1、考研数学(数学一)模拟试卷 375 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 设 y=f(x)的导函数 f(x)在区间0,4上的图形如右图,则 f(x)(A)在(0 ,2) 单调上升且为凸的,在 (2,4) 单调下降且为凹的(B)在 (0,1),(3 ,4)单调下降,在(1 ,3)单调上升,在 (0,2) 是凹的,而在(2,4)是凸的(C)在 (0,2)单调上升且是凹的,在(2,4)单调下降且是凸的(D)在(0 ,1) ,(3,4)单调下降,在(1,3)单调上升,在(0,2)是凸的,而在(2,4)是凹的6 7 8 (2001 年试题,3) 设
2、f(0)=0,则 f(x)在点 x=0 可导的充要条件为( )(A) 存在(B) 存在(C) 存在(D) 存在二、填空题9 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_.10 11 12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 18 19 20 21 (2005 年试题,16) 求幂级数 的收敛区间与和函数f(x)22 23 设某人持有一个股票期权,那么他能在时刻 T 的一个固定的价格 K 买人一个单位的某种股票(如果他愿意的话)已知该股票每单位现在的价格为 S(0)=y,未来时刻 T 的价格 S(T)的百分比变化 S(T)S(0)服从
3、参数为 =0, 2=T 的对数正态分布,即 S(T)=yeX, XN(0,T),求该期权在 T 时刻的期望价值考研数学(数学一)模拟试卷 375 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 如右图,当 x(0,1)或 x(3,4)f 时,f (x)(x)0f(x)在(1,3) 单调上升又 f(x)在(0,2) 单调上升f(x)在(0,2)是凹的;f(x)在(2,4)单调下降f(x) 在(2,4)是凸
4、的因此,应选 B6 【正确答案】 A【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设已知 f(0)=0,则由导数定义 f(x)在 x=0 处可导的充要条件是极限 存在且有限,设 f(0)f(0)R关于选项为 A。因为只能确定 f(0+0)存在,无法确定 f(00)存在,因而 A 不一定成立关于选项为 B,因而 B 正确关于选项为 C,由存在不能确定 是否存在,因此 C 也被排除掉.关于选项为 D,由 存在不能肯定 存在,所以也就无法推出 存在,综上,选 B实际上,当 h0 时,知 A 和 C 不正确;取 ,则其在 x=0 处不可导,但 排除选项为 D【知
5、识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 1/x【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 (c-b)a【试题解析】 12 【正确答案】 由题设 f(x)x n,则 f(x)nx n1 ,因而 f(1)n,则点(1,1)处的切线方程为 y1n(x1),13 【正确答案】 14 【正确答案】 1【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 本题有以下两种较为简单的解法:21 【正确答案】 根据题意。令 t=x2,不妨考察 。有因为 所以 所以 的收敛半径为 1,原幂级数收敛半径为 1,收敛区间为(一 1,1)再求和函数 f(x)把所给级数分成两部分,其中再设有 因为f2(0)=0,f(0)=0 所以 f(x)=f1(x)+f2(x)=【试题解析】 幂级数求和应尽量将其化为形如 或 的幂级数,再通过逐项积分或逐项求导的方法求出其和函数【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【知识模块】 综合23 【正确答案】 【知识模块】 综合