1、考研数学（数学一）模拟试卷 381 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(x)有( ) （A）两个可去间断点（B）两个无穷间断点（C）一个可去间断点，一个跳跃间断点（D）一个可去间断点，一个无穷间断点2 设 f(x)连续，且 则下列结论正确的是( )（A）f(1)是 f(x)的极大值（B） f(1)是 f(x)的极小值（C） (1，f(1)不是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(1)不是 f(x)的极值，但(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点3 函数 f(x)=x2 一 12x+q 的零点个数为( )（A）1 个（B） 2 个
2、（C） 3 个（D）零点个数与 q 取值有关4 设正项级数 发散，令 Sn=a1+a2+an，则下列结论正确的是 ( )5 设 A 为 m 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，|A|=a，|B|=b ，则 等于( ) 6 设 A 为 n 阶实对称矩阵，P 为 n 阶可逆矩阵，设 n 维向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则(P -1AP)T 的属于特征值 的特征向量是( )（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T7 设事件 A，B，C 两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是 ( )（A）AB 与 A+C 独立（B） AB 与 AC 独立（C） A 与 BC 独立
3、（D）A+B 与 A+C 独立8 设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布，下列结论正确的是( )（A）X+YE(2)（B） XYE(2)（C） minX，YE(2)（D）maxX，YE(2)二、填空题9 设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为=_10 11 两容器盛盐水 20L，浓度为 15 gL，现以 1 Lmin 的速度向第一只容器注入清水(同时搅拌均匀) ，从第一只容器以 1Lmin 的速度将溶液注入第二只容器，搅拌均匀后第二只容器以 1Lmin 的速度排出，则经过_分钟第一只容器溶液浓度为原来的一半，t 时刻第二只容器含盐量为 _12 设 f(x)在区间一 3，
4、0)上的表达式为 f(x)= ，则其正弦级数在点 x=20 处收敛于_13 设 A 为三阶实对称矩阵， 1= 为方程组 AX=0 的解， 2= 为方程组(2EA)X=0 的一个解，|E+A|=0，则 A=_14 设总体 XE()，且 X1，X 2，X n 为总体 X 的简单随机样本，令 S12=则 E(S12)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)= 且 g(x)的一个原函数为 ln(x+1)，求01f(x)dx16 设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得201f(x)dx=f(0)+f(1)+ ()17 设 f
5、(x)为-a,a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 F(x)=-aa|x-t|f(t)dt ()证明：F(x)单调增加 ()当 x 取何值时， F(x)取最小值? ( )当 F(x)的最小值为 f(a)一 a2一 1 时，求函数 f(x)18 设 其中 L 是绕过原点的正向闭曲线， (y)可导且 (1)=4()求 (y)；() 求 A19 计算 其中为圆柱面 x2+y2=1 及平面 z=x+2，z=0 所围立体的表面20 就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解21 设 =(1， 1，一 1)T 是 A= 的一个特征向量 () 确定
6、参数 a，b及特征向量 所对应的特征值；()问 A 是否可以对角化?说明理由22 设 X 的概率密度为 且 PX1= ()求a，b 的值；()求随机变量 X 的分布函数；()求 Y=X3 的密度函数23 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为()求 的矩估计量；()求 的极大似然估计量考研数学（数学一）模拟试卷 381 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 x=0，x=1 为 f(x)的间断点由 f(0+0)=f(00)=0，得 x=0 为 f(x)的可去间断点； 由 f(10
7、)f(1+0)，得 x=1 为 f(x)的跳跃间断点，应选 C2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =2，所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x一 1| 时，有 ，即当 x(1 一 ，1)时，f(x) 0；当 x(1，1+) 时，f(x)0根据极值的定义， f(1)为 f(x)的极小值，选 B3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=3x2 一 12=0，得驻点 x1=一 2，x 2=2，f“(x)=6x ，因为 f“(一2)=一 120，f“(2)=12 0，所以 x1=一 2 为极大值点，x 2=2 为极小值点，极大值和极小值分别为 f(一 2)=16+q 及 f(2)=一 16
8、+q，且当 f(2)=一 16+q0，即 q16 时，f(x)=x 3-12x+q 只有一个零点； 当 f(2)=一 16+q=0，即 q=16 时，f(x)=x 3 一 12x+q 有两个零点，其中一个为 x=2； 当 f(一 2)=16+q0，f(2)= 一 16+q0，即|q| 16 时，f(x)=x3 一 12x+q 有三个零点； 当 f(一 2)=16+q=0，即 q=一 16 时，f(x)=x 3+12x+q 有两个零点，其中一个为 x=一 2； 当 f(一 2)=16+q0，即 q一 16 时，f(x)=x 3 一12x+q 只有一个零点，故选 D4 【正确答案】 D【试题解析】
