1、考研数学（数学一）模拟试卷 370 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是同阶正定矩阵，则下列命题错误的是 ( ) （A）A -1 也是正定矩阵（B） A*也是正定矩阵（C） A+B 也是正定矩阵（D）AB 也是正定矩阵2 3 4 5 6 7 8 设随机变量 X 与 y 满足等式 PY=aX+6=1，则 X 与 Y 的相关系数 w 为 ( )（A）1（B）一 1（C）（D）0二、填空题9 10 11 12 设 f(x)= =_13 14 (2001 年试题，一) 设 则 div(gradr) (1,-2,2)=_.三、解答题解答应写出文字说
2、明、证明过程或演算步骤。15 设 A 为 n 阶非零矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，当 A*=AT 时，证明丨 A 丨016 17 18 19 20 21 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行到原点时被发现，随即从 x 轴上点(x0，y 0)处发射导弹向飞机击去，其中 x00若导弹的速度方向始终指向飞机，其速度大小为常数 2v ()求导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件； ()求导弹的运行轨迹方程及导弹自发射到击中目标所需的时间 T21 设 其中22 选取参数 ，使得 ，在区域 D=(x， y)y0内与路径无关；23 选取参数 ，使得 Pdx+Qdy 在 D
3、 上存在原函数并求出全体原函数24 设 a0=1，a 1=7/2，a n+1=- ，n2 ，证明：当 x1 时，幂级数收敛，并求其和函数 S(x)考研数学（数学一）模拟试卷 370 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 综合2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 6 【正确答案】 C【试题解析】 7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】 C【试题解析】 本题利用相关系数的性质求解由条件 PY=aX+b=1，得Y=aX+b，
4、于是 cov(X，Y)=cov(X ，aX+b)=acov(X ，X)=aDX；DY=D(aX+b)=a2DX，所以二、填空题9 【正确答案】 1/3【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 2【试题解析】 12 【正确答案】 e -1-1【试题解析】 13 【正确答案】 /4【试题解析】 14 【正确答案】 由梯度和散度的定义，有由题设 则从而 由对称性易得到因此因而【知识模块】 曲线、曲面积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 若丨 A 丨=0，则 AAT=AA*=丨 A 丨 E=0 设 A 的行向量为ai(i=1，2，n) ，则
5、 aiaiT=ai12+ai22+ain2=0(i=1，2，n) 于是 ai=(ai1ai2【知识模块】 综合16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 () 设导弹在 t 时刻的坐标为 A(x(t)，y(t)，其运行轨迹方程为y=y(x)在某时刻 t0，飞机的位置为 B(0，vt) ，因为导弹的速度方向始终指向飞机，从而在 t 时刻，导弹运行轨迹曲线的切线斜率 与线段 AB 的斜率相等，于是有 两边对 x 求导数，得 因为导弹的速度大小为 2v，所以y=y(x)所满足的初始条件为 y(x0)=0，y(x 0)=0(
6、)令 ，则上式可变为22 【正确答案】 这里区域 D 是单连通的，P，Q 在 D 上有连续的偏导数，于是即在区域 D 上一 2r2 一 x2=r2+y2).2 (+1)r2=0 =一 1因此，仅 与 =一 1 时 在 D 内与路径无关23 【正确答案】 只要 P， Q 在 D 上连续，则 Pdx+Qdy 在 D 上存存原函数在 D 内与路径无关因此，由题(I)知仅 =一 1 时 Pdx+Qdy 在 D 存在原函数，下求原函数 u(du=Pdx+Qdy),方法 1。不定积分法，由 对 x 积分 注意 再由C (y)=0，C(y)=C因此求得Pdx+9dy 的全体原函数为 方法 2。特殊路径积分法取(x 0，y 0)=(0，1)及积分路径为折线如图，则因此，全体原函数为24 【正确答案】
