1、考研数学（数学一）模拟试卷 337 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）E-A=E-B （B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似2 3 4 5 6 在曲线 xt，yt 2，z t 3 的所有切线中，与平面 x2yz4 平行的切线（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在7 8 设 1， 2 是矩阵 A 的两个特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则(
2、) （A）当 12 时， 1 与 2 不成比例 （B）当 1=2 时， 1 与 2 成比例（C）当 1=2 时， 1 与 2 不成比例（D）当 12 时， 1 与 2 成比例二、填空题9 设函数 f(x)在0，1上连续且 ，则 =_.10 11 12 13 (2011 年试题，二) 设二维随机变量(X，Y) 服从正态分布， v(， 2， 2；0)，则 E(XY2)=_.14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 已知 1=(1，4，0，2) T， 2=(2，7，1，3) T， 3=(0，1，-1，a) T，=(3 ，10， b，4) T.15 a，b 取何值时， 不能由 1，
3、 2， 3 线性表出?16 a，b 取何值时， 可由 1， 2， 3 线性表出? 并写出此表示式17 18 19 设 f(x)在区间0，1上可微，且满足条件 f(1)= ，试证：存在(0， 1)，使 f()+f()=019 设 n 为自然数， 证明：20 f(x)在0，+)取最大值并求出最大值点；21 22 (1999 年试题，五) 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1,区间0，x上以 y=y(x)为曲线的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1一S
4、 2 恒为 1，求曲线 y=y(x)的方程23 设 X 服从泊松分布，已知 P(X=1=2PX=2，求 EX，DX，EX 2，PX=324 25 考研数学（数学一）模拟试卷 337 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 综合2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 B7 【正确答案】 C【试题解析】 8 【正确答案】 A【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题9 【正确答案】 1/2A 2【知识模块】 多元函数积分学
5、10 【正确答案】 -2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 1【试题解析】 13 【正确答案】 因为(X，Y)N( ，； 2， 2；0)，所以 X 一 N(， 2)Y 一N(， 2)EX=，EY 2=DY+(EY)2=2+2 又因为 =0，所以 X，Y 独立，于是 E(XY2)=EXEY2=(2+2)【知识模块】 随机变量的数字特征14 【正确答案】 2/3【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量15 【正确答案】 设 x11+x22+x33=因为对( 1， 2， 3；)作初等行变换有所以当 b2 时，线性方程组( 1，
6、 2， 3)x= 无解，此时 不能 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 向量16 【正确答案】 当 b=2，a1 时，线性方程( 1， 2， 3)x= 有唯一解，即 x=(x1，x 2，x 3)T=(-1，2，0) T 可唯一表示为 =-1+22 当 b=2，a=1 时，线性方程组( 1， 2， 3)x= 有无穷多个解，即 X=(x 1，x 2，x 3)T=k(-2，1，1) T+(-1，2，0) T【知识模块】 向量17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 由结论可知，若令 (x)=xf(x)，则 (x)=f(x)+xf(x) 因此，只需证明 (x)在0，1内某一区间上满
7、足罗尔定理的条件令 (x)=xf(x)，由积分中值定理可知，存在 (0，1/2)使 由已知条件并且 (x)在，1上连续，在( ，1) 上可导，故由罗尔定理可知，存在 (，1) (0，1)使得()=0，即 f()+f()=020 【正确答案】 求 f(x)，考察 f(x)的单渊性区间由于因此，当 x1 时仅当x=k(k=1，2，)时 f(x)=0于是，f(x) 在0，1单调上升，f(x)在1，+)单调下降f(x)21 【正确答案】 方法 1。估计 就是估计积分值 由sintt(t0) 方法 2。因为当 t1 时，t t20，所以 因此22 【正确答案】 根据题设，建立相应的微分方程并求解由已知，
8、在曲线 y=y(x)上点(x ，y) 处的切线方程为 Y 一 y=y(x)(X 一 x)，与 x 轴交点为 因为y(0)=1 且 y(x)0，则由函数导数符号与其单调性之间的关系知当 x0 时，y(x)0又由题设，有 而已知 2S1 一 S2=1，则(1);(1)式对 x 求导，并化简得 yy=(y)2(2)又由(1) 式知 y(0)=1，从而曲线 y(x)满足方程 (2)及初始条件 y(0)=y(0)=1，令 P=y，则微分方程(2)化为分离变量得 从而 p=C1y，即 再分离变量得 积分得 V=eC1+C2 将 y(0)=y(0)=1，代入，可解得 C1=1，C 2=0，因此 y(x)=ex【试题解析】 本题综合考查了曲线的切线、曲边梯形的面积、变上限函数求导、二阶可降阶微分方程的解法等知识点，有一定的难度和计算量【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 由于 XP()， 为参数，故 PX=k=(k/k!)e-(k=0，1，2，)，于是有 e -=2(2/2!)e-， 得到 =1，从而有 EX=1，DX=1 EX 2=DX+(EX)2=2， 从而 PX=3=(1/6)e-1.【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 综合25 【正确答案】 【知识模块】 综合
