1、考研数学（数学一）模拟试卷 340 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关2 3 4 设 A，B 为 n 阶方阵，令 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，则下列命题正确的是( )
2、（A）若矩阵 A，B 等价，则向量组 1， 2， n 与向量组 1， 2， n 等价（B）若 A，B 的特征值相同，则 A，B 等价（C）若 AX=0 与 BX=0 同解，则 A，B 等价（D）若 A，B 等价，则 AX=0 与 BX=0 同解5 6 7 8 设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x ，则在区间 0，1 上（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（C）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（D）当 f(x)0 时，f(x)g(x)二、填空题9 差分方程 yt+1-yt=t2t 的通解为_.10 对数螺线
3、 P=e 在点(，)=(e /2，/2)处的切线的直角坐标方程为_.11 12 13 在以原点为圆心的单位圆内面平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则任意俩的弦其长度大于 1 的概率为_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 可对角化()求常数 a；()求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵16 17 18 19 设 f(x)，g(x) 在-a ，a 上连续，g(x)为偶函数，且 f(x)满足条件 f(x)+f(-x)=A(A 为常数) ()证明 ()利用() 的结论计算定积分19 (2009 年试题，18)20 证明拉格朗日中值
4、定理：若函数 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)可导，则存在(a， b)，使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)；21 证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导， ，则 f+(0)存在，且 f+(0)=A22 23 设函数 f(x)在(，+)内满足 f(x)f(x)+sin x，且 f(x)x，x0，)，计算24 考研数学（数学一）模拟试卷 340 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，A s)=A(1， 2， s)，所以 r(A1，A 2， ，A s)r(1， 2，
5、 s) 1， 2， s 线性相关，有r(1， 2， ， s)1，A 2，A s)1，A 2，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，A s 线性尢关，否则 A1，A 2，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 由 A，B 等价得 r(A)=r(B)，从而向量组 1， 2， n 与向量组1， 2， n 的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选(A) ；若 A，B 特征值
6、相同，r(A)与 r(B)不一定相等，从而 A，B 不一定等价， 显然 A，B 的特征值相同，但 r(A)=1r(B)=2，故 A，B 不等价，不选(B)； 若方程组 AX=0 与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)，从而 A，B 等价，反之不对，应选(C)5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 D【试题解析】 8 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一】 y=f(x)在0，1 上是凹函数(设 f(x)在0，1二阶可导，不妨 f(x)0)，y=g(x)是连接(0，f(0)与(1，f(1)的线段由几何意义知 f(x)g(x)(x0，1) 选(D)
7、 【分析二】 令 (x)：f(x)-g(x)=(0)=f(0)-f(0)=0 ，(1)=f(1)-f(1)=0 在0，1上，当 f(x)0 时， (x)=f(x)-g(x)=f(x)0=(x)0，即 f(x)g(x)选(D)二、填空题9 【正确答案】 C+(t-2)2 t【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 x+y=e /2.【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 64/3【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 如图弦 AB 与 x 轴垂直，没其交点为 x，依题意该交点存横轴 x 上的位置是等可能的这是一个几何型概率问题设事件 C 表示“
8、弦 AB 的长度AB大于 1”，依题意 C 的样本点集合为 C=x=AB=，样本空间 =x：x ，则根据几何概率定义可得14 【正确答案】 19/27【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 () 由|E 一 A|= =( 一 1)2=0 得1=2=1， 3=0因为 A 可对角化，所以 r(EA)=1，()将 =1 代入(E-A)X=0 中得(E-A)X=0，由 EA 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 1= ,2= 将 =0 代入(E-A)X=0 得 AX=0，由得 =0 对应的线性无关的特征向量为取 则 P-1AP=16 【正确答案】 17 【正
9、确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 知 arctanex+arctane-x 为常数，取 x=0 得，arctane x+arctane-x=arctan1+arctan1=/2，所以 f(x)+f(-x)=/2，【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 作辅助函数 可验证 (x)满足：(a)=(b)=0；(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间 (a，b)内可导由罗尔定理可得，在(a，b)内至少有一点 ，使 ()=0，即 故有f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)，命题得证【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 任取 x0(0，)，则函数 f(x)满足：在闭区间0，x 0上连续，开区间(0， x0)内可导，从而根据拉格朗日中值定理可得：存在 (0，x 0)c(0，)，使得又由于 ，对上式两边取 x00 +时的极限可得由此可知 f+(0)存在，且 f+(0)=A【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 综合23 【正确答案】 【知识模块】 综合24 【正确答案】 【知识模块】 综合
