合函数求导法，建立 u 对 x，y 的偏导数与 u 对 r 的导数间的关系，把题设方程转
6、化为 u(r)的常微分方程u(x,y) 是 u(r)与 的复合，注意 由对称性将它们相加得因此 u=u(r)满足的常微分方程是12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 14 【正确答案】 1，3【试题解析】 【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 法一 参数式法将 L 分成 3 段，在 xOy 平面上的一段记为 L1，参数式为 x=cost，y=sint，z=0，从 到 t=0于是其他两段计算类似，于是法二 用斯托克斯公式取曲面 S：x 2+y2+z2=1
7、，x0 ，y0，z0，法向量指向原点于是 取计算之S 在 xOy 平面上的投影为Dxy=(x,y) x2+y21x0，y0) 于是其他两个类似，从而20 【正确答案】 21 【正确答案】 由于题设所给被积函数为 emax(x1,y1)，因此应将积分区域 D 分块，分别求相应部分的积分值再累加，由已知 D=(x，y)0x1，0y1，则如图 1一 64 所示显然应将 D 划分为 D1 与 D2 两部分，在 D1 上 maxx2，y 2=x2，在D2 上 maxx2，y 2=y2，由此解析二由于被积函数中的 x，y 具有可交换性，即 f(x，y)=emax(x2,y2)=f(y，x)，f(x，y)关
8、于直线 y=x 对称，故而【知识模块】 章重积分22 【正确答案】 23 【正确答案】 () 用初等行变换化 A 为简单阶梯形矩阵：得 Ax=0 的同解方程组：求得一个非零解 a=(-1，2，3，1) T，它构成 Ax=0 的基础解系 ( )所求矩阵 B 应该是 43 矩阵一种做法是把 B 的 3 个列向量分别作为 3 个线性方程组 AX=(1，0，0) T，AX=(0，1，0) T 和 AX=(0， 0，1) T 的解来计算下面的方法比较简单 思路：满足 AB=E 的任何两个解的差都是 AB=0 的解先求出 AB=0的所有解，再求 AB=E 的一个特解，就可以得到满足 AB=E 的所有矩阵 AB=0 的解是一个 43 矩阵，他的每一列都是 Ax=0 的解，因此是 a 的倍数，通解为 (c 1a，c 2a，c 3a)，c 1，c 2，c 3 为任意常数 求 AB=E 的一个特解 用初等行变换化(AE)为简单阶梯形矩阵：AB=E 的通解为 B0+(c1a，c 2a，c 3a)，c 1，c 2，c 3 为任意常数
