1、考研数学（数学一）模拟试卷 346 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A、B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）E-A=E-B （B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与 tE-B 相似2 设 A=E-T，其中 E 为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明 A2=A 的充要条件是 T=1；3 4 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解（B
2、）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解5 6 7 （A） （B） （C） （D） 8 二、填空题9 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py 可化成标准形 f=6y12，则 a=_.10 11 12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简
3、单随机样本，总体 X 的概率密度为其中 为未知参数，试求15 的最大似然估计量 ；16 令 ，确定 C 的值，使得 T 为参数 的无偏估计量17 18 19 20 21 21 (2003 年试题，七) 设函数 y=y(x)在(一 ，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数22 试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程23 求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0,y(0)= 的解24 25 求 f(x)ln(12x)的 6 阶麦克劳林公式(带皮亚诺型余项)考研数学（数学一）模拟试卷 346 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中
4、，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 综合2 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T) =E-2T+TT =E-T+(T)T-T =A+(T)T-T， 那么 A2=A (T-1)T=0 因为 是非零列向量， T0，敝 A2=A T-1=0 即孝 T=1【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 故方程组 AX=0 一定有非零解，选(D)5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 C8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 2【试题解析】 二次型 xTAx 经正交变换
5、化为标准形时，标准形平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值【知识模块】 综合10 【正确答案】 0【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 12 【正确答案】 0,2【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 为样本值，当 xi0(i=1 ，2，n) 时，似然函数为 两边同时取对数得 令解得 的最大似然估计值为 所以 的最大似然估计量为 16 【正确答案】 若 T 为参数 的无偏估计量，即 ET=事实上，解得 C=1【
6、试题解析】 本题考查的是未知参数的最大似然估计和无偏性的验证17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 由题设，x=c(y)与 y=y(x)互为反函数且 y0，则 即此式两边对 x 求导，得 代入原微分方程，得 y一 y=sinx(1)此即变换后的微分方程【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 方程(1)其相应齐次方程 y一 y=0 的特征方程为 2 一 1=0，即1=1， 2=一 1，从而通解为 y=C1ex+C2e-x，又设方程(1)特解为 y*=Acosx+Bsinx 代入方程(1)可求得 A=0， 因此 y*= 综上 y一 y=sinx 的通解为由初始条件 y(0)=0, 可求出 C1=1，C 2=一1因此所求初值问题的解为【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 25 【正确答案】 【知识模块】 综合