9、 5 【正确答案】 D【试题解析】 选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 (P 1AP)T=PTAT(PT)-1=PTA(PT)-1，由 A=，得 PTA=PT，从而PTA(PT)1PT=pT或者(P -1AP)TPT=PT，于是(P -1AP)T 的属于特征值 的特征向量为 PT，选 B7 【正确答案】 C【试题解析】 由 A 与 BC 独立，得 P(ABC)=P(A)P(BC)，因为 A，B，C 两两独立，所以 P(BC)=P(B)P(C)，于是 P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)，即A，B，C 相互独立，选(C)8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 XE()，
10、YE() ，所以 Fx(x)=令 Z=minX，Y) ，则 Fz(z)=PZz=1-PZz=1 一 PXz，Yz =1 一 PXzPYz=1 一1 一 P(Xz.1一PYz =1 一 1 一 Fx(z).1 一 Fy(z)当 z0 时，F z(z)=0；当 z0时，F z(z)=1 一 e-2z于是 Fz(z)= 即 ZE(2)，选 C二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 设 t 时刻第一、二只容器含盐分别为 m1(t)，m 2(t)g，m 1(0)=m2(0)=300g，在时间t ，t+dt内， 解得 m1(t)= ，由
11、 m1(0)=300，得 C1=300，于是 m1(t)= 令 m1(t)=150，得 t=20ln2 min12 【正确答案】 2【试题解析】 对 f(x)进行奇延拓和周期延拓，则正弦级数的和函数 S(x)是以 6 为周期的奇函数， S(20)=s(2)=一 S(一 2)= f(一 20)+f(一 2+0)=213 【正确答案】 【试题解析】 显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为1=0， 2=2，因为 A 为实对称阵，所以 1T2=k2 一 2k+1=0，解得 k=1，于是又因为|E+A|=0，所以 3=一 1 为 A 的特征值，令 3=一 1 对应的特征向量为14 【正确答案】
12、【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 令 F(x)=0xf(f)dt，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得17 【正确答案】 ()F(x)= -aa|x-t|f(t)dt=-ax(xt)f(t)dt+xa(t 一 x)f(t)dt=x-axf(t)dt-aatf(t)dt+xatf(t)dt-xxaf(t)dt=x-axf(t)dt-aatf(t)dt-axtf(t)dt+xaxf(t)dt F(x)=-axf(t)dt+xf(x)一 xf(x)一 xf(x)+axf(t)dt+xf(x)=axf(t)d
13、ttaf(t)dt 因为 F“(x)=2f(x)0，所以 F(x)为单调增加的函数 () 因为 F(0)=-a0f(x)dx0a(x)dx 且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F“(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点故最小值为 F(0)=-aa|t|f(t)dt=20atf(t)dt ()由 20atf(t)dt=f(a)一 a2 一 1 两边求导得 2af(a)=f(a)-2a ，于是f(x)一 2xf(x)=2x，解得 f(x)=2xe-2xdxdx+Ce-2xdx= 一 1，在 20atf(t)dt=f(a)一 a2一 1 中令 a=0 得 f(0)
14、=1，则 C=2，于是 f(x)= 一 118 【正确答案】 任取一条不绕过原点的正向闭曲线 L，在 L 上任取两点 A，B，将 L 分成 L1，L 2，过 A，B作一条曲线 L3，使 L3 与 L1，L 2 围成绕原点的闭曲线，由格林公式得()作 L0：x 2+4y2=r2(其中 r0，L 0 在 L 内，取逆时针方向)，设由 L0 围成的区域为 D1，由 L0，L 1 围成的区域为 D2，由格林公式19 【正确答案】 1：z=x+2(x 2+y21)在 xOy 坐标平面上投影区域为D1：x 2+y212：x 2+y2=1(0zx+2)在 xOz 坐标平面上投影区域为 D2：|x|1，0zx
15、+2又 2关于 xOz 坐标平面左右对称，被积函数关于 y 是偶函数， 21(右半部分)：20 【正确答案】 1)当 a一 1，a6 时，方程组只有唯一解；2)当 a=一 1 时，当 a=一 1，b36 时，方程组无解；当 a=-1，b=36 时，方程组有无数个解，方程组的通解为 3)当 a=6，b 为任意取值时， 因为 r(A)= =34，所以方程组有无数个解，通解为21 【正确答案】 () 由 A=，得 解得 a=一 3，b=0，=一1( )由|E 一 A|=(+1)3=0，得 =一 1 是三重特征值因为 r(-EA)=2，所以 =-1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化22 【正确答案】 ()当 x一 2 时，F(x)=0；当一 2x一 1 时，F(x)= -2x(x+2)dx= ,当一1x0 时,F(x)= 2-1(x+2)dx= 当 x0 时，()F Y(y)=PX3y，当y一 8 时，F Y(y)=0；23 【正确答案】 ()E(x)= -+xf(x)dx=20+x2exdx= ，则 的矩估计量为 ()L()=f(x 1)f(x2)f(xn)=2nx1x2xn.e-(x1+x2+xn)，
